LC回路の電気振動（コイルとコンデンサ）

東大塾長の山田です。

このページでは、LC回路の電気振動について詳しく説明しています。

LC回路の方程式を解くことで、数学的に振動の様子を考察し、その後図を用いて直感的な理解も図っています。さらに練習問題を解くことで、理論も演習もばっちりな内容になっています。

ぜひ勉強の参考にしてください！

1. LC振動回路について

1.1 LC振動回路の方程式

LC回路とは名の通り、コイルとコンデンサーのみが導線でつながれた回路のことです。今回は下図のように、充電した状態（電荷\(Q_0\)）のコンデンサーを、時刻\(t=0\)にコイルにつないだ状態を考えていきます。

その後時刻\(t\)になったときの回路の様子を考えていきましょう。このときの電流の大きさは\(I\)で下図青矢印の向きを正にとります。また、このときのコンデンサーの電荷を\(Q\)とします。

このとき、キルヒホッフの法則（回路方程式）より

\[\displaystyle\frac{Q}{C}+L\displaystyle\frac{dI }{dt}=0\quad∴L\displaystyle\frac{dI }{dt}=-\displaystyle\frac{Q}{C}\cdots①\]

電流の定義より、

\[I=\displaystyle\frac{dQ}{dt}\cdots②\]

これは単振動の方程式（単振動の記事はこちらから）

\[m\displaystyle\frac{dv}{dt}=-kx\cdots①’,\quad v=\displaystyle\frac{dx}{dt}\cdots②’\]

とまったく一緒で、\(\omega=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\)とおけば、①の一般解は、

\[Q=A\sin(\omega t+\alpha),\quad I=\omega A \cos(\omega t+\alpha)\]

ととりあえず書くことができます。

単振動の方程式との関係

①②①’②’は、

\[Q↔a, \quad I↔v, \quad L↔m, \quad\displaystyle\frac{1}{C}↔k\]

と置きかえれば入れ替わるので、数学的には同じ式であると解釈することができます。よって①②の一般解は、①’②’の一般解で、

\[\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}↔\omega=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{LC}}\]

と置きかえれば、回路方程式の一般解を求めることができます。

次に初期条件を考えると、\(t=0\)において、\(Q(0)=Q_0, I(0)=0\)で、これらを先ほどの一般解に代入すると、\(A=Q_0, \alpha=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)と決まるので、結局この回路方程式の解は

\[Q=Q_0\cos\omega t,\quad I=-\omega Q_0 \sin\omega t\]

となることが分かります！

回路全体としては\(\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}\)より、周期

\[T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC}\]

で同じ挙動を繰り返すことが分かります！

それでは１周期の間ではどのような挙動を示すでしょうか？求めた解を用いて分析していきましょう。

1.2 振動の様子

LC回路の解は

\[Q=Q_0\cos\omega t,\quad I=-\omega Q_0 \sin\omega t\]

となりましたが、ここからどのようなことが分かるでしょうか？

まず、\(\displaystyle\frac{Q}{Q_0}, \displaystyle\frac{I}{\omega Q_0}\)の時間変化のグラフを考えてみましょう。（∵どちらも定数で、かつ三角関数の挙動が知りたい）今回は\(t=0～\displaystyle\frac{\pi }{\omega}\)(\(t=0～\displaystyle\frac{T}{2}\))

グラフは以下のようになります。

はじめ\(I<0\)だったことから、放電をしたことが分かります。もし、コイルに自己インダクタンスがなければ、大きな電流が流出してすぐに\(Q\)は減少しますが、実際は自己インダクタンスがあるためそうはならず、ゆっくり\(Q\)が減少し、\(|I|\)はゆっくりと増加します。

また、\(Q=0\)になったとき、極板間電圧も０となりますが、ここでも自己インダクタンスの影響ですぐには電流が０にはならず、そのまま流れ続けるので、コンデンサーは逆向きに充電されていきます。

回路の状態が単振動の方程式で表せることが、自己インダクタンスの働きの表れであることが分かりますね。

以上の議論より、\(t=0～\displaystyle\frac{T}{2}\)において回路は以下のような挙動を示すことが分かります。

これを基に、\(t=\displaystyle\frac{T}{2}～T\)の状態も考えてみると以下のようになります。

上のグラフと照らし合わせて把握すると良いでしょう！この回路の様子はすぐに書けるようにしっかりと理解できるようにしましょう！

1.3 エネルギー保存則

最後に、この回路におけるエネルギー保存則を考えていきましょう。

①②式を辺々掛け合わせて

\[\quad LI\displaystyle\frac{dI}{dt}+\displaystyle\frac{Q}{C}\displaystyle\frac{dQ}{dt}=0\] \[∴\displaystyle\frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{1}{2}LI^2+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Q^2}{C}\right)=0\]

となり、以下のエネルギー保存則が導出できます。

LC回路のエネルギー保存則

\[\displaystyle\frac{1}{2}LI^2+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Q^2}{C}=\rm{const.}\]

この式は、コンデンサーとコイルのエネルギー和が一定であることとともに、コイルやコンデンサーで電力消費がない（エネルギー損失がない）ということも意味しています。
また、この時の一定値\(\rm{const.}\)は、\(\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Q_0^2}{C}\)となります。

いつでも導き出せるようにしておきましょう！