三角形の垂心について知っておきたい知識まとめ

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東大塾長の山田です。
このページでは、「三角形の垂心」について解説します

三角形の垂心の定理と、その証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます
ぜひ参考にしてください。

1. 三角形の垂心とは?垂心の定理!

三角形の垂心の定理

三角形の3つの各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした垂線は1点で交わります

この交点のことを、垂心といいます。

 

2. 三角形の垂心の定理の証明

「三角形の3つの各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした垂線は1点で交わる」ことを証明していきます。

 

\( \mathrm{ \triangle ABC } \)の頂点\( \mathrm{ A, B, C } \)から対辺(またはその延長)に下ろした垂線を、それぞれ\( \mathrm{ AD, BE, CF } \)とします。

また、\( \mathrm{ A, B, C } \)の各頂点を通り、それぞれの対辺に平行な直線の交点を、\( \mathrm{ P, Q, R } \)とします。

四角形\( \mathrm{ ABCQ, \ ACBR } \)は平行四辺形となる(∵2組の対辺が平行だから)ので、
 \( \mathrm{ AQ=BC, \ RA=BC } \)

よって \( \mathrm{ \color{red}{ AQ=RA } } \)

また、\( \mathrm{ AD⊥BC, \ RQ // BC } \)だから \( \mathrm{ \color{red}{ AQ⊥RA } } \)

したがって、\( \mathrm{ AD } \)は\( \mathrm{ \triangle PQR } \)の辺QRの垂直二等分線といえます

 

同様に、\( \mathrm{ BE } \)は辺\( \mathrm{ RP } \)の、\( \mathrm{ CF } \)は辺\( \mathrm{ PQ } \)の垂直二等分線といえます。

よって、\( \mathrm{ AD, BE, CF } \)の交点は、\( \mathrm{ \triangle PQR } \)の外心といえるので、1点で交わるといえます

 

したがって、三角形の垂心の定理が成り立つことが証明できました。

補足(外心の定理)

  • 外心\( \cdots \)三角形の3辺の垂直二等分線

外心の定義や定理は「三角形の外心について知っておきたい知識まとめ」の記事で詳しく解説しています。

三角形の外心について知っておきたい知識まとめ

2018年12月5日

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