三角形の外心について知っておきたい知識まとめ

東大塾長の山田です。
このページでは、「三角形の外心」について解説します。

三角形の外心の定理と、その証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます。
また、さいごには三角形の外心の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで「三角形の外心」をマスターしてください！

1. 三角形の外心とは？

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わります。

この交点のことを、外心 といいます。

2. 三角形の外心の定理

三角形の外心の定理

三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり、その点（外心）は3つの頂点から等距離にある。
外心は3つの頂点から等距離にあるから、外心を中心として、3つの頂点を通る円をかくことができる。
この円を三角形の 外接円 という。

3. 三角形の外心の定理の証明

「三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わり、その点は3つの頂点から等距離にある」ことを証明していきます。

△ABCの辺AB，CAの垂直二等分線の交点を\( O \)とすると

\( \displaystyle \mathrm{ OA=OB, \ OA=OC } \)

（∵「点Oが線分ABの垂直二等分線上にある」\( \Leftrightarrow \)「\( \mathrm{ PA=PB }\)」）

よって　\( \mathrm{ \color{red}{ OB=OC } } \)

\( \mathrm{ OB=OC } \)より、\( O \)は辺\( \mathrm{ BC } \)の垂直二等分線上にあるといえます。

したがって、三角形の外心の定理が成り立つことが証明できました。

4. 三角形の外心の定理を利用する練習問題

それでは、外心の定理を使って実際に問題を解いてみましょう！

例題

△ABCの外心をOとするとき、下図の \( \angle x, \ \angle y \) を求めよ。

【解答】

\( \displaystyle \mathrm{ OA=OC } \)だから　\( \displaystyle \mathrm{ \angle OAC = \angle OCA = 25^\circ } \)

よって　\( \displaystyle \mathrm{ \angle OAB = 35^\circ } \)

\( \displaystyle \mathrm{ OA=OB } \)だから　\( \displaystyle \mathrm{ \angle OAB = \angle OBA = 35^\circ } \)

したがって　\( \color{red}{ x = 35^\circ \ \cdots 【答】 } \)

また、\( \displaystyle \mathrm{ OB=OC } \)だから　\( \displaystyle \mathrm{ \angle OBC = \angle OCB = y } \)

よって、△ABCで三角形の内角の和より

　\( \displaystyle \mathrm{ 35^\circ + 60^\circ + 25^\circ + y + y = 180^\circ } \)

したがって　\( \color{red}{ y = 30^\circ \ \cdots 【答】 } \)

5. 三角形の外心まとめ

以上が、三角形の外心の解説です。しっかり理解できましたか？

三角形の外心の定理は、図形の基礎事項かつよく使う定理なので、必ず覚えておきましょうね！