コンデンサーの公式まとめ(直列・並列・誘電体)

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東大塾長の山田です。

このページではコンデンサーについて詳しく説明しています。コンデンサーの基本的な性質から、その導出に至るまで体系的に説明しているので、このページを読むだけでコンデンサーに対する苦手意識はなくなります。

ぜひ勉強の参考にしてください!

1. コンデンサーについて

まずは、一般におけるコンデンサーについて解説します。教科書・参考書でもあまり扱われないことが多いですが、すべてのコンデンサーは以下で説明する基本にのっとっています。ここで、しっかりと理解しておきましょう。

1.1 コンデンサーとは

コンデンサーとは、「複数の導体からなる系」のことをいいます。図にすると下図のようになります。

このとき、一般に以下の関係が成り立ちます。

\[\left\{\begin{array}{l}{Q_{1}=C_{12}(\phi_1 -\phi_2)+C_{13}(\phi_1 -\phi_3)} \\ {Q_{2}=C_{21}(\phi_2 -\phi_1)+C_{23}(\phi_2 -\phi_3)} \\ {Q_{3}=C_{31}(\phi_3 -\phi_1)+C_{32}(\phi_3 -\phi_2)}\end{array}\right.\]

上の\(C_{ij}=C_{ji}\)は、\(i\)と\(j\)の間の(電気)容量であり、導体の形状や配置などで変化します。(具体的にどのような形状化は後述)そして、任意の対が「コンデンサー」を形成しています。

以下では、入試で扱うことが多い「平行平板コンデンサー」について扱います。

2. 平行平板コンデンサーについて

ここからは、「平行平板コンデンサー」について扱います。平行平板コンデンサーとは、平らな導体板がわずかな距離だけ離れた物体のことを言い、電荷を蓄えることができ、下図のようになります。

上図は、互いに距離\(d\)だけ離れた、断面積\(S\)の平行平板コンデンサーに、電荷\(Q, -Q\)の電荷が帯電している様子を表しています。このセクションでは、上図のコンデンサーについて扱います。

2.0 電荷分布の規則(静電誘導)

ここで、上図の電荷が、互いに「絶対値が同じで符号が違う(足したら0になる)」ことに着目してください。これは任意のコンデンサーに置いて成り立つことです。どうしてこのようになるのでしょうか?

これを説明するためには、「静電誘導」について理解する必要があります。ここでは、導体として金属を考えてみます。

金属は、内部に自由に動くことができる電子(自由電子)を含みます。これを電場がある場所に置くと、自由電子がわずかに動き、それにより表面が帯電します。

その結果、金属内部では電場が相殺してなくなります(下図参照)。

この現象のことを、「静電誘導」といいます!

そしてこの静電誘導が上の問いの答えとなります。上のコンデンサーの電場を図示してみましょう。

正電荷から電場が湧き出て(オレンジ矢印)、負電荷に入っていくこと(青矢印)を考えると、電荷の絶対値が同じであれば、導体内の電場が互いに相殺しあうことが分かります。静電誘導が成り立つためにも、このように電荷が分布する必要があるのです!

2.1 合成電場

導体内で電場が0になることは分かりました。では極板間の電場の大きさはどうなるでしょうか?以下では、ガウスの法則を用います。(記事へのリンクはこちら

電荷\(+Q\)が帯電した極板からは上下対象に電荷\(E_+ =\displaystyle\frac{Q}{2}\)に対応するだけの電場が湧き出ていて、電荷\(-Q\)が帯電した極板からは上下対象に電荷\(E_- =\displaystyle\frac{Q}{2}\)に対応するだけの電場が吸収されています。

よってガウスの法則より、

\[E_+ =E_- =\displaystyle\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}\]

が成り立ち、極板間の合成電場は\(E\)は、

\[E=E_+ +E_- =\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\]

と書き下すことができます!

