クーロンの法則まとめ（公式・証明・問題）

【問１】

AはBから斥力を受けているのでからBの電荷は正。Bの電荷の大きさを \( q\)[C] とおくと、クーロン則より

\( \displaystyle 90 = 9 \times 10^9 \times \frac{1.0\times 10^{-6} q}{0.2^2} \)

これを解くと、

\( q = 4.0 \times 10^{-4} [\rm{C}] \color{red}{ \cdots 【答】 } \)

が得られます。

 

【問２】

AはBからは斥力、Cからは引力を受けます。それぞれの力の大きさを求めていきましょう。

\( \begin{cases}
\displaystyle F_B = k \frac{q^2}{a^2}\\
\displaystyle F_C = k \frac{q\cdot 2q}{\left(2a\right)^2} = \frac{1}{2} F_B
\end{cases} \)

\( \begin{align}
\displaystyle ∴ \ F & =\sqrt{F_B^2+F_C^2} \\
\\
& = \frac{kq^2}{a^2} \sqrt{1+\frac{1}{2^2}} \\
\\
& = \frac{\sqrt{5}kq^2}{2a^2}
\end{align} \)

これを踏まえて図示すると下図を得ます。

【問１】小球が \( \left(0,y \right) \) にあるときの、運動方程式を考えてみましょう。

そのためには、小球にかかる力を図示する必要があります。力を図示すると下図のようになります。

ただし \( \displaystyle \cos \theta = \frac{y}{r} \) を満たします。

このときの小球の運動方程式は、

\( \begin{align}
\displaystyle m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} & = k \frac{Q q}{r^{2}} \cos \theta + k \frac{Q q}{r^{2}} \cos \theta \\
\\
& = \frac{2 k Q q y}{\left(r^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
\end{align} \)

この運動方程式が解けるに越したことはありませんが、この微分方程式は解くことができないので、他の方法を考える必要があります。

ここで用いるのが「エネルギー保存則」です。

 

エネルギー保存則より、

\( \displaystyle \frac{1}{2} m v^{2}+k \frac{Q q}{r}+k \frac{Q q}{r}=const. \)

\( \displaystyle ∴ \ \frac{1}{2} m v^{2}+\frac{2 k Q q}{\sqrt{a^{2}+y^{2}}}=const. \)

注：二つの電荷から影響を受けることに注意！位置エネルギーを一つだけしか書かないミスが多い。

 

原点通過時の速さを \( v_0 \) とすると、点B の座標\( \left(0, \sqrt{3} \right) \)より

\( \displaystyle \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{2 k Q q}{a} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2}+\frac{2k Q q}{\sqrt{a^{2}+3}} \)

この\(v_0\)が存在する条件は、\( \displaystyle \frac{1}{2} mv_0^2 > 0 \) だから、

\( \displaystyle v_{B} > \sqrt{\frac{4k Q q}{m}(\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+3}})}\color{red}{ \cdots 【答】 } \)

 

【問２】

小球の運動方程式は、

\( \displaystyle m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=k \frac{Q q}{\{x-(-a)\}^{2}}- k \frac{Q q}{(x-a)^{2}} \)

\( \left|x \right|<<a \) だから（わずかに動かしたときを考えているから）、

\( \displaystyle m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}≒\frac{k Qq}{a^{2}}\left\{\left(1-2 \frac{x}{a}\right)-\left(1+2 \frac{x}{a}\right)\right\} \)

\( \displaystyle ∴ \ \frac{d^{2} x}{d t^{2}} ≒ – \frac{4 k Q q}{m a^{3}} x \)

単振動の運動方程式の形と比較すると、

\( \displaystyle w=\sqrt{\frac{4 k Q q}{m a^{3}}} \)

よって、求める周期 \( T \) は、

\( \displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m a^{3}}{4 k Q q}} \color{red}{ \cdots 【答】 } \)