【高校数学勉強法】ゼロからはじめて東大に受かるまでの流れ

【勉強法はこちら】

東大塾長の山田です。

理系にとって、数学は最重要科目。ハイレベルで安定させたい科目ですよね。

が、しかし!
難関大の数学で常に高得点を取るのは、実際とても難しい…

「教科書レベルの問題はサクサク解けるんだけど、実力模試になると途端に解けなくなる…」
「難関大の数学なんて、本当に解けるようになるんだろうか…」

そんな悩みや不安を抱えている人は、結構多いんじゃないでしょうか。
何を隠そう、自分もそうでしたから。

そんなあなたに「確実に着実に、実力を上げていく」ための数学の勉強方法をお教えします。

1. 数学勉強法の大前提

まずは、数学の勉強法の大前提をお話しします。

1.1 問題が解けるとはどういうことか

まずゴールから考えましょう。

「数学の問題が解ける」を分解してみると、

  1. 解法(アプローチ)を思いつく
  2. 論理的に思考過程、計算過程を記述する
  3. 最後まで計算できる

となります。このうちどれか一つでも欠けると、問題を解くことはできません。

「1.解法を思いつく」
ができないと、まったく手が動きません。「何も手を出せない」という状態ですね。考える取っ掛かりが無いので当然です。最初の一手が決まらないと、解答を書き始められません。

次です。
「2.論理的に思考過程、計算過程を記述する」
ができないと、点数がもらえません。式だけを羅列しているのは論外として、「日本語を何となく書いていて、論理的な文章になっていない」という人がよくいます。それでは大幅に減点されてしまいます。

最後に
「3.最後まで計算できる」
必要があります。数学の点数が安定しない人の多くは、計算力が脆弱です。解法が正しくても、計算力が無いために「あ、この方法じゃ解けないや…」となってしまうことが意外と多いです。アプローチが正しかったのにもかかわらず。

以上の3点、

  1. 解法を思いつく
  2. 論理的に思考過程、計算過程を記述する
  3. 最後まで計算できる

総合的に鍛えていくことが、難関大に合格するための数学の受験勉強です。

具体的な手順はこの先でお話していきますが、その前に、数学の勉強全体において大切なことをお話しします。

1.2 解法パターン暗記を重視せよ

まず、解法パターンを暗記することを重視してください。

「暗記数学はよくない」
とかそういうレベルのことじゃないんです。きちんと基礎知識を覚えていないと「思考できない」のです。

例えば、この問題。ちょっとレベル高めかもしれませんが、雰囲気がわかればOKです。

「存在範囲(通過範囲)」⇔「方程式を満たす実数aが存在する条件」
という典型的な解法パターンを知っていて、aの2次方程式に帰着させます。

あとは2次方程式の解の存在範囲の処理をすればよく、
 「軸の位置で場合分けする」
 「判別式Dやf(0)に着目して場合分けする」
というのがセオリーです。

こんなふうに「解き方を知っておく」ということです。この問題は東大受験者は絶対に落としちゃいけない問題です。「あ、このパターンの問題はあの解法で解けそうだな!」と思えるかどうかで、東大と言えど合否が変わってくるのです

じゃあ、
「解法パターンを効率よくきちんと暗記するには、どうしたらいいの?」
というのが次の話です。

1.3 理解と反復の重要性

公式や解法パターンを覚えるための唯一の方法は、理解と反復を繰り返すことです。

なぜかというと、人間の記憶の仕組み上そうなっているからです。

人間の脳は、何度も同じ情報に遭遇すると
「あ、この情報は大事なんだな!」
と認識するようにできています。

これは、専門的には”長期記憶”といって、要するに「覚えるには反復回数を増やすしかない」ということです。

ただし、数学は論理で構成されています。「なぜこの公式が成り立つのか」を理解できていないと無意味です。理解を伴わない暗記は「丸暗記」と呼び、数学の実力は1ミリも向上しません。

