【高校数学勉強法】ゼロからはじめて東大に受かるまでの流れ

東大塾長の山田です。

理系にとって、数学は最重要科目。ハイレベルで安定させたい科目ですよね。

が、しかし!
難関大の数学で常に高得点を取るのは、実際とても難しい…

「教科書レベルの問題はサクサク解けるんだけど、実力模試になると途端に解けなくなる…」
「難関大の数学なんて、本当に解けるようになるんだろうか…」

そんな悩みや不安を抱えている人は、結構多いんじゃないでしょうか。
何を隠そう、自分もそうでしたから。

そんなあなたに「確実に着実に、実力を上げていく」ための数学の勉強方法をお教えします。

目次

1. 数学勉強法の大前提

まずは、数学の勉強法の大前提をお話しします。

1.1 問題が解けるとはどういうことか

まずゴールから考えましょう。

「数学の問題が解ける」を分解してみると、

  1. 解法(アプローチ)を思いつく
  2. 論理的に思考過程、計算過程を記述する
  3. 最後まで計算できる

となります。このうちどれか一つでも欠けると、問題を解くことはできません。

「1.解法を思いつく」
ができないと、まったく手が動きません。「何も手を出せない」という状態ですね。考える取っ掛かりが無いので当然です。最初の一手が決まらないと、解答を書き始められません。

次です。
「2.論理的に思考過程、計算過程を記述する」
ができないと、点数がもらえません。式だけを羅列しているのは論外として、「日本語を何となく書いていて、論理的な文章になっていない」という人がよくいます。それでは大幅に減点されてしまいます。

最後に
「3.最後まで計算できる」
必要があります。数学の点数が安定しない人の多くは、計算力が脆弱です。解法が正しくても、計算力が無いために「あ、この方法じゃ解けないや…」となってしまうことが意外と多いです。アプローチが正しかったのにもかかわらず。

以上の3点、

  1. 解法を思いつく
  2. 論理的に思考過程、計算過程を記述する
  3. 最後まで計算できる

総合的に鍛えていくことが、難関大に合格するための数学の受験勉強です。

具体的な手順はこの先でお話していきますが、その前に、数学の勉強全体において大切なことをお話しします。

1.2 解法パターン暗記を重視せよ

まず、解法パターンを暗記することを重視してください。

「暗記数学はよくない」
とかそういうレベルのことじゃないんです。きちんと基礎知識を覚えていないと「思考できない」のです。

例えば、この問題。ちょっとレベル高めかもしれませんが、雰囲気がわかればOKです。

「存在範囲(通過範囲)」⇔「方程式を満たす実数aが存在する条件」
という典型的な解法パターンを知っていて、aの2次方程式に帰着させます。

あとは2次方程式の解の存在範囲の処理をすればよく、
 「軸の位置で場合分けする」
 「判別式Dやf(0)に着目して場合分けする」
というのがセオリーです。

こんなふうに「解き方を知っておく」ということです。この問題は東大受験者は絶対に落としちゃいけない問題です。「あ、このパターンの問題はあの解法で解けそうだな!」と思えるかどうかで、東大と言えど合否が変わってくるのです

じゃあ、
「解法パターンを効率よくきちんと暗記するには、どうしたらいいの?」
というのが次の話です。

1.3 理解と反復の重要性

式や解法パターンを覚えるための唯一の方法は、理解と反復を繰り返すことです。

なぜかというと、人間の記憶の仕組み上そうなっているからです。

人間の脳は、何度も同じ情報に遭遇すると
「あ、この情報は大事なんだな!」
と認識するようにできています。

これは、専門的には”長期記憶”といって、要するに「覚えるには反復回数を増やすしかない」ということです。

ただし、数学は論理で構成されています。「なぜこの公式が成り立つのか」を理解できていないと無意味です。理解を伴わない暗記は「丸暗記」と呼び、数学の実力は1ミリも向上しません。

だから、“理解⇒反復”です。
そして、反復回数を多くこなすために、勉強スピードが重要になってきます。

1.4 勉強スピードで差がつく

勉強スピードは意識しましょう。
大半の高校生が”勉強時間”を気にしているのに対して、デキる人は”勉強スピード”を大切にしています。半年、1年、2年と時間が経つほど大きな差になってしまいます。

