チェバの定理まとめ(証明・覚え方・逆・問題)

東大塾長の山田です。
このページでは、チェバの定理」について解説します

チェバの定理とその証明、さらにチェバの定理の逆の証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます
また、さいごにはチェバの定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで「チェバの定理」をマスターしてください!

1. チェバの定理とは?

まずはチェバの定理とは何か説明します。

チェバの定理

\( \mathrm{ \triangle ABC } \)の3頂点\( \mathrm{ A, B, C } \)と、三角形の辺上またはその延長上にない点\( \mathrm{ O } \)を結んだ直線\( \mathrm{ AO, BO, CO } \)が、辺\( \mathrm{ BC, CA, AB } \)とそれぞれ\( \mathrm{ P, Q, R } \)で交わるとき

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 } } \)

 

2. チェバの定理の覚え方!

チェバの定理はパッと見は分数が多くて複雑そうですが、実はめちゃめちゃシンプルで覚えやすいです。

「すきな点からスタートして1周する。その順番通りに分数にしていく」と、チェバの定理の式になります!

上の図では\( \mathrm{ A } \)からスタートして、「」の順で「分子分母分子分母分子分母」と式を立てれば、チェバの定理 \( \displaystyle \color{red}{\frac{AR}{RB}} \cdot \color{blue}{\frac{BP}{PC}} \cdot \color{green}{\frac{CQ}{QA}} = 1 \) となります。

 

上の例では\( \mathrm{ A } \)からスタートしましたが、その他の点(\( \mathrm{ B, C, P, Q, R } \))どこからでもOKですし、逆回りでもOKですよ!

 

3. チェバの定理の証明

それでは、なぜチェバの定理が成り立つのか?証明をしていきます。

まず、底辺\( \mathrm{ OA } \)が共通の\( \mathrm{ \triangle OAB } \)と\( \mathrm{ \triangle OAC } \)に注目します。

2点\( \mathrm{ B, C } \)から直線OAに下ろした垂線をそれぞれ\( \mathrm{ BH, CK } \)とすると、\( \mathrm{ BH, CK } \)は、それぞれ\( \mathrm{ \triangle OAB } \)と\( \mathrm{ \triangle OAC } \)の高さとなるので

\( \displaystyle \frac{\triangle OAB}{\triangle OCA} = \frac{BH}{CK} \ \cdots ① \)

 

また、\( \mathrm{ BH // CK } \)より、\( \mathrm{ \triangle BHP } \)∽\( \mathrm{ \triangle CKP } \)なので、

\( \displaystyle \frac{BH}{CK} = \frac{BP}{PC} \ \cdots ② \)

 

①,②より \( \displaystyle \frac{\triangle OAB}{\triangle OCA} = \frac{BP}{PC} \ \cdots ③ \)

同様に考えると

\( \mathrm{ \displaystyle \frac{\triangle OBC}{\triangle OAB} = \frac{CQ}{QA} \ \cdots ④ } \)

\( \mathrm{ \displaystyle \frac{\triangle OCA}{\triangle OBC} = \frac{AR}{RB} \ \cdots ⑤ } \)

 

③,④,⑤の辺々を掛けると

\( \begin{align}
\displaystyle & \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} \\
\\
= & \frac{\triangle OBC}{\triangle OAB} \cdot \frac{\triangle OAB}{\triangle OCA} \cdot \frac{\triangle OCA}{\triangle OBC} = 1
\end{align} \)
 (右辺がすべて約分されて1になる)

 

したがって、チェバの定理

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 } } \)

が成り立つことが証明できました。

 

4. チェバの定理の逆とその証明

チェバの定理は、その逆も成り立ちます。

4.1 チェバの定理の逆

チェバの定理の逆

\( \mathrm{ \triangle ABC } \)の辺\( \mathrm{ BC, CA, AB } \)またはその延長上に,それぞれ点\( P, Q, R \)があり,この3点のうち1個または3個が辺上にあるとする。

このとき,\( \mathrm{ BQ } \)と\( CR \)が交わり,かつ\( \displaystyle \frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 \)が成り立つならば,3直線\( AP, BQ, CR \)は1点で交わる

4.2 チェバの定理の逆の証明

下図のように、点\( \mathrm{ Q, R } \)はともに辺上にあるかまたはともに辺の延長上にあるものとすると、残りの1点\( P \)は辺\( \mathrm{ BC } \)上の点となります。

2直線\( \mathrm{ BQ, CR } \)の交点を\( \mathrm{ O } \)、直線\( \mathrm{ AO } \)と辺\( \mathrm{ BC } \)の交点を\( P’ \)とします。

このとき、チェバの定理より

\( \displaystyle \frac{AR}{RB} \cdot \color{red}{ \frac{BP’}{P’C} } \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 \ \cdots ① \)

また、条件の式より

\( \displaystyle \frac{AR}{RB} \cdot \color{red}{ \frac{BP}{PC} } \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 \ \cdots ② \)

①,②より

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{BP’}{P’C} = \frac{BP}{PC} } \)

\( P \)と\( P’ \)はともに辺\( \mathrm{ BC } \)上にあるから、\( P \)と\( P’ \)は一致します。

したがって、3直線\( AP, BQ, CR \)は1点で交わるといえます。

 

5. チェバの定理を利用する練習問題

それでは、チェバの定理を使う問題を実際に解いてみましょう!

例題

\( \mathrm{ \triangle ABC } \)の辺\( \mathrm{ AB } \)を\( \mathrm{ 3:2 } \)に内分する点を\( \mathrm{ D } \)、辺\( \mathrm{ AC } \)を\( \mathrm{ 2:3 } \)に内分する点を\( \mathrm{ E } \)とし、\( \mathrm{ BE } \)と\( \mathrm{ CD } \)の交点を\( \mathrm{ O } \)とする。\( \mathrm{ AO } \)と\( \mathrm{ BC } \)の交点を\( \mathrm{ F } \)とするとき、\( BF:FC \)を求めよ。

【解答】

問題を図示すると下図のようになります。

チェバの定理より

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{\frac{AD}{DB}} \cdot \color{blue}{\frac{BF}{FC}} \cdot \color{green}{\frac{CE}{EA}} = \color{red}{\frac{3}{2}} \cdot \color{blue}{\frac{BF}{FC}} \cdot \color{green}{\frac{3}{2}} = 1
\end{align} \)

したがって \( \displaystyle \color{blue}{\frac{BF}{FC}} = \frac{4}{9} \)

∴ \( BF:FC = \color{red}{ 4:9 \ \cdots 【答】 } \)

 

6. チェバの定理のまとめ

以上がチェバの定理の解説です。証明や使い方はしっかり理解できましたか?

チェバの定理はとても便利であり、超重要公式の1つです。

必ず覚えておきましょうね!

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