合成電場

\[E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\]

2.2 電位差と電気容量

次に、極板間の電位差(電圧)を考えていきましょう。電場の大きさと、極板間の距離が分かっているので、電位は以下のように書き下すことができます。

\[V=Ed=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S} d\] \[∴Q=\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\cdot V\]

このときの、\(\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\)を電気容量といい、大抵の場合記号\(C\)を用いて表されます。

\[Q=CV\]

ただし、\(C=\varepsilon_0\displaystyle\frac{S}{d}\)

この式は必ず覚えましょう。

この\(C\)を用いれば、先ほどの電場は、

\[E=\displaystyle\frac{Q}{C}\]

と表すことができます!

記事の最初では、電気容量は形状で変化すると述べましたが、上式よりコンデンサー間の距離や表面積で変化することが分かりました。

2.3 極板間引力

次に、極板間に働く力(極板間引力)の大きさ\(F\)を求めましょう。これは定義通りに計算してあげればよく、

\[F=QE_-=|-QE_+|=\displaystyle\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}=\displaystyle\frac{1}{2}QE\]

となります!

よくある間違い

極板間引力を求める際に、

\[F=QE=\displaystyle\frac{Q^2}{\varepsilon_0 S}\]

と計算してしまう人がかなり多く見受けられます。あくまでも、極板が受ける力は、極板間の合成電場ではなく、向かい合っている極板の電位に依ることを意識しましょう。

2.4 電荷保存則

最後に電荷保存則について説明します。回路の孤立部分に目を向けてみましょう。孤立部分とは、他の部分と導線でつながっておらず、電荷の流入・流出がない部分のことです。

電子は、導線伝いにしか移動しないので、孤立部分の総電子数は不変、つまり電荷の合計は保存されます。このことを「電荷保存則」といいます。

下にいくつか例を載せておきます。電荷保存則は電磁気分野において超重要事項です。必ず理解しましょう。

3. 合成容量

コンデンサーの基本的な性質については理解できたでしょうか?ここでは、コンデンサーを複数個繋げたときの様子について考察を行います。

3.1 直列につないだ場合

まずは、電気容量\(C_1\)と\(C_2\)コンデンサーを下図のように直列につないだ場合を考えてみましょう。

はじめ、どちらのコンデンサーも帯電していないものとします。その後、回路のスイッチを入れて、全体に電圧\(V\)をかけて、このとき極板1に電荷\(+Q\)がたまったとします。このとき、極板2には電荷\(-Q\)がたまります。さらに、極板2と3が孤立部分になっているため電荷保存則が成立し、極板3の電荷は\(+Q\)となり、その結果極板4の電荷は\(-Q\)となります。

ここで、極板12、34の間では以下の関係が成り立ちます。

\[
\begin{cases}
Q=C_1 V_1\cdots①\\
Q=C_2 V_2\cdots②
\end{cases}
\]

極板23間は等電位だから、

\[V=V_1 +V_2\cdots③\]

①②を③に代入すると、

\[V=\displaystyle\frac{Q}{C_1}+\displaystyle\frac{Q}{C_2}=Q\left(\displaystyle\frac{1}{C_1}+\displaystyle\frac{1}{C_2}\right)\]

\(Q=CV⇔V=\displaystyle\frac{Q}{C}\)と比較すると、合成容量を\(C\)としたときに、

\[\displaystyle\frac{1}{C}=\displaystyle\frac{1}{C_1}+\displaystyle\frac{1}{C_2}\]

という関係が成り立つことが分かります!これを拡張させて、直列につないだ場合に関しては、以下のように一般化することができます。

直列につないだ時の合成容量

\[\displaystyle\frac{1}{C}=\sum_{i} \frac{1}{C_{i}}\]

3.2 並列につないだ場合

次に、並列につないだ場合を考えてみましょう。

先ほどと同じように、帯電していない状態からスイッチを入れ、全体に電圧\(V\)を掛けた場合を考えます。このとき、どちらのコンデンサーにも電圧\(V\)がかかります。さらにコンデンサー1の電荷を\(Q_1\)、コンデンサー3の電荷を\(Q_2\)とすると、並列コンデンサーの電荷分布は下図のようになります。

