相加相乗平均まとめ（公式・証明・使い方・最小値・等号成立）

東大塾長の山田です。
このページでは、「相加相乗平均の公式」について解説しています。

また、「なぜ公式が成り立つのか？」を理解するために、相加相乗平均の公式の証明や、
具体的に例題を解きながら「相加相乗平均をいつ使うのか？」のポイントも解説しています。

ぜひ、参考にしてください！

1. 相加相乗平均とは？

まず、相加相乗平均とは何か？について解説します。

1.1 相加平均と相乗平均の大小関係（公式）

2つの実数 \( a,b \) \((a≧0,b≧0)\)について、

\( \displaystyle \frac{a+b}{2} \) を相加平均といいます。

一方、\( \sqrt{ab} \) を相乗平均といいます。

このとき、相加平均と相乗平均には、以下の関係が成り立ちます。

まとめると、以下の通りです。

1.2 相加相乗平均の具体例

3と5を例にとってみましょう。

3と5の相加平均は、\( \displaystyle \frac{3+5}{2}=4 \)

3と5の相乗平均は、\( \sqrt{3\cdot5}=\sqrt{15} \)

よって、

が成り立っています。

1.3 相加相乗平均の大小関係の証明

なぜこのような関係が成り立つのか？証明をしていきます。

よって、証明完了です。

また、最初の \( a ≧ 0 \)，\( b ≧ 0 \) とはなんだったのかというと、

証明の最後の行の \( (\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 \) で、\( \sqrt{ \ \  } \) の中は0未満はダメなので、

\( a≧0 \)，\( b≧0 \) という条件がつきます。

また、等号成立は

となります。

2. 相加相乗平均の使い方

では、この相加相乗平均はいつ使うのか？例題を使いながら、具体的に解説をしていきます。

【解答】

\( \displaystyle x+\frac{3}{x} ≧ 2\sqrt{x\cdot \frac{3}{x}} = 2\sqrt{3} \)

\( \displaystyle x+\frac{3}{x}≧2\sqrt{3} \)

等号成立は \( \displaystyle x=\frac{3}{x} \)

∴ \( x^2=3 \)

∴ \( x=\sqrt{3} \) のとき

よって \( \displaystyle x+\frac{3}{x} \) は \( x=\sqrt{3} \) のとき、最小値 \( 2\sqrt{3} \) をとる。\( \cdots 【答】 \)

最大値・最小値をの問題は、文系数学では超頻出問題です。
※ もちろん理系も出てきますよ。

特に文系数学は、今回の「相加相乗平均」を使って最小値を求める問題が、本当にめちゃめちゃ出ます。

また、\( \displaystyle \color{red}{ \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab} } \)を2倍した、

\( \large{ \color{red}{ a+b≧2\sqrt{ab} } } \)

もよく使うので、覚えておいてください！

3. 相加相乗平均まとめ

以上が、相加相乗平均の解説です。相加相乗平均の公式や使い方は理解できましたか？

「相加相乗平均」を使って最小値を求める問題は超頻出なので、しっかりおさえておきましょう！