半角の公式（覚え方・導き方）

東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「半角の公式」について解説します。

半角の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みが吹き飛ぶ！公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 半角の公式まとめ

まずは半角の公式をまとめます。

半角の公式

・\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } } \)

・\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } } \)

・\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } } \)

半角の公式は2次式を1次式に変形する公式（次数下げ）なので、三角関数の積分をするときに便利です。

【例】

半角の公式 \( \displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} \) で、\( \alpha = 2x \) を代入すると

\( \displaystyle \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2 x}{2} \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \int \sin^2 x dx & = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} dx \\
\\
\displaystyle & = \frac{1}{2} x – \frac{1}{4} \sin 2x + C
\end{align} \)

2. 半角の公式の覚え方（導き方）

さっそくタイトルと矛盾することを言いますが、「半角の公式は丸暗記するものではない」です。
なぜなら、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、丸暗記はそのうち詰みます（笑）

「半角の公式」は、「2倍角の公式」から一瞬で導くことができるので、この方法を身につけましょう。
（半角の公式は、もはや2倍角の公式そのものですので、問題を解いていくうちに自然に「2倍角の公式」と合わせて暗記できます！）

補足

2倍角の公式や覚え方は「2倍角の公式（覚え方・導き方）」の記事で詳しく解説しています。2倍角の公式が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。

関連記事2倍角の公式（覚え方・導き方）

2.1 sinの半角の公式の覚え方

cosの2倍角の公式 \( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \) を \( \sin^2 \alpha \) について解くと

\( \displaystyle \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} \cdots ① \)

この式で \( \displaystyle \alpha = \frac{\alpha}{2} \) とおくと

\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } \)

が得られます。

2.2 cosの半角の公式の覚え方

導き方はsinの半角の公式と同様です。

cosの2倍角の公式 \( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \) を \( \cos^2 \alpha \) について解くと

\( \displaystyle \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} \cdots ② \)

この式で \( \displaystyle \alpha = \frac{\alpha}{2} \) とおくと

\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \)

が得られます。

2.3 tanの半角の公式の覚え方

ここまでくれば、残りのtanの半角の公式は簡単です。

三角関数の相互関係 \( \displaystyle \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) と、①，②の式より、

\( \begin{align}
\displaystyle \tan^2 \alpha & = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \\
\\
\displaystyle & = \frac{\frac{1 – \cos 2 \alpha}{2}}{\frac{1 + \cos 2 \alpha}{2}} \\
\\
\displaystyle & = \frac{1 – \cos 2 \alpha }{1 + \cos 2 \alpha }
\end{align} \)

この式で \( \displaystyle \alpha = \frac{\alpha}{2} \) とおくと

\( \displaystyle \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } \)

が得られます。