【高校物理】電磁気公式まとめ

クーロン則：\(F=k_0\displaystyle\frac{Q_A Q_B}{r^2}\)

位置エネルギー：\(U=k\displaystyle\frac{Q_A Q_B}{r}\)

エネルギー保存則：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+k\displaystyle\frac{Q_A Q_B}{x}=const.\)

電気力線の性質

①正電荷からわきだし、負電荷に吸収される。

②接線の向き⇒電場の向き

③垂直な面を単位面積あたりに貫く本数⇒電場の強さ

④電荷\(Q\)から、\(\displaystyle\frac{\left|Q\right |}{ε_0}\)本出入りする。

＊\(ε_0\)とクーロン則における比例定数kとの間には、\(k=\displaystyle\frac{1}{4\pi ε_0}\)が成立する。

ガウスの法則

\[[閉曲面を貫く電気力線の全本数]=\displaystyle\frac{[内部の全電荷]}{ε_0}\]

単位電荷を想定して、

\[\left\{\begin{array}{l}受ける力⇒電場{\vec{E}} \\ 生じる位置エネルギー⇒電位{\phi}\end{array}\right.\]

電場について

電場\(\vec{E}\)中で電荷\(q\)に働く力：\(\vec{F}=q\vec{E}\)

点電荷の電場：\(\vec{E}=k\displaystyle\frac{Q}{r^2}\)

電位について

電位\(\phi\)で電荷\(q\)が持つ位置エネルギー：\(U=q\phi\)
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ある点の電位とは、基準点からその点まで電荷をゆっくりと運ぶために、外力が単位電荷あたりにしなければいけない仕事のこと。

エネルギー保存則：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+qV=\rm{const.}\)

電位差：\(V=Ed\)

点電荷の電位：\(\phi=k\displaystyle\frac{Q}{r}\)（無限遠基準）

等電位線の性質：（等電位線）⊥（電場）

コンデンサーの一般系

\[\left\{\begin{array}{l}{Q_{1}=C_{12}(\phi_1 -\phi_2)+C_{13}(\phi_1 -\phi_3)} \\ {Q_{2}=C_{21}(\phi_2 -\phi_1)+C_{23}(\phi_2 -\phi_3)} \\ {Q_{3}=C_{31}(\phi_3 -\phi_1)+C_{32}(\phi_3 -\phi_2)}\end{array}\right.\]

平行平板コンデンサー

合成電場：\(E=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\)

電位差：\(V=Ed=\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S} d\)

関係式：\(Q=\varepsilon_0 \displaystyle\frac{S}{d}\cdot V≡CV\)

極板間引力：\(F=\displaystyle\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}=\displaystyle\frac{1}{2}QE\)

電荷保存則：孤立部分の電荷の合計は保存される。

合成容量

直列：\(\displaystyle\frac{1}{C}=\sum_{i} \frac{1}{C_{i}}\)
並列：\(C=\sum_{i} C_{i}\)

極板間への挿入

・誘電体（導体）が挿入された場合は、並列・直列にコンデンサーを分解して考えるとやりやすい。

・挿入されたのが導体の場合、導線として扱うことができ、極板間隔を減らす効果がある。

静電エネルギー

\[\displaystyle\frac{1}{2}CV^2= \displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\]

静電エネルギー：\(\displaystyle\frac{1}{2}CV^2= \displaystyle\frac{1}{2}QV=\displaystyle\frac{Q^2}{2C}\)

エネルギー収支：\([電池のした仕事]+[外力の仕事]=[静電エネルギーの変化]+[ジュール熱]\)

電流：\(I=enSv\)

オームの法則：\(V=\displaystyle\frac{kl}{e^2 nS}\times I(⇔V=RI)\)

抵抗：\(R=\displaystyle\frac{k}{e^2 n}\cdot\displaystyle\frac{l}{S}≡\rho\displaystyle\frac{l}{S}\)（\(\rho\)は抵抗率）

消費電力：\(P=\frac{V^{2}}{R}=I V=R I^{2}\)

第一法則

回路が枝分かれしている点では、流入電流（電気量）と流出電流（流出）は等しい。

\[\displaystyle\sum_{流入}I_i=\displaystyle\sum_{流出}I’_{i}\]

第二法則

\[\displaystyle\sum_{閉回路}(起電圧)=\displaystyle\sum_{閉回路}(電圧降下)\]

言い換えると、

閉回路上の任意の二点間において、電位差はどの経路をたどっても一位に定まる。

電流計：電磁力を用いて電流を測定する装置。

つなぎ方：直列

分流器：\(R=\displaystyle\frac{r_A}{n-1}\)

電圧計：電磁力を用いて電圧を測定する装置、電流計に抵抗値の大きい抵抗を入れることで作られる。

つなぎ方：並列

倍率器：\(R=(n-1)r_v\)

抵抗\(R\)[Ω]の物体に、\(I\)[A]の電流を\(t\)秒間流したときに発生するジュール熱\(Q\)[J]は、

\[Q=RI^2t\]

