東大塾長の山田です。
このページでは、「三角形の垂心」について解説します。
三角形の垂心の定理と、その証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます。
ぜひ参考にしてください。
1. 三角形の垂心とは？垂心の定理！
2. 三角形の垂心の定理の証明
「三角形の3つの各頂点から対辺（またはその延長）に下ろした垂線は1点で交わる」ことを証明していきます。
\( \mathrm{ \triangle ABC } \)の頂点\( \mathrm{ A, B, C } \)から対辺（またはその延長）に下ろした垂線を、それぞれ\( \mathrm{ AD, BE, CF } \)とします。
また、\( \mathrm{ A, B, C } \)の各頂点を通り、それぞれの対辺に平行な直線の交点を、\( \mathrm{ P, Q, R } \)とします。
四角形\( \mathrm{ ABCQ, \ ACBR } \)は平行四辺形となる（∵2組の対辺が平行だから）ので、
\( \mathrm{ AQ=BC, \ RA=BC } \)
よって \( \mathrm{ \color{red}{ AQ=RA } } \)
また、\( \mathrm{ AD⊥BC, \ RQ // BC } \)だから \( \mathrm{ \color{red}{ AD⊥RQ } } \)
したがって、\( \mathrm{ AD } \)は\( \mathrm{ \triangle PQR } \)の辺QRの垂直二等分線といえます。
同様に、\( \mathrm{ BE } \)は辺\( \mathrm{ RP } \)の、\( \mathrm{ CF } \)は辺\( \mathrm{ PQ } \)の垂直二等分線といえます。
よって、\( \mathrm{ AD, BE, CF } \)の交点は、\( \mathrm{ \triangle PQR } \)の外心といえるので、1点で交わるといえます。
したがって、三角形の垂心の定理が成り立つことが証明できました。
三角形の3つの各頂点から対辺（またはその延長）に下ろした垂線は1点で交わります。
この交点のことを、垂心といいます。