このとき、左右のコンデンサーで以下の関係が成り立ちます。

\[
\begin{cases}
Q_1 =C_1 V\cdots④\\
Q_2 =C_2 V\cdots⑤
\end{cases}
\]

④+⑤より、

\[Q_1 +Q_2=\left(C_1+C_2\right)V\]

\(Q=CV\)と比較すると、合成容量\(C\)は、

\[C=C_1 +C_2 \]

という関係が成り立ちます。これを拡張させて、並列につないだ場合に関しては、以下のように一般化することができます。

並列につないだ時の合成容量

\[C=\sum_{i} C_{i}\]

4. 極板間への挿入

次は、極板間に物体を挿入したときの電気容量の変化について考えていきましょう!最初に誘電体の挿入について考えていきます。

4.1 誘電体と誘電分極

まず誘電体とは何かについて説明します。誘電体とは、不導体・絶縁体とも呼ばれ、電圧を加えると電気分極が起こり、電気を蓄えることができる物質のことを言います。分極の原理を詳しく見ていきましょう。

誘電体に対して電場(赤矢印)を掛けると、個々の分子・原子内の電子が静電気力を受けます。その結果、分子・原子がすべて偏ります。その偏りにより生じた電場(青矢印)により、誘電体内部では元の電場が弱められます。

このとき、誘電体の比誘電率(媒質中の誘電率/真空中の誘電率)を\(\varepsilon_r\)とすると、内部の電場は外部の\(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_r}\)倍となり、このことから容量は\(\varepsilon_r\)倍となります。これは必ず頭に入れておきましょう。

なぜ容量は『比誘電率の倍数』になるのか?

下図のように、\(d\)だけ離れた極板間に長さ\(r\)で比誘電率\(\varepsilon_r\)の誘電体を挿入した場合を考えます。

このとき電場の大きさは、

\[E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\times \displaystyle\frac{1}{\varepsilon_r}\]

電位差を\(V\)とすると、

\[V=Ed=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\times \displaystyle\frac{1}{\varepsilon_r}\times d\] \[∴Q=\varepsilon_r \varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\times V\]

となり、元の電気容量\(\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\)の\(\varepsilon_r\)倍になっていることが分かります!

4.2 誘電体の挿入

パターン1

まずは、\(+Q\)と\(-Q\)に帯電した極板間距離\(d\)、面積\(S\)の極板の間に、厚さ\((1-a)d\) \((ただし0<a<1)\)の誘電体を挿入した場合を考えていきます。

まず、電場\(E_1, E_2\)について考えてみると、

\[\left\{\begin{array}{l}{E_{1}=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_{0} S}} \\ {E_{2}=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_{r} \varepsilon_{0} S}}\end{array}\right.\]

となり、二つの極板間の電位差\(V\)は

\[V=E_1 ad+E_2 (1-a)d\] \[\quad =\frac{Q}{\varepsilon_{0} S}ad +\frac{Q}{\varepsilon_{r} \varepsilon_{0} S}(1-a)d\] \[\quad =Q \displaystyle\frac{d}{\varepsilon_0 S}\left(a+\displaystyle\frac{1-a}{\varepsilon_r} \right)\]

\[Q=CV⇔V=\displaystyle\frac{1}{C}Q\]と比較すると、

\[\displaystyle\frac{1}{C}=\displaystyle\frac{d}{\varepsilon_0 S}\left(a+\displaystyle\frac{1-a}{\varepsilon_r} \right)\]

となることが分かります!

これだけだと何が言いたいかわからないかもしれません。ここで先ほど扱った、直列につないだ場合の合成抵抗の公式\(\displaystyle\frac{1}{C}=\sum_{i} \frac{1}{C_{i}}\)を思い出しましょう。誘電体を含む部分と含まない部分のそれぞれの容量の逆数の和は、

\[\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{ad}}+\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{(1-a) d}}=\displaystyle\frac{d}{\varepsilon_0 S}\left(a+\displaystyle\frac{1-a}{\varepsilon_r} \right)=\displaystyle\frac{1}{C}\]

となり、直列につないだ場合の合成容量の公式が成り立っていることが分かります!
つまり、先ほどのコンデンサーは以下のように二つのコンデンサーの直列つなぎと考えることができるのです!

