電磁力の公式まとめ(ローレンツ力・フレミング左手の法則)

東大塾長の山田です。

このページでは、電磁力の公式について詳しく説明しています。

電磁力について基本的な説明をした後に、一つの荷電粒子にかかる力(ローレンツ力)を考察し、その後に電流が受ける力を導出し、その応用例を扱います。この流れを抑えることで、体系的な理解が可能になっています。

ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 電磁力について

1.1 電磁力とは

磁石で生じた磁界の中に導体を置いて、そこに電流を流すと力が発生します。このように磁界と電流の相互作用で発生した力のこと「電磁力」といいます。

電磁力が用いられる例としては、電流計や電圧計があります。

電流が大きいほど、電流計の針を回転させる力が強く、針はより大きな目盛りを指します。(電流計電圧計はこちらから)

この記事では、磁束密度の中の荷電粒子にかかる力(ローレンツ力)を求めてから、磁束密度により電流全体にかかる力を考察していきます。電流が荷電粒子(この場合は電子)の運動により発生していることから、この二つには密接な関係があることが分かると思います。

2.ローレンツ力

それでは、まずはローレンツ力について考えていきましょう。(詳しい説明はこちらから

2.1 ローレンツ力の説明

電場が\(\vec{E}\)、磁束密度が\(\vec{B}\)の電磁場中の点Pについて考えてみましょう。この点Pにやがてやってくる電気量\(q\)、速度\(\vec{v}\)の粒子は、以下のような\(\vec{F}\)を受けます。

\[\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\]

ここで、\(\vec{E}=0\)のときの\(\vec{F}\)を考えてみましょう。このときの\(\vec{F}\)を\(\vec{F_L}\)とすると、

\[\vec{F_L}=q\vec{v}\times\vec{B}\]

と書くことができます。このときの\(\vec{F_L}\)を「ローレンツ力」といいます。この形は覚えてしまいましょう。

これは

\[\displaystyle\frac{\vec{F_L}}{q}=\vec{v}\times\vec{B}\]

と変形することができ、一つのベクトルで大きさと向きを持ちます。

荷電粒子が磁場から受ける力がローレンツ力だと思ってもらえば十分です。

2.2 力の大きさと向き

このとき、ローレンツ力の大きさと向きは以下のように定義されます。

ローレンツ力

大きさ:\[\left|F_L\right|=q\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B}\right|\sin\theta\]

ただし、このときの\(\theta\)は、\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)のなす角で\(0≦\theta≦\pi\)。

向き:\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)を含む面に垂直で、\(\vec{v}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向き

大きさについて

もし実際に力の大きさを計算することが求められたときは、\(\vec{B}\)(もしくは\(\vec{v}\))を\(\vec{v}\)(\(\vec{B}\))に垂直な成分と平行な成分に分解して、垂直な成分のみを考慮してあげればよいことが分かります。

例えば上図の\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)によるローレンツ力の大きさは、速度成分に垂直な磁場成分を考えればよいから

\[\left|F_L\right|=q\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B_1}\right|\]

と書き下すことができます。\(B_1=B\sin\theta\)も考えてあげると、力の大きさの公式がすっと理解できますね。

3.3 フレミング左手の法則

さて、向きの決定方法ですが、ローレンツ力の数学的な意味を考えると、上の定義がぴったりなのですがいかんせん覚えづらい・理解しづらいという人もいるかと思います。そこで、ローレンツ力の力の決定方法の一つとして、「フレミング左手の法則」を紹介したいと思います。

下図がフレミング左手の法則です。このとき、中指が電荷の速度方向人差し指が磁界の方向、親指がローレンツ力の方向となります。

先ほどの定義がしっくりこない人は、フレミング左手の法則を用いるとすんなり頭に入るかもしれません。これについて、すぐ後でもう一度扱うのでしっかりと頭に入れておいてください!

注1:\(q<0\)のときは、\(\vec{v}\times\vec{B}\)と\(\vec{F_L}\)はそれぞれ逆になります。

注2:\(\vec{v}\times\vec{B}\)を\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)の外積といいます。ただ、高校物理において実際に外積計算をさせることはなく、上のように必要な成分に分解することで計算することがほとんどです。

3. 電流が磁束密度から受ける力

「荷電粒子」が磁束密度から受ける力(ローレンツ力)について説明したところで、ここからは「電流」が磁束密度から受ける力について解説していきます。

3.1 力の公式とその導出

磁束密度\(\vec{B}\)が一様な磁場の中に導線を置くとします。このとき、導線には大きさ\(I\)の電流が図の向きに流れていて、その結果電子が電流の向きと逆方向に平均速度\(\vec{v}\)で流れているとします。

このとき、電子にかかるローレンツ力は上図\(\vec{f}\)のようになります。この場合は、荷電粒子が電子で負に帯電しているため、右ねじ方向とは逆向きに力がかかることに注意してください。以下では、自由電子の数密度を\(n\)、導線の断面積を\(S\)として考えます。

このとき電子(電気量\(-e\))にかかるローレンツ力は、

\[\vec{f}=-e\vec{v}\times\vec{B}\]

これを\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)の向きが一様とみなせる長さ\(\Delta l\)の導線内の電子について合計すると(上図の灰色円柱に着目)

\[\vec{F}=[電子数]\times (-e\vec{v}\times\vec{B})\] \[\quad =ns\Delta l (-e\vec{v}\times\vec{B})\] \[\quad =(-enS\vec{v})\times\vec{B}\Delta l\]

