静電エネルギーの公式と導出（エネルギー収支についても）

(１)ある電気容量のコンデンサーを起電力\(2V\)の電池で充電すると、抵抗で\(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\)のジュール熱が発生した。電気容量はいくらか。

(２)電圧\(V\)で充電された電気容量\(C\)のコンデンサーに電圧\(3V\)の電池をつなぎ、スイッチを入れた。このとき、抵抗で発生する熱量\(H\)を求めよ。

(１)

電気容量を\(kC\)とします。十分に時間がたつまでに、電池は\(Q=kC\cdot 2V\)の電気量を通すから、電池がした仕事は、

\[W=Q\cdot 2V=4kCV^2\]

であり、この仕事はコンデンサーの静電エネルギー\(\displaystyle\frac{1}{2}kC(2V)^2=2kCV^2\)とジュール熱\(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\)に変わったので、エネルギー収支より

\[4kCV^2=2kCV^2+\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\] \[∴k=\displaystyle\frac{1}{4}\]

よって求める電気容量は、\(\displaystyle\frac{1}{4}C\cdots答\)

(２)

はじめ、コンデンサーは\(CV\)の電気量と\(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2\)の静電エネルギーを蓄えています。

この状態から\(3V\)の電池で充電すると、コンデンサーの電気量は\(3CV\)となり、この間に電池を通過した電気量は

\[3CV-CV=2CV\]

とわかり、この間に電池がした仕事は、

\[2CV\cdot 3V=6CV^2\]

と分かります。最後にエネルギー収支を用いると、

\[6CV^2=\displaystyle\frac{1}{2}C(3V)^2-\displaystyle\frac{1}{2}CV^2+H\] \[∴H=2CV^2\cdots答\]

真空中（誘電率\(\varepsilon_0\)）において、一辺の長さが\(a\)で面積\(S\)の極板二枚が、間隔\(d\)で並べられれた平行平板コンデンサーがある。この間に、極板と同じ形で、厚さ\(d\)、誘電率\(\varepsilon(\varepsilon>\varepsilon_0)\)の誘電体板が挿入されている。

極板を電池につないで充電した後、スイッチを閉じたまま、外力を加えて個の誘電体板を右方向へゆっくりと引き出した（下図参照）。このとき、\(0≦x≦a\)とする。また、媒質の誘電率として記号\(\varepsilon\)を用いても良い。

以下の問いに答えよ。

(１)極板間の真空部分の長さが\(x\)になったときの、極板電荷\(Q\)とコンデンサーに蓄えられている静電エネルギー\(U\)を求めよ。

(２)誘電体を\(x\)から右向きに\(\Delta x\)ゆっくり引き出した。このときの、極板上の電荷変化\(\Delta Q\)と静電エネルギー変化\(\Delta U\)を求めよ。

(３)(２)で電池がした仕事を求めよ。

(４)上図の状態で、誘電体板に働く電気的な力の大きさと向きを答えよ。

(１)

並列コンデンサーの合成容量の公式\(C=\sum_{i} C_{i}\)を用いましょう。

全体の容量は、

\[C(x)=\varepsilon_0\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{Sx}{a}}{d}+\varepsilon_r \varepsilon_0\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{S(a-x)}{a}}{d}\] \[\qquad =\left\{\varepsilon a-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) x\right\} \frac{S}{a d}\]

ただし、誘電率を\(\varepsilon=\varepsilon_r \varepsilon_0\)としました。

\(Q=CV\)より、

\[Q(x)=C(x)V=\left\{\varepsilon a-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) x\right\} \frac{SV}{a d}\cdots答\]

よってこの時の静電エネルギーは、

\[U=\displaystyle\frac{1}{2}Q(x)V=\left\{\varepsilon a-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) x\right\} \frac{SV^2}{2a d}\cdots答\]

(２)\(x→x+\Delta x\)だから、

\[\begin{aligned} \Delta Q &=Q(x+\Delta x)-Q(x) \\ &=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{S V}{ad} \Delta x \end{aligned}\cdots答\] \[\Delta U=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{S V^2}{2ad} \Delta x\cdots答\]

(３)先ほど考えたように、電子がした仕事とは、電池が運んだ電荷のエネルギー変化のことだから、

\[W=\Delta QV=-\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{S V^2}{ad} \Delta x \cdots答\]

(４)エネルギー収支より

\[W+F_外 \Delta x=\Delta U\]

日本語で表すのならば、「エネルギー変化は、電池のした仕事と外力のした仕事の和である」となります。これを解くと、

\[F_外 =\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{S V^2}{2ad} \]

このことにより、元の誘電体には、この外力と同じ大きさで逆向きの力が働いていたことが分かります。よって求める答えは、

\[力の向き：xが減る向き、大きさ：\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right) \frac{S V^2}{2ad}\cdots答\]