パターン2

次に、\(+Q\)と\(-Q\)に帯電した極板間距離\(d\)、面積\(S\)の極板の間に、厚さ\(d\)、面積\((1-a)S\) \((ただし0<a<1)\)の誘電体を挿入した場合を考えていきます。

先ほど同様、電場\(E_3, E_4\)について考えてみましょう。

\[\left\{\begin{array}{l}{E_{3}=\displaystyle\frac{Q-q}{\varepsilon_{0} S(1-a)}\cdot \displaystyle\frac{1}{\varepsilon_{r}}} \\ {E_{4}=\displaystyle\frac{q}{\varepsilon_{0} S a}}\end{array}\right.\]

\(V=Ed\)を考えると、\(E=E_1=E_2\)だから

\[\displaystyle\frac{Q-q}{\varepsilon_{0} S(1-a)}\cdot \displaystyle\frac{1}{\varepsilon_{r}}=\displaystyle\frac{q}{\varepsilon_{0} S a}\] \[∴q=\displaystyle\frac{aQ}{(1-a)\varepsilon_r+a}\]

この\(q\)を\(E=\displaystyle\frac{q}{\varepsilon_{0} S a}\)に代入すると、

\[E=\frac{1}{\varepsilon_{0} a} \cdot \frac{a Q}{(1-a) \varepsilon_{r}+a}\] \[V=Ed=\frac{d}{\varepsilon_{0} a} \cdot \frac{a Q}{(1-a) \varepsilon_{r}+a}\]

これより、

\[Q=\varepsilon_{0} \frac{S}{d}\left\{(1-a) \varepsilon_{r}+a\right\}V\]

となり、合成容量

\[C=\varepsilon_{0} \frac{S}{d}\left\{(1-a) \varepsilon_{r}+a\right\}\]

となることが分かります!また、上式は

\[C=\varepsilon_{0} \frac{Sa}{d}+\varepsilon_{r}\varepsilon_{0} \frac{S(1-a)}{d}\]

と変形でき、並列につないだ場合の合成抵抗の公式\(C=\sum_{i} C_{i}\)を満たすことが分かります!つまり、先ほどのコンデンサーは以下のように二つのコンデンサーの並列つなぎと考えることができるのです。

4.3 金属板(導体)の挿入

誘電体を挿入したときを理解しているのなら、金属板の挿入はいたって単純です。

先ほど扱った静電誘導について思い出してください。静電誘導により、導体に電場を掛けると、導体内の電場は0になります。導体内の電場が0になったとき、コンデンサーの電気容量がどうなるか考えていきましょう。空気中の誘電率を\(varepsilon\)とします。

上図について考えていきます。並列の場合と同じように、これを直列コンデンサーと捉えても良いですが、導体を扱う場合は以下のように考えると便利です。

金属板挿入前の電位差を\(V\)、挿入後の電位差を\(V’\)とすると

\[
\begin{cases}
V=Ed\\
V’=Ed_1+Ed_2=E\left(d-D\right)
\end{cases}
\]

この二式より、

\[V’=\displaystyle\frac{V}{d}(d-D)\]

挿入前の容量を\(C\)、挿入後の容量を\(C’\)とすると、

\[
\begin{cases}
Q=CV\\
Q=C’ V’\end{cases}
\]

となり、

\[C’=\displaystyle\frac{Q}{V’}=\displaystyle\frac{d}{d-D}\varepsilon\displaystyle\frac{S}{d}=\varepsilon\displaystyle\frac{S}{d-D}\]

となることが分かります!
結局は、極板間隔が\(d→d-D\)となったことを示しており、金属の厚み分だけ間隔が減ったと解釈することもできます。このように、極板間に入った金属は基本的に無視できる(導線として扱うことができる)ことが明らかになりました!

