キルヒホッフの法則まとめ(第1法則・第2法則・問題・コツ)

東大塾長の山田です。

このページでは、キルヒホッフの法則について詳しく説明しています。

キルヒホッフの法則を使う意味から詳しい説明、問題演習を順に行うことで、知識の定着をはかっています。回路問題を解く際に必須といっても過言ではないキルヒホッフの法則、ここでしっかりと理解して、知識を盤石なものにしましょう!

1. キルヒホッフの法則について

オームの法則では、回路の一部分のみを着目しました。入試で頻出な複雑な回路問題を解く際には、オームの法則だけでは対処できないことが多いです。そのときに活躍するのが回路全体で成り立つ「キルヒホッフの法則」です。

キルヒホッフの法則には第一法則第二法則があります。まずはそれをしっかりと解説していきます。

1.1 キルヒホッフの第一法則

まずはキルヒホッフの第一法則について説明します。第一法則とは以下のようなものです。

キルヒホッフの第一法則

回路が枝分かれしている点では、流入電流(電気量)と流出電流(流出)は等しい。

\[\displaystyle\sum_{流入}I_i=\displaystyle\sum_{流出}I’_{i}\]

結局第一法則が言いたいのは、電流の湧き出しや湧きこみがないということです。流入してきた分だけ流出するというイメージを持っておきましょう。

電流のおき方のコツ

実際に問題を解くとき、回路の各部分を流れる電流を、向き・大きさ含めて仮定し、さらに未知数ができるだけ少なくなるような置き方をしてあげる必要があります。(下図参照)

1.2 キルヒホッフの第二法則

続いては、第二法則について扱います。キルヒホッフの第二法則とは、以下のようなものです。

キルヒホッフの第二法則

\[\displaystyle\sum_{閉回路}(起電圧)=\displaystyle\sum_{閉回路}(電圧降下)\]

言い換えると、

閉回路上の任意の二点間において、電位差はどの経路をたどっても一位に定まる。

詳しく説明していきます。

電流が循環的に流れるためには、回路は閉じている必要があります(閉回路)。単純な回路として数のような回路を考えてみましょう。

電流は抵抗を通じて高電位のAから低電位のBに流れ落ちていきます(電圧降下)。しかし、電流が循環的に回路を一周するためには、電源において電圧降下の分だけ、電位の低い側から高い側に汲み上げられる必要があります。

これはつまり、「電源には電流を電位の高くなる向きに汲み上げる能力がある」ということを意味しています。よって電圧降下の分だけ、電源が電位を挙げる必要があるので、以下の関係が成立します。(キルヒホッフの第二法則)

\[\displaystyle\sum_{閉回路}(起電圧)=\displaystyle\sum_{閉回路}(電圧降下)\]

またこのことより、Bから見たAの電位は、右の抵抗を通って測っても左の電源を取通って測っても同じということが分かります。これより、キルヒホッフの第二法則は以下のように言い換えることが可能です。

\[閉回路上の任意の二点間において、電位差はどの経路をたどっても一位に定まる。\]

しっかりと頭に入れておきましょう。

2. 確認問題

キルヒホッフの法則は実際に問題を解くことで、使い方を学んでいく必要があります。何問か解いてみましょう。

2.1 キルヒホッフの法則を用いるときのコツ

キルヒホッフの法則を用いるとき、符号ミスをしてしまう人が良く見受けられます。そういったミスを減らすためにも、キルヒホッフの法則を用いる際に以下のような記号付けをすると良いです!

電圧が上昇する方向に矢印を広げるようにし、逆に電圧が降下する際に矢印を閉じるようにしてみましょう。(上図参照)これは抵抗においては、電流が進む向きににもなっているので、わりとすっきりと頭に入ってくると思います。

そして電圧が上昇する方向を正としてキルヒホッフ則をたてると、

\[E-RI=0\]

という式が成り立つことが分かります。

この図示方法を用いて以下の問題も解いていきます。

2.2 確認問題1

問題

以下の回路において、AB間を流れる電流と、AB間での消費電力を求めよ。ただし、電流の向きは、A→Bを正とする。

なるべく未知数を少なくすることを念頭に置いて解いてみましょう。

それでは解答です。

解答

まずは電流を置いてみます。そのあとに、電圧の上昇・降下を考えてみましょう。それらを図示すると下図のようになります。

キルヒホッフ則の第一法則より

\[RI=-r_2 (I-i)+E_2\] \[\qquad =-E_1 -r_1 i\]

これを整理すると、

\[
\begin{cases}
(R+r_2)I-r_2 i=E_2\cdots① \\
RI+r_1 i=E_1\cdots②
\end{cases}
\]

\(①\times r_1+②\times r_2\)より、

\[I=\displaystyle\frac{r_1 E_2-r_2 E_1}{R(r_1+r_2)+r_1 r_2}\cdots答\]

これより、

\[[消費電力]=R\left[\displaystyle\frac{r_1 E_2-r_2 E_1}{R(r_1+r_2)+r_1 r_2}\right]^2\cdots答\]

 

2.3 確認問題2

次に、入試で出てくるようなもう少し複雑な系の問題について扱ってみましょう。といってもやることは変わらず、キルヒホッフの法則をうまく用いるだけです。

問題

以下の回路において、問に答えよ。

(1)AB間を流れる電流の大きさはいくらか。

(2)AB間の合成抵抗を求めよ。

考えてみましたか?それでは解答です。

解答

(1)以下のように電流を置いてみましょう。

このとき、キルヒホッフ則より、

\[E=R_2(I_1 -i)+R_1 I_1\] \[\quad =R_1(I_2+i)+R_2I_2\] \[\quad =R_1(I_2+i)+ri+R_1 I_1\]

上2式を用いて、

\[(R_1+R_2)(I_1-I_2-i)=0\] \[∴I_1 -I_2-i=0\] \[∴i=I_1-I_2\]

これを用いると、

\[I_1-i=I_2,\quad I_2+i=I_1\]

となりキルヒホッフ則は改めて、

\[E=R_1 I_1+R_2 I_2(対称性に気づけるならここから書いても良い!)\] \[\quad =R_1I_1+r(I_1-I_2)+R_1 I_1\]

よって、

\[I_1=\displaystyle\frac{r+R_2}{2R_1R_2+r(R_1+R_2)}E,\quad I_2=\displaystyle\frac{r+R_1}{2R_1R_2+r(R_1+R_2)}E\] \[∴I=I_1+I_2\] \[\qquad =\displaystyle\frac{2r+R_1+R_2}{2R_1R_2+r(R_1+R_2)}E\cdots答\]

また、AB間の合成抵抗は

\[[合成抵抗]=\displaystyle\frac{2R_1R_2+r(R_1+R_2)}{2r+R_1+R_2}\cdots答\]

補足:\(E=□\times I\)の□が合成抵抗。

3. まとめ

お疲れ様でした。最後に今回学んだことをまとめておくので、復習に役立ててください!

キルヒホッフ則まとめ

第一法則

回路が枝分かれしている点では、流入電流(電気量)と流出電流(流出)は等しい。

\[\displaystyle\sum_{流入}I_i=\displaystyle\sum_{流出}I’_{i}\]

第二法則

\[\displaystyle\sum_{閉回路}(起電圧)=\displaystyle\sum_{閉回路}(電圧降下)\]

言い換えると、

閉回路上の任意の二点間において、電位差はどの経路をたどっても一位に定まる。

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