対数(log)の公式・変換のまとめ

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東大塾長の山田です。
このページでは、「対数(log)の公式」について解説します

本質を理解できるように、公式の証明(導出)も解説しています。
また、使い方がイメージしやすいように、具体例として計算問題も解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 対数(log)の公式・底の変換公式まとめ

まずは対数(log)の定義と性質・底の変換公式をまとめます。

対数の定義

\( a > 0, \ a \neq 1, \ M > 0 \) のとき

\( \color{red}{ a^p = M \ \Longleftrightarrow \ \log_{a} M = p } \)

・「\( \log_{a} M \)」を、\( a \) をとする \( M \) の対数という。

・\( M \) を \( \log_{a} M \) の真数という。真数は正の数。

対数の性質

\( a > 0, \ a \neq 1, \ M > 0, \ N > 0 \) のとき

【対数の性質】

\( \log_{a} a = 1 \)

\( \log_{a} 1 = 0 \)

【積の対数】

\( \color{red}{ \log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N } \)

【商の対数】

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M \ – \log_{a} N } \)

【累乗の対数】

\( \color{red}{ \log_{a} M^r = r \log_{a} M } \)(\( r \) は実数)

底の変換公式

\( a, b, c \) は正の数で,\( a \neq 1, \ b \neq 1, \ c \neq 1 \) のとき

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} } \)

特に \( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} } \)

その他の公式

\( a, b, c \) は正の数で,\( a \neq 1, \ b \neq 1, \ c \neq 1 \) のとき

\( \color{red}{ \log_{a} b \log_{b} c = \log_{a} c } \)

\( \displaystyle \color{red}{ a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_{a} b } \)

これらの公式は教科書には載っていませんが、便利な公式なので覚えておくとよいです。

それぞれの公式の証明(導出)や使い方を解説していきます。

 

2. 対数の定義と使い方・計算例

まずは対数の定義から確認していきましょう。

 

\( a > 0, \ a \neq 1 \) とするとき、任意の正の数 \( M \) に対して、

\( a^p = M \)

となる実数 \( p \) がただ1つ定まります。

この \( p \) を

\( \color{red}{ \log_{a} M } \)

で表し、\( a \) をとする \( M \) の対数といいます。

また、\( M \) を \( \log_{a} M \) の真数といいます。

\( a^p > 0 \) だから、真数 \( M \) は正の実数となります。

\( a > 0, \ a \neq 1, \ M > 0 \) のとき

\( \color{red}{ a^p = M \ \Longleftrightarrow \ \log_{a} M = p } \)

記号「\( \log \)」は、対数を意味するlogarithmに由来しています。

【例1

 (1) \( \color{blue}{ 2 }^\color{red}{ 3 } = \color{green}{ 8 } \) であるから \( \log_{\color{blue}{ 2 }} \color{green}{ 8 } = \color{red}{ 3 } \)

 (2) \( 10^2 = 100 \) であるから \( \log_{10} 100 = 2 \)

【例2 \( \log_{3} 27 \) の値を求めよ。

\( \log_{3} 27 = p \) とおくと

\( 3^p = 27 = 3^3 \)

よって \( p = 3 \) であるから

\( \log_{3} 27 = \log_{3} 3^3 = 3 \)

このことから、一般に、次の等式が成り立ちます。

\( \color{red}{ \log_{a} a^p = p } \)

 

3. 対数の公式の証明と計算問題

続いて、対数の性質と公式の証明(導出)、そして計算問題を通して公式の使い方を解説していきます。

3.1 積の対数

まずは積の対数の性質です。

\( a > 0, \ a \neq 1, \ M > 0, \ N > 0 \) のとき

\( \color{red}{ \log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N } \)

【証明】

\( \log_{a} M = p, \ \log_{a} N = q \) とおくと

\( M = a^p, \ N = a^q \)

よって

\( MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q} \)