挿入まとめ

・誘電体(導体)が挿入された場合は、並列・直列にコンデンサーを分解して考えるとやりやすい。

・挿入されたのが導体の場合、導線として扱うことができ、極板間隔を減らす効果がある。

注意!

先ほどから、\(\varepsilon_0\),\(\varepsilon_r\),\(\varepsilon\)の三つの記号を用いてきましたが、その意味について混同していないでしょうか?以下にもう一度意味を載せます。

\(\varepsilon_0\):真空中の誘電率
\(\varepsilon_r\):誘電体の誘電率
\(\varepsilon\):媒質の誘電率

問題に\(\varepsilon\)関連の記号が出てきたら、それが「誘電率」なのか「比誘電率」なのか必ずチェックしましょう。上位層の生徒でもそこを取り違えて減点に繋がることが多いです。気をつけてください!

5. 静電エネルギーについて

5.1 静電エネルギーとは

電気量\(Q\)、電圧\(V\)をもつ電気容量\(C\)のコンデンサーは、「静電エネルギー」を蓄えています。このとき、静電エネルギーは以下のように書き下すことができます。

静電エネルギー

\[\displaystyle\frac{1}{2}CV^2= \displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\]

上は一つの形さえ覚えておけば、あとは\(Q=CV\)の関係式を適応させて他二つの形も導き出すことができます。問題に応じて使い分けましょう。

5.2 導出 

それでは導出を行います。

下図のように、はじめ帯電していない極板間距離\(d\)の極板に、電荷\(q, -q\)が帯電するまでに蓄えられるエネルギーを考えていきます。

仕事とエネルギーの関係より、この操作に要する仕事\(W\)が、コンデンサーの静電エネルギーになることが分かります。\(W\)を求めていきましょう。

微小電荷\(\Delta x\)を運ぶ際の外力の仕事は、

\[\Delta W=f_外 \cdot d\] \[\qquad =\Delta x E\cdot d\] \[\qquad =\displaystyle\frac{xd}{\varepsilon_0 S}\Delta x\]

の和を考えて、

\[W=\sum \frac{x d}{\varepsilon_{0} S} \Delta x\]

一般には、

\[\begin{aligned} W &=\int_{0}^{q} \frac{xd}{\varepsilon_{0}S} d x \\ &=\frac{q^{2} d}{2\varepsilon_{0}S}=\frac{1}{2} \frac{q^{2}}{c} \end{aligned}\]

となり、無事静電エネルギーの公式を導き出すことができました!

6. まとめ

お疲れ様でした。最後に今回学んだことをまとめておくので、復習に役立ててください!

コンデンサーまとめ

コンデンサーの一般系

\[\left\{\begin{array}{l}{Q_{1}=C_{12}(\phi_1 -\phi_2)+C_{13}(\phi_1 -\phi_3)} \\ {Q_{2}=C_{21}(\phi_2 -\phi_1)+C_{23}(\phi_2 -\phi_3)} \\ {Q_{3}=C_{31}(\phi_3 -\phi_1)+C_{32}(\phi_3 -\phi_2)}\end{array}\right.\]

平行平板コンデンサー

合成電場:\(E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\)

電位差:\(V=Ed=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S} d\)

関係式:\(Q=\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\cdot V≡CV\)

極板間引力:\(F=\displaystyle\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}=\displaystyle\frac{1}{2}QE\)

電荷保存則:孤立部分の電荷の合計は保存される。

合成容量

直列:\(\displaystyle\frac{1}{C}=\sum_{i} \frac{1}{C_{i}}\)
並列:\(C=\sum_{i} C_{i}\)

極板間への挿入

・誘電体(導体)が挿入された場合は、並列・直列にコンデンサーを分解して考えるとやりやすい。

・挿入されたのが導体の場合、導線として扱うことができ、極板間隔を減らす効果がある。

静電エネルギー

\[\displaystyle\frac{1}{2}CV^2= \displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\]

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