順列と組み合わせの公式とその違い【問題付き】

東大塾長の山田です。
このページでは、場合の数・確率の単元ででてくる「順列・組み合わせ」について解説します。

「とりあえず数えればよかった中学数学の確率」から一変して、、、

「確率になってテスト死亡した、、、」
「\( \mathrm{P} \)なのか\( \mathrm{C} \)なのかわからん、、、」

と、一気に難易度が上がりますよね。

この記事では場合の数・確率が苦手な人でも、1からわかりやすく丁寧に解説していきます。
また、最後には練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで順列・組み合わせをマスターしてください！

1. 順列と組み合わせの違いを解説！

まずは「順列」と「組み合わせ」の定義を確認して、違いをはっきりと理解しましょう。

順列とは？

順列…いくつかのものを、順序をつけて1列に並べる配列のこと。

異なる \( n \) 個のものの中から \( r \) 個取り出して並べる順列の総数を \( \displaystyle \large{ \color{red} {_n \mathrm{P}_r} } \) と表す。

【例】 5個から3個を選んで並べる順列の総数は

\( {_5 \mathrm{P}_3} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)

※ \( \displaystyle {_n \mathrm{P}_r} \) の \( \mathrm{P} \) は、「順列」を意味する英語「permutation」の頭文字です。

組み合わせとは？

組み合わせ…異なる \( n \) 個のものの中から \( r \) 個取り出したときの、組み合わせの数のこと（順序は考慮しない）。

\( n \) 個のものの中から \( r \) 個取り出すときの組み合わせの総数を \( \displaystyle \large{ \color{red} {_n \mathrm{C}_r} } \) と表す。

【例】 5個から3個取り出す組み合わせの総数は

\( \displaystyle {_5 \mathrm{C}_3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \)

※ \( \displaystyle {_n \mathrm{C}_r} \) の \( \mathrm{C} \) は、「組み合わせ」を意味する英語「combination」の頭文字です。

※ \( \mathrm{P} \) と \( \mathrm{C} \) の公式と計算方法は、このあと詳しく解説します。

2. 順列を徹底解説

「順列」の公式を、具体例を挙げながら解説していきます。

2.1 順列の公式

順列の計算の公式は次の式になります。

順列の公式

異なる \( n \) 個のものの中から \( r \) 個取り出して並べる順列の総数は

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle {_n \mathrm{P}_r} & = \underbrace{n(n-1)(n-2) \cdots \cdots (n-r+1)}_{r個の数の積} \\
\displaystyle & = \frac{n!}{(n-r)!}
\end{align} } \)

補足

階乗…「\( \color{red}{!} \)」は階乗と読み、\( 1～n \) までのすべての自然数の積を「\( \color{red}{n!} \)」で表します。

\( n! = {_n \mathrm{P}_n} = n(n-1)(n-2) \cdots \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \)

（ただし、\( 0! = 1 \)，\( \displaystyle {_n \mathrm{P}_0 = 1} \)と定義されています。）

【例】 4の階乗は

\( 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \)

なぜこのような式になるのか？次で解説します。

2.2 順列の公式の証明

例えば、「1」「2」「3」「4」とかかれた4枚のカードから3枚選んで、3けたの数字が何通りあるかを考えます。

1番目のカードの取り方は、「1」「2」「3」「4」の4通り。
2番目のカードの取り方は、1番目のカードを除いた3通り。
3番目のカードの取り方は、1番目と2番目のカードを除いた2通り。

よって、下のような樹形図になります。

したがって、順列の総数は積の法則により

\( \color{red}{ ({_4 \mathrm{P}_3} = ) \ 4 \times 3 \times 2 = 24 } \)

となります。

これと同様に、異なる \( n \) 個のものの中から \( r \) 個取り出して並べる順列の総数 \( \displaystyle {_n \mathrm{P}_r} \) を考えてみます。