勉強スピードとは、要するに「時間当たり何題解いているのか?」です。トップ校の中でさらに最上位の連中は、勉強スピードが相当速いです。単純に1時間で5題解く人と10題解く人では、勉強時間が2倍変わってきます。もっと速い、3倍速の連中もいます。そういう連中との全国バトルが大学受験なのです。だから、勉強スピードは速ければ速いほど有利です。

じゃあ、スピードを上げるにはどうしたらいいのか?
それには、この記事で紹介している流れで勉強を進めてみてください。「こうやるのが最短ですよ」という流れを説明しています

数学の勉強方法の大前提は以上です。
以上のことに気をつけるだけでも、勉強効率はかなり変わってくるはずです。

ここからは、「実際にどうやって受験勉強を進めるか」についてお話しします。

2. 大学受験の数学の勉強は三段階に分けて考える

大学受験のにおける数学の勉強は、
 1.基礎知識網羅
 2.解法パターン網羅
 3.実力養成演習
と、3つのフェーズに分けて考えます。

まずは概要を把握しましょう。

2.1 第一段階:基礎知識網羅

まずは基礎知識を網羅しましょう。

基礎知識とは、用語、公式、基本的な計算、そして教科書の章末問題レベルから入試初級レベル(センター試験や日大レベル)をきっちり解けるようになることです。具体的なゴールは、センターで安定して90%取れる状態です。

ちなみに第一段階では、難関大レベルの問題に手を出す必要はありません!

なぜかというと、
 ・難関大の問題は「分野横断型」が多いから
 ・別解の習得が二度手間になるから
です。

たとえば、問題の前半部分は数学ⅡBの知識を用い、後半の計算は数学Ⅲの計算が必要になる、といった問題などです。また、例えば図形の問題であれば、複素数平面(数学Ⅲ)を設定しても、ベクトル(数学B)を用いても解答できる、といった場合があります。いろいろなアプローチを学ぶ必要があるのですが、これが「まだ数学Ⅲやってない」「まだベクトルが完成してない」とかだと、困るわけです。

なので、数学Ⅲの基礎レベルまで一気にやってしまったほうが、効率的な受験勉強が実現します。

2.2 第二段階:解法パターン網羅

基礎ができたら、解法パターンを網羅的に学習していきます。受験する大学と同レベルの問題集を徹底的にやり込み、「典型問題と典型的解法パターンを網羅しておき、思考力の土台を作るのです。

わかりづらいと思うので、具体例を出します。これも東大の過去問ですが、「こんな感じの思考力が身に付くよ」という雰囲気がわかればOKです。

まず
 ①「f(x)=g(x)の解が3個あればよい」で攻める
 ②f(x)、g(x)のグラフを書いてみて思考する
というのを思いつくわけですが、②は議論がしにくいです。なぜ議論がしにくいとわかるかというと、「g(x)を微分して極値を求めるときに定数aの場合分けの記述が面倒…」と、解法パターン網羅の経験値によってあらかじめ気づけるからです。

さらに先を考えてみます。①で攻めるときに、
 (i)  h(x) = f(x) – g(x) の増減を調べてx軸との交点の個数を考える
 (ii) 定数aが1次なので、定数分離「a = h(x) 形」で攻める
の2つが考え付きます。

「(ii)の方はh(x)の増減が書ければ終わりだから、こっちの方が記述しやすいし計算量も少ない可能性が高い。よし、(ii)でいこう!」となるわけです。訓練すれば、ここまでたどり着くのに10秒位です。

このように、問題集のやりこみをやっていろいろな解法パターンを知っているから、
 「この手の問題はこう攻めると良い」
 「解法パターンAと解法パターンBを組み合わせれば解けそう」
 「もっと簡単に計算を済ませられるでしょ!」
という発想になるのです。

こういう発想は、教科書を理解すればできる訳でもありません(そういうのはノー勉で理Ⅲに受かる化け物の話)。

そして、解法パターンを網羅できたら、最終段階として実践演習に入ります。

2.3 第三段階:実力養成演習

実力養成演習の目的は、「身に付けた解法パターンを元に、問題に対する適切な処理ができるようになること」です。たった今見せた思考過程のことです。

そのためにやることは、「初見の問題を解きまくる」ということになります。志望校の過去問や、同レベルの大学の過去問にたくさん触れ、知識運用がきっちりできる(要するに、解けるということ)ようになるまで問題を解きまくるのです。詳しくは後で後述します。

以上が数学の受験勉強の全体像でした。

それではここから、具体的な勉強の流れを詳細に説明していきます。

 

3. 「第一段階:基礎知識網羅」の具体的な進め方

まずは「第一段階:基礎知識網羅」の具体的な手順について。

3.1 基礎知識網羅に適した参考書とは?