だから、“理解⇒反復”です。
そして、反復回数を多くこなすために、勉強スピードが重要になってきます。

1.4 勉強スピードは質の高い授業で決まる

勉強スピードは意識しましょう。

大半の高校生が”勉強時間”を気にしているのに対して、デキる人は”勉強スピード”を大切にしています。

勉強スピードを意識していないと、半年、1年、2年と時間が経つほど大きな差になってしまいます。

勉強スピードとは、要するに「1時間当たり何題解いているのか?」です。トップ校の中でさらに最上位の連中は、勉強スピードが相当速いです。単純に1時間で5題解く人と10題解く人では、勉強時間が2倍変わってきます。もっと速い、3倍速の連中もいます。そういう連中との全国バトルが大学受験なのです。だから、勉強スピードは速ければ速いほど有利です。

じゃあ、スピードを上げるにはどうしたらいいのか?
その答えは、質の高い映像授業を使うことです。

なぜ、質の高い映像授業を使わなければならないのか?
それにはいくつかの理由があります。

まず一つは、質の高い授業でなければ、しっかりと理解の伴った学習ができないからです。

実力がつきにくい授業(=質の低い授業)の典型例としては、「ほら、この問題はこうやればキレイに解けますよ!」というスタイルの授業です(世の中の塾や予備校のほとんどの授業がこのタイプです。公立高校の授業ではそれすら満足されないこともしばしば…と生徒からよく聞きます)。僕もプロとしてやっているんでハッキリいいますが、このタイプで授業では難関大学を突破する実力は身に付きません。なぜなら、「なぜその解法が思いつくのか、なぜそう解くのが必然なのか」が説明されていないからです。僕はよく生徒に「解法の必然性」といったりしますが、その詳しい感覚は僕の無料公開授業を見て実感してください。

もう一つ、授業は映像(動画)がいいです。これは学習の効率化のためです。予備校とかに通うのは仲間がいたり雰囲気が合ったりで楽しいというのは分かるんですが、移動時間や受講者全体の平均に合わせた授業スピードにどうしてもなってしまうため、時間にロスが生じます。また、移動時間や始まるまでの数分間も積み重なれば膨大な時間になってしまいます。小さな塾に優秀な先生がいて、機敏に対応してくれたらあまり問題ないのですが、映像授業なら移動時間はゼロですし、ちょっと授業ペースが遅ければスピードを速めたり、逆に遅くしたり停止したりして「しっかりとした理解を保ちながら学習を進める」ことができます。

よって、「勉強スピードを高めるには質の高い映像授業で使うこと」と覚えておいてください。

ちなみに、僕が塾でやっている授業をLINEフォロー者に無料公開しています。

この問題の解説授業を見たい方はこちらからフォローしてください。僕のLINEをフォローしてくれた方限定で無料配布しています。友達追加はこちらからできます。
友だち追加

パソコンの方は、こちらのQRコードをスマホで読み取ってください。

2. 大学受験の数学の勉強は三段階に分けて考える

大学受験のにおける数学の勉強は、
 1.基礎知識網羅
 2.解法パターン網羅
 3.実力養成演習
と、3つのフェーズに分けて考えます。

まずは概要を把握しましょう。

2.1 第一段階:基礎知識網羅

まずは基礎知識を網羅しましょう。

基礎知識とは、用語、公式、基本的な計算、そして教科書の章末問題レベルから入試初級レベル(センター試験や日大レベル)をきっちり解けるようになることです。具体的なゴールは、センターで安定して90%取れる状態です。

ちなみに第一段階では、難関大レベルの問題に手を出す必要はありません!