両辺の \( a \) を底とする対数をとると

 \( \begin{align}
\color{red}{ \log_{a} MN } & = \log_{a} a^{p+q} \\
\\
& = p+q \\
\\
& \color{red}{ = \log_{a} M + \log_{a} N }
\end{align} \)

 

公式を利用する計算問題をやってみましょう。

例題

\( \log_{6} 4 + \log_{6} 9 \) を簡単にせよ。

【解答】

\( \begin{align}
\color{red}{ \log_{6} 4 + \log_{6} 9 } & = \color{red}{ \log_{6} (4 \cdot 9) } \\
\\
& = \log_{6} 36 \\
\\
& = \log_{6} 6^2 \\
\\
& \color{red}{ = 2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.2 商の対数

次は商の対数の性質です。

\( a > 0, \ a \neq 1, \ M > 0, \ N > 0 \) のとき

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M \ – \log_{a} N } \)

【証明】

\( \log_{a} M = p, \ \log_{a} N = q \) とおくと

\( M = a^p, \ N = a^q \)

よって

\( \displaystyle \frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p \ – q} \)

両辺の \( a \) を底とする対数をとると

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \log_{a} \frac{M}{N} } & = \log_{a} a^{p \ – q} \\
\\
& = p \ – q \\
\\
& \color{red}{ = \log_{a} M \ – \log_{a} N }
\end{align} \)

 

公式を利用する計算問題をやってみましょう。

例題

\( \log_{4} 96 + \log_{4} 6 \) を簡単にせよ。

【解答】

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \log_{4} 96 + \log_{4} 6 } & = \color{red}{ \log_{4} \frac{96}{6} } \\
\\
& = \log_{4} 16 \\
\\
& = \log_{4} 4^2 \\
\\
& \color{red}{ = 2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.3 累乗の対数

続いて累乗の対数です。

\( a > 0, \ a \neq 1, \ M > 0 \) のとき

\( \color{red}{ \log_{a} M^r = r \log_{a} M } \)

【証明】

\( \log_{a} M = p \) とおくと

\( M = a^p \)

両辺を \( r \) 乗すると

\( M^r = a^{pr} \)

両辺の \( a \) を底とする対数をとると

 \( \begin{align}
\color{red}{ \log_{a} M^r } & = \log_{a} a^{pr} \\
\\
& = pr \\
\\
& = \color{red}{ r \log_{a} M }
\end{align} \)

 

公式を利用する計算問題をやってみましょう。

例題

次の式を簡単にせよ。

 (1) \( \displaystyle \frac{1}{2} \log_{2} 25 + \log_{2} \frac{1}{10} \)

 (2) \( \displaystyle \frac{3}{2} \log_{3} \sqrt[3]{12} \)

【解答】

(1) \( \displaystyle \frac{1}{2} \log_{2} 25 + \log_{2} \frac{1}{10} \)

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \frac{1}{2} \log_{2} 25 + \log_{2} \frac{1}{10} } & = \color{red}{ \log_{2} \left( 5^2 \right)^{\frac{1}{2}} } + \log_{2} \frac{1}{10} \\
\\
\displaystyle & = \log_{2} 5 + \log_{2} \frac{1}{10} \\
\\
\displaystyle & = \log_{2} \left( 5 \cdot \frac{1}{10} \right) \\
\\
\displaystyle & = \log_{2} \frac{1}{2} \\
\\
\displaystyle & = \log_{2} 2^{-1} \\
\\
& \color{red}{ = -1 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( \displaystyle \frac{3}{2} \log_{3} \sqrt[3]{12} \)

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \frac{3}{2} \log_{3} \sqrt[3]{12} } & = \color{red}{ \log_{3} \left( 12^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} } \\
\\
\displaystyle & = \log_{3} 12^{\frac{1}{2}} \\
\\
& \color{red}{ = \log_{3} 2 \sqrt{3} \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.4 底の変換公式