1番目の取り方は \( n \) 通り。
2番目の取り方は \( (n-1) \) 通り。
3番目の取り方は \( (n-2) \) 通り。
　・・・・・・
\( r \) 番目の取り方は \( \{ n-(r-1) \} \) 通り，つまり \( (n-r+1) \) 通り。

したがって、積の法則より

\( \displaystyle \color{red}{ {_n \mathrm{P}_r} = \underbrace{n(n-1)(n-2) \cdots \cdots (n-r+1)}_{r個の数の積} } \)

が成り立ります。

また

\( \displaystyle \color{red}{ {_n \mathrm{P}_r} = \frac{n!}{(n-r)! } } \)

の方の公式は、次のような式変形で得られます。

証明

\( \begin{align}
\color{red}{ {_n \mathrm{P}_r} } & = n(n-1)(n-2) \cdots \cdots (n-r+1) \\
\\
\displaystyle & = n \cdot \cdots \cdot (n-r+1) \color{blue}{ \times \frac{(n-r)!}{(n-r)!} } \\
\\
\displaystyle & = \frac{n \cdots \cdots \cdot (n-r+1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1}{(n-r)!} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{n!}{(n-r)!} }
\end{align} \)

3. 組み合わせを徹底解説

「組み合わせ」の公式を、具体例を挙げながら解説していきます。

3.1 組み合わせの公式

組み合わせの計算の公式は次の式になります。

組み合わせの公式

\( n \) 個のものの中から \( r \) 個取り出すときの組み合わせの総数は

\( \begin{align}
\displaystyle ① \ \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} } & \color{red}{ = \frac{{_n \mathrm{P}_r}}{r!} } \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots \cdots (n-r+1)}{r(r-1) \cdots \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} }
\end{align} \)

\( \displaystyle ② \ \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} } \)

なぜこのような式になるのか？次で解説します。

3.2 組み合わせの公式の証明

例えば、「1」「2」「3」「4」とかかれた4枚のカードから3枚選ぶ方法は、並べる順序は考慮しないので、次の4通りです。

\( \begin{align}
(1,2,3), \ \ \ (1,2,4) \\
\\
(1,3,4), \ \ \ (2,3,4) \\
\end{align} \)

\( n \) 個から \( r \) 個取り出すときの組み合わせの総数を \( \displaystyle \color{red} {_n \mathrm{C}_r} \) と表すので、
今回のように4個から3個取る組み合わせは \( \displaystyle \color{red}{ {_4 \mathrm{C}_3} } \) と表されます。

よって \( \displaystyle \color{red}{ {_4 \mathrm{C}_3} = 4 } \) となります。

また、上記の4組のうちの1つ、例えば \( (1,2,3) \) では、「1」「2」「3」の順列は \( 3! \) 通りあります。

これは他のどの組についても同様なので、全体では \( \displaystyle {_4 \mathrm{C}_3} \times 3! \) 通りの順列があることがわかります。

この総数は、4個から3個取る順列の総数 \( \displaystyle {_4 \mathrm{P}_3} \) と全く同じものです。

したがって

　\( {_4 \mathrm{C}_3} \times 3! = {_4 \mathrm{P}_3} \)

　\( \displaystyle \color{red}{ ∴ \ {_4 \mathrm{C}_3} = \frac{{_4 \mathrm{P}_3}}{3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4 } \)

これと同様に、\( n \) 個から \( r \) 個取る組み合わせを考えると、

\( {_n \mathrm{C}_r} \times r! = {_n \mathrm{P}_r} \)

\( \displaystyle \color{red}{ ∴ \ {_n \mathrm{C}_r} = \frac{{_n \mathrm{P}_r}}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots \cdots (n-r+1)}{r(r-1) \cdots \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} } \)

が成り立ります。

また、\( \displaystyle {_n \mathrm{P}_r} = \frac{n!}{(n-r)!} \) より

\( \begin{align}
\displaystyle \ {_n \mathrm{C}_r} & = \frac{{_n \mathrm{P}_r}}{r!} \\
\\
\displaystyle & = \frac{n!}{(n-r)!} \times \frac{1}{r!} \\
\\
\displaystyle & = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\end{align} \)