おすすめは「チャート式(青)」です。

青チャートがおすすめポイントは、
 ・基礎知識や公式の説明が充実している
 ・掲載されている問題の網羅性が素晴らしい
 ・初心者でも取り組める簡単な例題から始められる
 ・これだけでMARCHレベルは余裕で到達できる
という点です。

基礎知識網羅と言っているくらいですから、一通りの典型問題に触れておく必要があります。青チャートの例題をすべてやることで、基礎知識網羅ができる訳です。

それでは、青チャートのやり方について、順番に説明していきます。

3.2 基礎事項を確認する


まず、基礎事項ページに目を通し、ノートを取ります。といっても完全に独学だとやりづらいかもしれません。

対処方法としては
 ・学校の授業をちゃんと聞いておいて、取ったノートをもう一度書く
 ・予備校の授業を受ける
などが望ましいです。

独学でやる場合ですが、最終的に青チャートの例題をすべて解けるようになっておけばよいので、あまり細かいことは気にせず「基礎事項のページをすべて書き写す」スタイルでよいです。

3.3 公式を理解する

基礎事項ページに公式がある場合、かならず証明を読みましょう。

数学の公式のほとんどは、瞬時に導出できるようになっておくことが望ましいです。なぜかというと、公式を導出できる力をつけておくと、「どんな問題に対してその公式を使えばいいのか?が自然とわかる」からです。

「公式なんて、覚えて使えばいいだけでしょ?」
といって公式の証明を軽視する人がいますが、逆に遠回りになってしまうので気を付けてください

3.4 分野毎に、例題を網羅的に理解する

青チャートなど分厚い参考書を進めるうえでのコツですが、これは「分野毎にマスターしていく」とやりやすいです。青チャートは1分野で大体30~40題くらいなので、部活生でも1週間もあれば1周できます。

で、ここが重要なのですが、1周目は、理解に徹してください。最初は問題を解こうとする必要はありません。

「いきなり解答を見て、解答を理解する」
⇒「解答を写経する(理解しながらノートに書き写す)」
という流れでやると、1時間で5題くらいは進められます。勉強スピードを上げるコツその1です。

次に、復習作業についてです。

3.5 「何も見ずに解ける」状態になるまで繰り返す

身についたかどうかの基準は「何も見ずに解答が書けること」です。

青チャートのすべての例題について、チェックしていきます。

当然、復習2周目ではすぐさま解答が書ける問題は少ないと思います。もし解答が思いつかなければ、もう一度解答を確認して、理解し直しておきます。問題番号のところに×印をつけておき、1章すべてチェックし終えたら、3周目にはまた×印の問題についてまたやり直す。

これを繰り返して「すべての例題について、すぐさま解答が書ける」状態を目指してください。青チャート例題レベルでこれができていれば、センター試験は安定して90%は楽勝になります。

 

さて、ここまでが「第一段階:基礎知識網羅」でした。

文系の場合はⅠAとⅡB、理系は数学Ⅲまでの青チャート例題をマスターしている状態です。ぶっちゃけ、これだけでMARCHレベルなら普通に受かる水準に達します(それだけ青チャートのマスターは大変な作業であり、やる価値があるということです)。

基礎が固まったら、次は難関大の数学と互角に戦うための「解法パターン網羅」を行います。

4. 「第二段階:解法パターン網羅」の具体的な進め方

「第二段階:解法パターン網羅」の目的は、「典型問題と典型的解法パターンを網羅しておき、思考力の土台を作ること」でした。

具体的にどう進めるのか、見ていきましょう。

4.1 解法パターン網羅に適した参考書とは?

