トレミーの定理まとめ(証明・問題)

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東大塾長の山田です。
このページでは、「トレミーの定理」について解説します

トレミーの定理とその証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます
ぜひ参考にしてください!

1. トレミーの定理とは?

まずはトレミーの定理とは何か説明します。

トレミーの定理

四角形\( \mathrm{ ABCD } \)が円に内接するとき

\[ \color{red}{ AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD } \]

 

2. トレミーの定理の覚え方!

トレミーの定理の覚え方はとても簡単です。

積の組み合わせをみてみると、

[対辺の積][対辺の積][対角線の積]

となっています。

図示すると上のような感じです。

記号で丸暗記をしても使いものにならないので、[対辺の積]+[対辺の積]=[対角線の積]と覚えておきましょう。

 

3. トレミーの定理の証明

それでは、なぜトレミーの定理が成り立つのか?証明をしていきます。

トレミーの定理の証明方法はいろいろありますが、今回は一番シンプルな「余弦定理」を使った証明方法を解説します。

 

まず

 \( \mathrm{ AB=a, \ BC=b, \ CD=c, \ DA=d } \)

 \( \mathrm{ AC=e, \ BD=f } \)

とおきます。

ここで、余弦定理より

 \( \displaystyle \color{red}{ \cos B = \frac{a^2 + b^2 – e^2}{2ab} } \ \cdots ① \)

また、余弦定理より

 \( \displaystyle \color{red}{ \cos D = \frac{c^2 + d^2 – e^2}{2cd} } \ \cdots ② \)

 

ここで、\( D = 180^\circ – B \)(円に内接する四角形の性質)なので、三角比の変換公式より

\[ \begin{align}
\color{red}{ \cos D } & = \cos (180^\circ – B) \\
\\
& \color{red}{ = \ – \cos B } \ \cdots ③
\end{align} \]

 

①,②,③より

 \( \cos B = \ – \cos D \)

 \( \displaystyle \Leftrightarrow \ \displaystyle \color{red}{ \frac{a^2 + b^2 – e^2}{2ab} = \ – \frac{c^2 + d^2 – e^2}{2cd} } \)

この式を\( e \)について解いていくと

 \( \displaystyle (a^2 + b^2 – e^2)cd = \ – (c^2 + d^2 – e^2)ab \)

 \( \displaystyle e^2(ab+cd) = a^2 cd + b^2 cd +abc^2 + acd^2 \)

 \( \displaystyle e^2(ab+cd) = (ac+bd) (ad+bc) \)

∴ \( \displaystyle \color{red}{ e^2 = \frac{(ac+bd) (ad+bc)}{ ab+cd } } \ \cdots ④ \)

 

同様に考えると

 \( \displaystyle \color{red}{ f^2 = \frac{(ac+bd) (ab+cd)}{ ab+cd } } \ \cdots ⑤ \)

 

④,⑤の辺々を掛け合わせると

 \( \displaystyle e^2 f^2 = \frac{(ac+bd) (ad+bc)}{ ab+cd } \times \frac{(ac+bd) (ab+cd)}{ ab+cd } \)

 \( \displaystyle (ef)^2 = (ac+bd)^2 \)

 

平方根をとると

 \( \displaystyle \large{ \color{red}{ ef = (ac+bd) } } \)

つまり \( \displaystyle \large{ \color{red}{ AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD } } \)

となり、トレミーの定理の定理を証明することができました!

補足

証明の途中で使った「余弦定理」と「三角比の変換公式」については、次の記事で詳しく解説しています。公式を忘れてしまった人は確認しておきましょう。

余弦定理まとめ(公式・面積・問題と解き方)

2018年11月27日

【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方

2018年11月22日

 

4. トレミーの定理のまとめ

高校数学では、トレミーの定理を使う場面はあまりないかもしれませんが、「内接四角形と対角線」があったら、トレミーの法則を使うことで時間を短縮できることがあります。

ぜひ覚えておいてください!

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