次は底の変換公式です。

\( a, b, c \) は正の数で,\( a \neq 1, \ b \neq 1, \ c \neq 1 \) のとき

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} } \)

【証明】

\( \log_{a} b = p \) とおくと

\( a^p = b \)

両辺の \( c \) を底とする対数をとると

\( \log_{c} a^p = \log_{c} b \)

よって

\( p \log_{c} a = \log_{c} b \)

\( a \neq 1 \) より,\( \log_{c} a \neq 0 \) であるから

\( \displaystyle p = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \)

すなわち

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} } \)

 

また、底の変換公式より

\( \displaystyle \log_{a} b = \frac{\log_{b} b}{\log_{b} a} \)

であるから

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} } \)

が成り立つ。

 

底の変換公式を利用する計算問題をやってみましょう。

例題

(1) \( \log_{27} 9 \) の値を求めよ。

(2) \( \log_{4} 9 \ – \log_{2} 12 \) を簡単にせよ。

【解答】

(1) \( \log_{27} 9 \)

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \log_{27} 9 } & = \frac{\log_{3} 9}{\log_{3} 27} \\
\\
\displaystyle & = \frac{\log_{3} 3^2}{\log_{3} 3^3} \\
\\
\displaystyle & = \frac{2 \log_{3} 3}{3 \log_{3} 3} \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{2}{3} \cdots 【答】}
\end{align} \)

 

(2) まず対数の底をそろえます

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \log_{4} 9 } \ – \log_{2} 12 & = \color{red}{ \frac{\log_{2} 9}{\log_{2} 4} } – \log_{2} 12 \\
\\
\displaystyle & = \frac{1}{2} \log_{2} 9 \ – \log_{2} 12 \\
\\
& = \log_{2} 9^{\frac{1}{2}} \ – \log_{2} 12 \\
\\
& = \log_{2} 3 \ – \log_{2} 12 \\
\\
\displaystyle & = \log_{2} \frac{3}{12} \\
\\
\displaystyle & = \log_{2} \frac{1}{4} \\
\\
& = \log_{2} 2^{-2} \\
\\
& \color{red}{ = \ -2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.5 その他の公式

さいごに、教科書には載っていませんが、覚えておくと便利な公式の解説です。

\( a, b, c \) は正の数で,\( a \neq 1, \ b \neq 1, \ c \neq 1 \) のとき

\( \color{red}{ \log_{a} b \log_{b} c = \log_{a} c } \)

\( \displaystyle \color{red}{ a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_{a} b } \)

【証明】  \( \color{red}{ \log_{a} b \log_{b} c = \log_{a} c } \)

底の変換公式より

\( \displaystyle \log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} \)

よって

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \log_{a} b \log_{b} c } & = \log_{a} b \cdot \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} \\
\\
& \color{red}{ = \log_{a} c }
\end{align} \)

【証明】 \( \displaystyle \color{red}{ a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a} } \)

等式

\( \log_{b} c \cdot \log_{b} a = \log_{b} a \cdot \log_{b} c \)

において、対数の性質 \( \color{red}{ r } \log_{a} M = \log_{a} M^{\color{red}{ r }} \) より

\( \color{red}{ \log_{b} c } \cdot \log_{b} a = \color{red}{ \log_{b} a } \cdot \log_{b} c \)

\( \Leftrightarrow \log_{b} a^{\color{red}{ \log_{b} c } } = \log_{b} c^{\color{red}{ \log_{b} a } } \)

両辺の対数の真数は等しいから

\( \displaystyle \color{red}{ a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a} } \)

【証明】 \( \displaystyle \color{red}{ \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_{a} b } \)

底の変換公式より

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \log_{a^n} b } & = \frac{\log_{a} b}{\log_{a} a^n} \\
\\
& = \frac{\log_{a} b}{n \log_{a} a } \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{n} \log_{a} b }
\end{align} \)

 

以上が対数の公式の解説すべてです!

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