志望校のレベルに合わせて、解法パターンを網羅するためのオススメ参考書は「厳選!大学入試数学問題集 理系262」「数学 上級問題精講」です。

数多くの参考書がある中で、なぜこの2つがオススメなのかについてですが、解法パターン網羅に適した参考書の条件として
 ・典型的な解法を網羅できる
 ・適度な計算を求められる
 ・応用範囲の広い解法を身に付けられる
というのがあります。

この3つの条件を満たす問題を俗にいう「良質な問題」と呼びます。もちろん、この条件を満たす他の参考書もあると思います。今使っている問題集でもよいのですが、どれを選ぶが迷った時は参考にしてください。

では、これらの参考書の進め方について解説していきます。

4.2 分野毎に完成させていく

まず、学習のモチベーションを保つために「分野毎に完成させる」スタイルをおすすめします。

 「数列は一通りできるようになった!」
 「ベクトルを自在に扱えるようになった!」

という実感は、受験勉強を進める上で強力な栄養剤になります。

4.3 参考書1周目:まずは理解に徹する

さて、まず1周目、はじめて問題に取り組むときですが、問題を解こうとするのではなく、
「いきなり解答を見て、理解する」というふうにしてください。

「えっ、ちゃんと考えないと力が付かないんじゃ…」
と不安になるかもしれませんが、安心してください。次の「第三段階:実力養成演習」で、きちんと問題と格闘します。この解法パターン網羅の目的は「思考の土台を作ること」です。だから、最短最速で解法パターンを身に付けるために「問題は解かずにいきなり解答を見る」ようにしてください。

解答を見て一通り理解したら、解答を写経しましょう。
写経することで記述解答の息遣いも身に付くようになります。

「問題は解かずに解説を見て、記述解答を写経する」というのをまずは1分野やりきりましょう。これが1周目です。

4.4 参考書2周目:ノートを見返すだけでよい

2周目は、1周目で自分が書いたノートを見返します。注意点は「書かずに見るだけ」という点です。

理由は2つあります。

1つは反復回数の重ねるためです。
「1周理解しただけでは、まだほとんど身に付いていないから」です。反復回数は最終的に4回以上こなす必要がります。2周目の段階で覚えている訳がありません(中には覚えている問題があると思いますが、パーフェクトではないでしょう)。

2つ目の理由は、勉強スピードの問題です。
2周目も記述解答の写経をする場合と、ノートを見返すだけの場合を比べると、問題を処理できるスピードは5倍くらい変わってきます(写経するのに1題20分、ノートの見返しだけなら1題4分くらいでしょう)。

なので、2周目はノートを見返し、最速の復習をしてください。

4.5 参考書3周目:手を動かしていく

3周目、今度は記述解答をかけるかチェックしていきます。

具体的には
 ・最後まで記述解答をきちんとかけた場合 → ○
 ・解法は思い浮かんだが、途中で詰んだ場合 → △
 ・解法すら出てこなかった場合 → ×
といった感じで、問題番号のところに印をつけておきます。

「△」と「×」の場合は、記述解答を写経して復習しておきましょう。

4.6 参考書4周目以降;“瞬殺できる”まで反復せよ!

3周目で「△」と「×」の問題だけ、3周目と同じ要領で繰り返しチェックしていきましょう。3周目で「○」になった問題については、4週目は無しでいいです。

すべての問題が「○」の状態になれば、マスター完了です。いよいよ最終段階、実力養成演習に進みます。

5. 「第三段階:実力養成演習」の具体的な進め方

実力養成演習では、「過去問などを使って、身に付けた解法パターンの運用力を付ける」ということをやります。

5.1 素材は大学過去問や模試過去問

実力養成演習に使用する素材は、受験校の過去問、同等レベルの大学過去問、あるいは模試過去問です。

もし受験校の過去問を消費してしまうのが気が引けるなら(「最後にやる用にとっておきたい」的なことであれば)、志望校と同等レベル大学の過去問や模試過去問を使用するとよいでしょう。