なぜかというと、
 ・難関大の問題は「分野横断型」が多いから
 ・別解の習得が二度手間になるから
です。

たとえば、問題の前半部分は数学ⅡBの知識を用い、後半の計算は数学Ⅲの計算が必要になる、といった問題などです。また、例えば図形の問題であれば、複素数平面(数学Ⅲ)を設定しても、ベクトル(数学B)を用いても解答できる、といった場合があります。いろいろなアプローチを学ぶ必要があるのですが、これが「まだ数学Ⅲやってない」「まだベクトルが完成してない」とかだと、困るわけです。

なので、数学Ⅲの基礎レベルまで一気にやってしまったほうが、効率的な受験勉強が実現します。

2.2 第二段階:解法パターン網羅

基礎ができたら、解法パターンを網羅的に学習していきます。受験する大学と同レベルの問題集を徹底的にやり込み、「典型問題と典型的解法パターンを網羅しておき、思考力の土台を作るのです。

わかりづらいと思うので、具体例を出します。これも東大の過去問ですが、「こんな感じの思考力が身に付くよ」という雰囲気がわかればOKです。

まず
 ①「f(x)=g(x)の解が3個あればよい」で攻める
 ②f(x)、g(x)のグラフを書いてみて思考する
というのを思いつくわけですが、②は議論がしにくいです。なぜ議論がしにくいとわかるかというと、「g(x)を微分して極値を求めるときに定数aの場合分けの記述が面倒…」と、解法パターン網羅の経験値によってあらかじめ気づけるからです。

さらに先を考えてみます。①で攻めるときに、
 (i)  h(x) = f(x) – g(x) の増減を調べてx軸との交点の個数を考える
 (ii) 定数aが1次なので、定数分離「a = h(x) 形」で攻める
の2つが考え付きます。

「(ii)の方はh(x)の増減が書ければ終わりだから、こっちの方が記述しやすいし計算量も少ない可能性が高い。よし、(ii)でいこう!」となるわけです。訓練すれば、ここまでたどり着くのに10秒位です。

このように、問題集のやりこみをやっていろいろな解法パターンを知っているから、
 「この手の問題はこう攻めると良い」
 「解法パターンAと解法パターンBを組み合わせれば解けそう」
 「もっと簡単に計算を済ませられるでしょ!」
という発想になるのです。

こういう発想は、教科書を理解すればできる訳でもありません。

そして、解法パターンを網羅できたら、最終段階として実践演習に入ります。

2.3 第三段階:実力養成演習

実力養成演習の目的は、「身に付けた解法パターンを元に、問題に対する適切な処理ができるようになること」です。たった今見せた思考過程のことです。

そのためにやることは、「初見の問題を解きまくる」ということになります。志望校の過去問や、同レベルの大学の過去問にたくさん触れ、知識運用がきっちりできる(要するに、解けるということ)ようになるまで問題を解きまくるのです。詳しくは後で後述します。

以上が数学の受験勉強の全体像でした。

それではここから、具体的な勉強の流れを詳細に説明していきます。

 

3. 「第一段階:基礎知識網羅」の具体的な進め方

まずは「第一段階:基礎知識網羅」の具体的な手順と、必要な教材について説明していきます。

3.1 基礎知識網羅に適した教材とは?

基礎知識網羅に適した教材のポイントは、

  • 基礎知識の導入授業、および公式の説明(証明も含む)の授業があること
  • 計算パターンや基本的な解法パターンが網羅されていること
  • 簡単な例題から入試基礎レベルの問題までスムーズに接続できること

の3つです。

各ポイントについて、詳しく説明していきます。

3.2 授業の重要性

一つ目のポイントである「基礎知識の導入授業、および公式の説明の授業があること」ですが、なぜこれが重要なのかというと、2つ理由があります。

1つ目は、独学よりも勉強スピードが圧倒的に早くなること。紙面を追ってゼロから自分で知識を身に付けていくことはもちろんできますが(むしろ大学ではそのように勉強することになります)、優秀な講師から説明を受けた方がよっぽど吸収スピードは速くなります。

