相加相乗平均まとめ(公式・証明・使い方・最小値・等号成立)

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東大塾長の山田です。
このページでは、「相加相乗平均の公式」について解説しています

また、「なぜ公式が成り立つのか?」を理解するために、相加相乗平均の公式の証明や、
具体的に例題を解きながら「相加相乗平均をいつ使うのか?」のポイントも解説しています

ぜひ、参考にしてください!

1. 相加相乗平均とは?

まず、相加相乗平均とは何か?について解説します。

1.1 相加平均と相乗平均の大小関係(公式)

2つの実数\( a,b \) \((a≧0,b≧0)\)について、

\( \displaystyle \frac{a+b}{2} \)を相加平均といいます。

一方、\( \sqrt{ab} \)を相乗平均といいます。

 

このとき、相加平均と相乗平均には、以下の関係が成り立ちます。

相加平均と相乗平均の大小関係

(相加平均)≧(相乗平均)

\[ \large{ \color{red}{ \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab} } } \]

 

まとめると、以下の通りです。

相加平均と相乗平均の大小関係まとめ

2つの実数\( a,b \) \((a≧0,b≧0)\)について

  • 相加平均\( \cdots \)\( \displaystyle \frac{a+b}{2} \)
  • 相乗平均\( \cdots \)\( \sqrt{ab} \)
  • 相加平均と相乗平均の大小関係\( \cdots \)
     \( \displaystyle \large{ \color{red}{ \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab} } } \)

(等号が成り立つのは\(a=b\)のとき)

 

1.2 相加相乗平均の具体例

3と5を例にとってみましょう。

 

3と5の相加平均は、\( \displaystyle \frac{3+5}{2}=4 \)

3と5の相乗平均は、\( \sqrt{3\cdot5}=\sqrt{15} \)

よって、

(相加平均)≧(相乗平均)

\[ 4 \ (=\sqrt{16})≧\sqrt{15} \]

が成り立っています。

 

1.3 相加相乗平均の大小関係の証明

なぜこのような関係が成り立つのか?証明をしていきます。

証明

\( a≧0 \),\( b≧0 \)のとき、

 \( \displaystyle \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab} \)

\( \Leftrightarrow \ a+b≧2\sqrt{ab} \)(両辺を2倍)

\( \Leftrightarrow \ a-2\sqrt{ab}+b≧0 \)(\( 2\sqrt{ab} \)を移行)

ここで、
\( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2= a-2\sqrt{ab}+b≧0 \)

よって、証明完了です。

 

また、最初の\( a≧0 \),\( b≧0 \)とはなんだったのかというと、

証明の最後の行の\( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \)で、\( \sqrt{ \ \  } \)の中は0未満はダメなので、

\( a≧0 \),\( b≧0 \)という条件がつきます。

 

また、等号成立は

\( (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=0 \)

∴ \( \sqrt{a}-\sqrt{b}=0 \)

∴ \( \sqrt{a}=\sqrt{b}\)

∴ \( a=b\)のとき

となります。

 

2. 相加相乗平均の使い方

では、この相加相乗平均はいつ使うのか?例題を使いながら、具体的に解説をしていきます。

例題

\( x>0 \)において、\( x+\frac{3}{x} \)の最小値を求めよ。

【解答】

\( \displaystyle x+\frac{3}{x}≧2\sqrt{x\cdot \frac{3}{x}}=2\sqrt{3} \)

\( \displaystyle x+\frac{3}{x}≧2\sqrt{3} \)

等号成立は\( \displaystyle x=\frac{3}{x} \)

∴ \( x^2=3 \)

∴ \( x=\sqrt{3} \)のとき

よって \( \displaystyle x+\frac{3}{x} \) は \( x=\sqrt{3} \) のとき、最小値\( 2\sqrt{3} \)をとる。\( \cdots 【答】 \)

 

最大値・最小値をの問題は、文系数学では超頻出問題です
 もちろん理系も出てきますよ。

 

特に文系数学は、今回の「相加相乗平均」を使って最小値を求める問題が、本当にめちゃめちゃ出ます

また、\( \displaystyle \color{red}{ \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab} } \)を2倍した、
\( \large{ \color{red}{ a+b≧2\sqrt{ab} } } \)もよく使うので、覚えておいてください!

 

3. 相加相乗平均まとめ

相加平均と相乗平均の大小関係まとめ

\( a≧0 \),\( b≧0 \)のとき、

  \( \displaystyle \large{ \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab} } \)

 \( \displaystyle \large{ \Leftrightarrow a+b≧2\sqrt{ab} } \)

(等号が成り立つのは\(a=b\)のとき)

以上が、相加相乗平均の解説です。相加相乗平均の公式や使い方は理解できましたか?

「相加相乗平均」を使って最小値を求める問題は超頻出なので、しっかりおさえておきましょう!

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