5.2 過去問の取り組み方

過去問の取り組み方については、2段階にわけて行うと効果的です。

【初期段階】
まずは3年分くらい、時間制限なしで、徹底的に考えてください。ある解法でダメだったら、別の解法は使えないか模索します。「座標平面を設定するか?ベクトルを使うか?複素数平面を使うか?」あるいは「直接証明か?帰納法でいくか?背理法かどうか?」といった感じです。

何も解法が思いつかず、手を出せないときでも、粘って粘って何か1手だけでも手を出してみましょう。途中で計算に詰んだら、他の数式処理の仕方を検討したりします。

「もうこれ以上無理!」となったら、やっと解答を見ます。自分の考えた跡と比べて、改善点を見つけ、解答を写経して反省します。笑

【3年分やった後】
過去問3年分で徹底的に考え抜いた後は、今度は「時間を測って」解きます制限時間に解答を紡ぎだす訓練です。流れとしては
「時間を測って解く」
→「模範解答を確認し、自分の解答を採点する」
→「こう解けばよかったという改善点を明確にし、模範解答を写経する」
という流れです。

そして、最後に浮かぶ疑問は「過去問って、何年分くらいやったらいいの?」でしょう。これが最後のお話です。

5.3 もうOK?!受験勉強終了の基準について

受験の合否はトータルで考えるものなので、数学だけで考えてもしょうがないのですが、一応の目安を示しておきます。

難関大の場合、受験勉強終了の目安は「安定して7割をとれる」状態です。ここまで達したら、数学はもうOKといってよいでしょう。東大であれば2次試験は6割弱の得点で合格しますし、ほとんどの難関大学でも約6割が合否ボーダーの目安です。

数学7割というのはかなりいい線に達しています。英語や理科の方が安定して高得点を取りやすいので、まだ鍛え足りていない他の科目を重点的に鍛える方がコスパはよくなります。

6. 数学の受験勉強を進める上での注意点

数学の受験勉強を進める上で、ウチの塾生からよくもらう質問をまとめました。

6.1 物理より先に数学Ⅲを勉強しておく

物理の勉強に入る前に、数学Ⅲの勉強を基礎知識だけでいいので終えておく必要があります。なぜかというと、物理のある分野をしっかり理解するためには、どうしても数学Ⅲの知識(特に微分積分)が必要になってくるからです。

特に力学は微積分で理解しておいた方がいいです。難関大対策に直結しますし、公式もほとんど覚えなくて済みます。これは体験するとわかるのですが、詳しくは物理の勉強法の記事「難関大合格を手中に収める物理の勉強法」にて。

6.2 苦手分野の克服方法

「ベクトルが苦手です」とか「logが苦手です」とかいう質問(?)をウチの塾生からもよく受けます。

そもそも、苦手分野になっている原因
 「基礎知識が十分に網羅できていない」
 「解法パターンが網羅できていない」
のどちらかです。だから苦手克服の方法は単純明快。「勉強しろ!」です。笑

7. レベル別・受験数学フローチャート

最後に、まとめとしてゼロから難関大合格までのロードマップを記しておきます。

7.1 基礎~センター・日大レベル

【参考書】青チャートⅠA/ⅡB/Ⅲ

【勉強の流れ(要約)】
 1.基礎事項を写経する
 2.公式を理解する&証明を写経する
 3.例題の解答を理解し、写経する
 4.例題を瞬殺できるまで繰り返し復習する

7.2 MARCH~理科大/中堅国立レベル

【参考書】厳選!大学入試数学問題集 理系262

【勉強の流れ(要約)】
 (1周目)解答を理解し、写経する
 (2周目)ノートを見返す
 (3周目)解けるかどうかチェックする
 (4周目以降)できていない問題について、瞬殺できるまで何度でも繰り返す

7.3 東大・京大・東工大/早慶レベル

【参考書】「数学ⅠAⅡB 上級問題精講」、「数学Ⅲ 上級問題精講」

【勉強の流れ(要約)】
 (1周目)解答を理解し、写経する
 (2周目)ノートを見返す
 (3周目)解けるかどうかチェックする
 (4周目以降)できていない問題について、瞬殺できるまで何度でも繰り返す

8. おわりに

以上が「難関大合格を手中に収める数学勉強法」のすべてです。

今回の記事が、難関大を目指している優秀なみなさんの一助になることを願っています。

それでは、受験勉強頑張ってください!

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