「紙面を追いながらノートにポイントをまとめていこう」などということをやると、「理解」と「要約」の2つの作業を同時にやることになるので、効率が下がるのです。また、エネルギーをめちゃくちゃ使いますので、数時間続けての勉強はキツイです。

2つ目は、公式をしっかり理解し、公式の導出まで押さえることで「どんな問題に対してその公式を使えばいいのかが、自然と分かるから」です。そのため、数学の公式のほとんどは、瞬時に導出できるようになっておくことが望ましいです。

「公式なんて、覚えて使えばいいだけでしょ?」
といって公式の証明を軽視する人がいますが、逆に遠回りになってしまうので気を付けてください。

3.3網羅型問題集をやり込む

網羅型の問題集を使って、計算パターンや基本的な解法パターンを習得します。さらにその問題集が「簡単な例題から入試基礎レベルの問題までスムーズに接続できる」ようになっていると良いです。

で、ここからが重要なのですが、1周目は、理解に徹した方がいいです。最初は問題を自力で解こうとする必要はありません。

「いきなり解答を見て、解答を理解する」
⇒「解答を写経する(理解しながらノートに書き写す)」
という流れでやると、勉強スピードを上げられます。さらに、解説授業があればさらに効率が上がります(予備校の利点はそこです)。

次に、復習作業についてです。

3.4 「何も見ずに解ける」状態になるまで繰り返す

身についたかどうかの基準は「何も見ずに解答が書けること」です。

使用する問題集の全て問題について、チェックしていきます。

当然、復習2周目ではすぐさま解答が書ける問題は少ないと思います。もし解答が思いつかなければ、もう一度解答を確認して、理解し直しておきます。問題番号のところに×印をつけておき、1章すべてチェックし終えたら、3周目にはまた×印の問題についてまたやり直す。

これを繰り返して「すべての問題について、すぐさま解答が書ける」状態を目指してください。

さて、ここまでが「第一段階:基礎知識網羅」でした。

基礎が固まったら、次は難関大の数学と互角に戦うための「解法パターン網羅」を行います。

4. 「第二段階:解法パターン網羅」の具体的な進め方

「第二段階:解法パターン網羅」の目的は、「典型問題と典型的解法パターンを網羅しておき、思考力の土台を作ること」でした。

具体的にどう進めるのか、見ていきましょう。

4.1 解法パターン網羅に適した教材とは?

解法パターンを網羅するため教材は、以下のポイントを押さえたものが良いです。

  • 典型的な解法を網羅できる
  • 適度な計算を求められる
  • 応用範囲の広い解法を身に付けられる

この3つの条件を満たすのが「良質な問題集」です。

また、これら3つの条件にプラスして「なぜそう解くのか?をきちんと説明する解説授業がある」というのが理想的です。参考書だけで学習する場合は、自力で解説を読み解かなければいけません。(もちろんやればできるでしょう。しかし、勉強スピードの問題で授業があった方が絶対に有利です)

4.2 質の高い授業の重要性と、解法の必然性について

問題集や参考書の解答を見たとき「なんでこの解き方が思いつくんだろう?」となったこと、ありませんか?

解法パターンを学習する際に最も重要なことは「なぜ、この問題をこのように解くのが自然なのか?」という解法の必然性を理解することです。

ですが、参考書や問題集の解答を読んで、これを自力で理解するのはなかなかできません。残念ながら、その一番欲しい部分「なぜそう解くのか?」はあまり書いてなかったりしますし、それを自力で考えようとしても無理だったり、やたら時間がかかってしまったりします。

「解法の必然性」だとか、「解法の思いつき方」さらに「その解き方」までをきちんと説明してくれるような授業が、時間との戦いを制さなければいけない受験生に必要が授業です。

たとえばこの問題。
早稲田ですが、入試標準レベルです。

さらに難易度の高い証明問題。解けるでしょうか?