ここで、\(-enS\vec{v}\)に着目してみましょう。このベクトルの大きさは\(-enS|\vec{v}|\)でこれは電流の大きさ\(I\)と同値参考記事)で、向きは\(-\vec{v}\)の向きとなっています。このとき

\[\vec{I}=-enS\vec{v}\]

とおいて、これを電流ベクトルと呼ぶとします。これを用いると

\[\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}\times\Delta l\]

となります。この力は、電磁力の他に「フレミング左手の法則の力」「アンペールの力」などと呼ばれています。

3.2 向きと力の大きさ(ローレンツ力との関係)

上図を見てもらえばわかるように、力の方向が\(\vec{I}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向きとなっています。これはローレンツ力における\(\vec{v}\)を\(\vec{I}\)で置き換えたものになっています。

つまり、この力においては荷電粒子の速度ベクトルと電流ベクトルを入れ替えた、以下のようなフレミング左手の法則が成立します。

これがフレミング左手の法則の力と呼ばれる所以でもありますね。ローレンツ力の場合と一緒に頭に入れておきましょう!

また、力の大きさについでですが、これもローレンツ力の時と求め方は同様で(∵外積記号\(\times\)を用いているから)、\(\vec{I}\)と\(B\)のなす角を\(\theta\)としたとき

\[\left|F\right|=\left|\vec{I}\right|\left|\vec{B}\right|l\sin\theta\]

となります。

4. 電磁力の応用例

以下では、先ほど導出した力の公式を用いて「平行電流間に働く力」と「コイルに働く力」を求めていきましょう。どちらも受験で扱われることが多いので、しっかりと理解していきましょう。

4.1 平行電流間に働く力

二本の導線a, bを下図のように\(r\)だけ離して平行におき、それぞれに\(I_1, I_2\)の電流を流すと電流間に力\(F\)が働きます。この力の大きさを求めていきましょう。

まずは\(I_1\)が作る磁場が電流\(I_2\)に及ぼす力について考えていきましょう。

導線aが導線bに作る磁場の大きさ\(H_1\)は

\[H_1=\displaystyle\frac{I_1}{2\pi r}\]

であり、この時の磁束密度\(B_1\)は、

\[B_1=\varepsilon_0 H_1=\displaystyle\frac{\varepsilon_0 I_1}{2\pi r}\]

よって、導線bが長さ\(l\)あたりに受ける力\(F_1\)は、

\[F_1=I_2 B_1 l =\displaystyle\frac{\varepsilon_0 I_1 I_2}{2\pi r}l\]

同様に、導線aが長さ\(l\)あたりに導線bの電流から受ける力の大きさ\(F_2\)は、

\[F_2=I_1 B_2 l=\displaystyle\frac{\varepsilon_0 I_1 I_2}{2\pi r}l\]

となり\(F_1=F_2\)であることが分かり、作用・反作用の法則が成り立っていることが明らかになりました。

平行電流間に働く力

\[F=\displaystyle\frac{\varepsilon_0 I_1 I_2}{2\pi r}l\]

暗記する必要はありませんが、いつでも導出できるようにしておきましょう!

4.2 コイルに働く力

続いてコイルに働く力について考えていきます。

コイルとは

導線を円形・円筒状に巻いたもので磁場中で回転運動を行う。

今回は、磁束密度\(B\)の磁場中で、コイルABCDが回転する仕組みを考えていきましょう。

コイルに流れる電流を\(I\),、AB, CDの長さを\(a\)とおきます。このとき、それぞれが受ける力の大きさ

コイルに働く力
\[F=IBa\]

となります。(力の向きは上図参照)このとき、それぞれの辺には逆向きで同じ大きさの力が加わります。

Appendix
このように、互いに反対向きで大きさの等しい二つの平行な力(今回は\(\vec{F}と\vec{F’}\)の組のことを「偶力」といいます。偶力の合力は0で作用点は無限遠となるために、物体を動かすことはできませんが、回転させる働きは持っています。

車のハンドルを両手で回すときの欠ける力は、偶力の一例です。

4. まとめ

お疲れ様でした。最後に今回学んだことをまとめておくので、ぜひ復習に役立ててください!

電磁力まとめ

電磁力:磁界と電流の相互作用で発生した力のこと

ローレンツ力:荷電粒子が磁束密度から受ける力のこと。

表記:\(\vec{F_L}=q\vec{v}\times\vec{B}\)
大きさ:\(\left|F_L\right|=q\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B}\right|\sin\theta\)
向き:\(\vec{v}\)と\(\vec{B}\)を含む面に垂直で、\(\vec{v}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向き

電磁力(アンペール力、フレミング左手の法則の力):電流が磁束密度から受ける力のこと

表記:\(\vec{F}=\vec{I}\times\vec{B}\times\Delta l\)
大きさ:\(\left|F\right|=\left|\vec{I}\right|\left|\vec{B}\right|l\sin\theta\)
向き:\(\vec{I}\)と\(\vec{B}\)を含む面に垂直で、\(\vec{I}\)から\(\vec{B}\)に右ねじを回してねじの進む向き

フレミング左手の法則:力の向きの決定方法の一つ

ローレンツ力の場合

電磁力(アンペール力、フレミング左手の法則の力)の場合

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