∴ \( \displaystyle \large{ \color{red}{ \ {_n \mathrm{C}_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} } } \)

の式が得られます。

3.3 \( {_n \mathrm{C}_r} \)の性質

\( {_n \mathrm{C}_r} \)には次の性質があります。

\( \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} } \)の性質

\( ① \ \large{ \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} = {_n \mathrm{C}_{n-r}} } } \)

\( ② \ \large{ \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} = {_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}} + {_{n-1} \mathrm{C}_r} } } \)

なぜこの2つの性質が成り立つか証明していきます。

【① \( {_n \mathrm{C}_r} = {_n \mathrm{C}_{n-r}} \)の証明】

\( n \) 個から \( r \) 個取り出すとき、

[\( r \)個選ぶこと] = [残す\( (n-r) \)個を選ぶこと]

といえます。

したがって \( {_n \mathrm{C}_r} \) の性質①

\( \large{ \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} = {_n \mathrm{C}_{n-r}} } } \)

が成り立ちます。

また、次のように式変形でも導くことができます。

\( \begin{align}
\displaystyle {_n \mathrm{C}_{n-r}} & = \frac{n!}{(n-r)!\{ n-(n-r) \}!} \\
\\
\displaystyle & = \frac{n!}{(n-r)!r!} \\
\\
\displaystyle & = {_n \mathrm{C}_r}
\end{align} \)

【② \( {_n \mathrm{C}_r} = {_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}} + {_{n-1} \mathrm{C}_r} \)の証明】

「1」「2」\( \cdots \)「\( n \)」とかかれた\( n \)枚のカードから\( r \)枚取り出す組み合わせを考えます。

組み合わせは次の【A】,【B】の2つに分けられます。

【A】「1」が入っている組み合わせ

「1」を除いた、「2」「3」\( \cdots \)「\( n \)」の \( (n-1) \) 枚のカードから \( (r-1) \) 枚を選び、それに最後に「1」を入れると考えられます。
よってその組み合わせの総数は \( {_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}} \)

【B】「1」が入っていない組み合わせ

「1」を除いた、「2」「3」\( \cdots \)「\( n \)」の \( (n-1) \) 枚のカードから \( r \) 枚を選ぶことといえます。
よってその組み合わせの総数は \( {_{n-1} \mathrm{C}_r} \)

\( {_n \mathrm{C}_r} \) は【A】＋【B】なので

\( \large{ \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} = {_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}} + {_{n-1} \mathrm{C}_r} } } \)

が成り立ちます。

また、次のように式変形でも導くことができます。

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{red}{ {_{n-1} \mathrm{C}_{r-1}} + {_{n-1} \mathrm{C}_r} } \\
\\
= & \frac{(n-1)!}{(r-1)!\{ (n-1)-(r-1) \}!} + \frac{(n-1)!}{r!\{ (n-1)-r \}!} \\
\\
= & \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!} + \frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} \\
\\
= & \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!} \color{blue}{ \cdot \frac{r}{r} } + \frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} \color{blue}{ \cdot \frac{(n-r)}{(n-r)} } \\
\\
= & \frac{(n-1)!}{r!(n-r)!} \cdot r + \frac{(n-1)!}{r!(n-r)!} \cdot (n-r) \\
\\
= & \frac{n!}{r!(n-r)!} \\
\\
\color{red}{ = } & \color{red}{ {_n \mathrm{C}_r} }
\end{align} \)

4. 順列と組み合わせの実戦問題

それでは、実際に問題に挑戦してみましょう！

4.1 【例題1】

例題1

10人から、委員長1人、副委員長1人、書記1人の3人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

さあ、この問題は「順列」か「組み合わせ」かどちらでしょうか？

・・・・・・・

答えは「順列」です。

委員長・副委員長・書記を選ぶことは、10人の中から3人選んで並べることと同じであると考えられます。

したがって

\( {_{10} \mathrm{P}_3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = \color{red}{720（通り） \cdots 【答】} \)