これらの問題の解説授業が見たい方は、僕(山田)のLINEをフォローしてください。「その場で考えて解く」その様を授業でやって見せます。無料で解説授業を配布しています。配布している授業は、すべて僕が塾で行っているもの。

見たら分かりますが、独学でこのレベルの学習は厳しいことがきっとわかるかと思います。
友だち追加

パソコンの方は、こちらのQRコードをスマホで読み取ってください。

 

では、これらのここから先は問題集の進め方について解説していきます。

4.3 分野毎に完成させていく

学習のモチベーションを保つために「分野毎に完成させる」スタイルをおすすめします。

 「数列は一通りできるようになった!」
 「ベクトルを自在に扱えるようになった!」

という実感は、受験勉強を進める上で強力な栄養剤になります。

また、「確率の問題は漸化式作るタイプが多いなぁ」とか、分野間の関連も見えてきます。

4.4 問題集1周目:まずは理解に徹する

さて、まず1周目、はじめて問題に取り組むときですが、問題を自力で解こうとするのではなく、
「いきなり解答を見て、理解に徹する」というふうにしてください。

基本レベルの問題をマスターするときと同じですね。

「えっ、ちゃんと考えないと力が付かないんじゃ…」
と不安になるかもしれませんが、安心してください。次の「第三段階:実力養成演習」で、きちんと問題と格闘します。

この解法パターン網羅の目的は「思考の土台を作ること」です。 だから、最短最速で解法パターンを身に付けるために「問題は解かずにいきなり授業を見る(あるいは解答を見る)」ようにしてください。

解答を見て一通り理解したら、解答を写経しましょう。
写経することで記述解答の息遣いも身に付くようになります。

このとき、解説授業があればなお良いです。その方が理解のあいまいさを避けることができるし、勉強スピードも自分で解答と格闘するよりかは断然速いからです。また、周辺知識もしっかり説明しているものが良いです。

4.5 2周目:ノートを見返すだけでよい

2周目は、1周目で自分が書いたノートを見返します。注意点は「書かずに見るだけ」という点です。

理由は2つあります。

1つは反復回数の重ねるためです。
「1周理解しただけでは、まだほとんど身に付いていないから」です。反復回数は最終的に4回以上こなす必要があるでしょう。2周目の段階で覚えている訳がありません(中には覚えている問題があると思いますが、パーフェクトではないでしょう)。

2つ目の理由は、勉強スピードの問題です。
2周目も記述解答の写経をする場合と、ノートを見返すだけの場合を比べると、問題を処理できるスピードは5倍くらい変わってきます(写経するのに1題20分、ノートの見返しだけなら1題4分くらいでしょう)。

なので、2周目はノートを見返し、最速の復習をしてください。

4.6 3周目:手を動かしていく

3周目、今度は記述解答をかけるかチェックしていきます。

具体的には
 ・最後まで記述解答をきちんとかけた場合 → ○
 ・解法は思い浮かんだが、途中で詰んだ場合 → △
 ・解法すら出てこなかった場合 → ×
といった感じで、問題番号のところに印をつけておきます。

「△」と「×」の場合は、記述解答を写経して復習しておきましょう。

4.7 4周目以降;“瞬殺できる”まで反復せよ!

3周目で「△」と「×」の問題だけ、3周目と同じ要領で繰り返しチェックしていきましょう。3周目で「○」になった問題については、4週目は無しでいいです。

すべての問題が「○」の状態になれば、マスター完了です。いよいよ最終段階、実力養成演習に進みます。

5. 「第三段階:実力養成演習」の具体的な進め方

実力養成演習では、「過去問などを使って、身に付けた解法パターンの運用力を付ける」ということをやります。

5.1 素材は大学過去問や模試過去問

実力養成演習に使用する素材は、受験校の過去問、同等レベルの大学過去問、あるいは模試過去問です。

もし受験校の過去問を消費してしまうのが気が引けるなら(「最後にやる用にとっておきたい」的なことであれば)、志望校と同等レベル大学の過去問や模試過去問を使用するとよいでしょう。