これはオームの法則\(V=RI\)を用いることで、以下のように表記することもできる。

\[Q=RI^2t=VIt=\displaystyle\frac{V^2}{R}t\]

消費電力\(P\)[W]：単位時間当たりのジュール熱

\[P==RI^2=VI=\displaystyle\frac{V^2}{R}\]

磁気に関するクーロン則：\(F=k_m\displaystyle\frac{m_1 m_2}{r^2}\)
ただし、\(μ\)は透磁率

磁場\(\vec{H}\)：ある場所において1Wbの磁極が受ける力の大きさのことで、向きはその場所においてN極を置いた時に受ける力の向きに等しい。単位は\([\rm{N/Wb}]\)。

磁束密度\(\vec{B}\)：単位面積当たりの磁束の強さ⇔単位長さ当たりの導線が、単位電流あたりに受ける力の大きさのこと。単位は、\([\rm{T}]=[\rm{Wb/m^2}]\)

関係式：\(\vec{B}=μ \vec{H}\)

電流が作る磁場公式

①直線電流

大きさ：\(H(r)=\displaystyle\frac{I}{2\pi r}\)

向き：\(I\)に垂直な面内で\(I\)に対して右回り（\(I\)の向きに右ねじを回す向き）

②円形電流

大きさ：\(H(r)=\displaystyle\frac{I}{2r}\)

向き：\(I\)に垂直な面内で\(I\)に対して右回り（\(I\)の向きに右ねじを回す向き）

③ソレノイド

大きさ：\(H=nI\)

向き：軸に平行で電流に対して右ねじの向き

磁場が与える力

ローレンツ力：\(\vec{F_L}=q\vec{v}\times\vec{B}\)

電磁力：\(\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}\times\Delta l\)

ローレンツ力の定義：\(\vec{F_L}=q\vec{v}\times\vec{B}\)

大きさ：\(\left|F_L\right|=q\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B}\right|\sin\theta\)

向き：\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)を含む面に垂直で、\(\vec{v}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向き

ただし、\(q<0\)の場合は向きは逆になる。

式からわかること、、
①速度の向きと、磁場の向きが平行の場合、ローレンツ力は働かない。
②\(\vec{F_L}⊥\vec{v}\)である。
③\(\vec{F_L}⊥\vec{B}\)である。

磁場中の電荷の運動について
⇒\(\vec{B}\)方向の成分と\(\vec{B}\)に垂直な面内の成分に分けて追跡すると良い。

電磁力：磁界と電流の相互作用で発生した力のこと

ローレンツ力：荷電粒子が磁束密度から受ける力のこと。

表記：\(\vec{F_L}=q\vec{v}\times\vec{B}\)
大きさ：\(\left|F_L\right|=q\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B}\right|\sin\theta\)
向き：\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)を含む面に垂直で、\(\vec{v}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向き

電磁力（アンペール力、フレミング左手の法則の力）：電流が磁束密度から受ける力のこと

表記：\(\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}\times\Delta l\)
大きさ：\(\left|F\right|=\left|\vec{I}\right|\left|\vec{B}\right|l\sin\theta\)
向き：\(\vec{I}\)と\(\vec{B}\)を含む面に垂直で、\(\vec{I}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向き

フレミング左手の法則：力の向きの決定方法の一つ

ローレンツ力の場合

電磁力（アンペール力、フレミング左手の法則の力）の場合

磁束と磁束密度：\(\phi=BS\cos\theta\)

ファラデーの法則：\(V_{emf}=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\)

ただしこの式には、誘導起電力の向きは、「磁束の変化を妨げる向き」である、というレンツの法則の表れでもある。

コイルの自己誘導：\(V_{emf}=-L\displaystyle\frac{dI}{dt}\)

コイルの相互誘導：\(V_{emf}=-M\displaystyle\frac{dI}{dt}\)

端子電圧の大きさは、コイルの「巻き数」に比例する。

実効値：\(I_e=\displaystyle\frac{I_0}{\sqrt{2}},\quad V_e=\displaystyle\frac{V_0}{\sqrt{2}}\)

以下交流電源の電圧を\(V=V_0\sin\omega t\)とする。

抵抗を流れる交流

\[I_R=I_0\sin\omega t\]

コイルを流れる交流

\[I_L=I_0\sin(\omega t-\displaystyle\frac{\pi}{2})\]

コンデンサーを流れる交流

\[I_C=I_0\sin(\omega t+\displaystyle\frac{\pi}{2})\]

RLC並列回路

インピーダンス：\(Z_{並}=\displaystyle\frac{V_{eff}}{I_{eff}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{R}\right)^{2}+\left(w C-\displaystyle\frac{1}{\omega L}\right)^{2}}}\)

RLC直列回路

インピーダンス：\(Z_直=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)^2}\)

どちらの回路においても、電力は抵抗だけで消費される！