4.2 【例題2】

例題2

男子5人、女子3人の8人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。
　(1) 両端が男子となる並び方
　(2) 女子3人が隣り合う並び方
　(3) どの女子も隣り合わない並び方

【解答】

(1) 両端が男子となる並び方

まず両端に男子を並べます。

5人から2人を選んで両端の2か所に並べるので \( {_5 \mathrm{P}_2} \) 通り。

残りの6人の並べ方は \( {_6 \mathrm{P}_6} = 6! \) 通り。

したがって

\( \begin{align}
{_5 \mathrm{P}_2} \times 6! & = 5 \cdot 4 \times 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
\\
& = 20 \times 720 \\
\\
& = \color{red}{14400（通り） \cdots 【答】}
\end{align} \)

(2) 女子3人が隣り合う並び方

女子3人をまとめて1人と考えます。

男子5人と合わせて6人の並べ方は \( {_6 \mathrm{P}_6} = 6! \) 通り。

それぞれについて、女子3人の並べ方は \( {_3 \mathrm{P}_3} = 3! \) 通りだから、

\( 6! \times 3! = 720 \times 6 = \color{red}{4320（通り） \cdots 【答】} \)

Point

「隣り合う」 \( \Longrightarrow \) 「まとめて1人と考える」

(3) どの女子も隣り合わない並び方

まず男子5人を並べ、その5人の間に女子を入れていくと考えれば、隣り合わない並べ方が考えられます。

まず男子5人の並べ方は \( 5! \) 通り。

女子が入る位置は6か所から3か所選ぶので \( {_6 \mathrm{C}_3} \) 通り。

そしてその女子の入り方それぞれについて、3人の並べ方は \( 3! \) 通りだから、

\( \begin{align}
\displaystyle 5! \times {_6 \mathrm{C}_3} \times 3! & = 120 \times \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \times 3 \cdot 2 \cdot 1 \\
\\
\displaystyle & = \color{red}{14400（通り） \cdots 【答】}
\end{align} \)

Point

「隣り合わない」 \( \Longrightarrow \) 「間に入れていく」

4.3 【例題3】

例題3

Aさんを含む4人の男子、Bさんを含む6人の女子の計10人から5人の代表を選ぶ。

(1) 男子1人、女子4人の5人を選ぶ方法は何通りあるか。
(2) 男子からAさんを含む3人、女子からBさんを含む2人を選ぶ方法は何通りあるか。
(3) Aさんは選ばれ、Bさんは選ばれない方法は何通りあるか。

【解答】

(1) 男子1人、女子4人の5人を選ぶ方法

男子4人から1人の選び方は \( {_4 \mathrm{C}_1} \) 通り。

女子6人から4人の選び方は \( {_6 \mathrm{C}_4} \) 通り。

よって

\( \begin{align}
\displaystyle {_4 \mathrm{C}_1} \times {_6 \mathrm{C}_4} & = {_4 \mathrm{C}_1} \times {_6 \mathrm{C}_2} \\
\\
\displaystyle & = 4 \times \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \\
\\
\displaystyle & = \color{red}{60（通り） \cdots 【答】}
\end{align} \)

(2) 男子からAさんを含む3人、女子からBさんを含む2人を選ぶ方法

男子はAさんが確定しているので、残りの3人から2人を選ぶので、\( {_3 \mathrm{C}_2} \) 通り。

女子はBさんが確定しているので、残りの5人から1人を選ぶので、\( {_5 \mathrm{C}_1} \) 通り。

よって

\( \displaystyle {_3 \mathrm{C}_2} \times {_5 \mathrm{C}_1} = \color{red}{15（通り）\cdots 【答】} \)

(3) Aさんは選ばれ、Bさんは選ばれない方法

Aさんは確定していて、残り9人のうちBさんを除いた8人から4人を選ぶので、

\( \begin{align}
\displaystyle {_8 \mathrm{C}_4} & =\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
\\
\displaystyle & = \color{red}{70（通り） \cdots 【答】}
\end{align} \)