5.2 過去問の取り組み方

過去問の取り組み方については、2段階にわけて行うと効果的です。

【初期段階】
まずは3年分くらい、時間制限なしで、徹底的に考えてください。ある解法でダメだったら、別の解法は使えないか模索します。「座標平面を設定するか?ベクトルを使うか?複素数平面を使うか?」あるいは「直接証明か?帰納法でいくか?背理法かどうか?」といった感じです。

何も解法が思いつかず、手を出せないときでも、粘って粘って何か1手だけでも手を出してみましょう。途中で計算に詰んだら、他の数式処理の仕方を検討したりします。

「もうこれ以上無理!」となったら、やっと解答を見ます。自分の考えた跡と比べて、改善点を見つけ、解答を写経して反省します。笑

【3年分やった後】
過去問3年分で徹底的に考え抜いた後は、今度は「時間を測って」解きます制限時間に解答を紡ぎだす訓練です。流れとしては
「時間を測って解く」
→「模範解答を確認し、自分の解答を採点する」
→「こう解けばよかったという改善点を明確にし、模範解答を写経する」
という流れです。

そして、最後に浮かぶ疑問は「過去問って、何年分くらいやったらいいの?」でしょう。これが最後のお話です。

5.3 もうOK?!受験勉強終了の基準について

受験の合否はトータルで考えるものなので、数学だけで考えてもしょうがないのですが、一応の目安を示しておきます。

難関大の場合、受験勉強終了の目安は「安定して7割をとれる」状態です。ここまで達したら、数学はもうOKといってよいでしょう。東大であれば2次試験は6割弱の得点で合格しますし、ほとんどの難関大学でも約6割が合否ボーダーの目安です。

数学7割というのはかなりいい線に達しています。英語や理科の方が安定して高得点を取りやすいので、まだ鍛え足りていない他の科目を重点的に鍛える方がコスパはよくなります。

6. 数学の受験勉強を進める上での注意点

数学の受験勉強を進める上で、ウチの塾生からよくもらう質問をまとめました。

6.1 物理より先に数学Ⅲを勉強しておく

物理の勉強に入る前に、数学Ⅲの勉強を基礎知識だけでいいので終えておく必要があります。なぜかというと、物理のある分野をしっかり理解するためには、どうしても数学Ⅲの知識(特に微分積分)が必要になってくるからです。

特に力学は微積分で理解しておいた方がいいです。難関大対策に直結しますし、公式もほとんど覚えなくて済みます。これは体験するとわかるのですが、詳しくは物理の勉強法の記事「難関大合格を手中に収める物理の勉強法」にて。

6.2 苦手分野の克服方法

「ベクトルが苦手です」とか「logが苦手です」とかいう質問(?)をウチの塾生からもよく受けます。

そもそも、苦手分野になっている原因
 「基礎知識が十分に網羅できていない」
 「解法パターンが網羅できていない」
のどちらかです。だから苦手克服の方法は単純明快。「勉強しろ!」です。笑

7. おわりに

以上が「難関大合格を手中に収める数学勉強法」のすべてです。

今回の記事が、難関大を目指している優秀なみなさんの一助になることを願っています。

それでは、受験勉強頑張ってください!

2 件のコメント

  • 公立中学2年女子の母です。現在数2bの三角関数を初学先取り学習しています。高校1年で数学センター9割得点するには、中学3年ではどのような状態に意識して勉強すれば良いですか。数学1aを高校受験の勉強には行かせることはできますでしょうか。スマホは持っていないです、

  • 質問です、
    青チャートの問題、純粋に例題を瞬殺できるようになればいいんですか?
    練習問題には手を付けなくてもよいということでしょうか…?
    細かい質問ですみません。

  • コメントを残す

    メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です