東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「半角の公式」について解説します。
半角の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みが吹き飛ぶ！公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 半角の公式まとめ
まずは半角の公式をまとめます。
半角の公式は2次式を1次式に変形する公式（次数下げ）なので、三角関数の積分をするときに便利です。
【例】
半角の公式 \( \displaystyle \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} \) で、\( \alpha = 2x \) を代入すると
\( \displaystyle \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2 x}{2} \)
よって
\( \begin{align}
\displaystyle \int \sin^2 x dx & = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} dx \\
\\
\displaystyle & = \frac{1}{2} x – \frac{1}{4} \sin 2x + C
\end{align} \)
2. 半角の公式の覚え方（導き方）
さっそくタイトルと矛盾することを言いますが、「半角の公式は丸暗記するものではない」です。
なぜなら、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、丸暗記はそのうち詰みます（笑）
「半角の公式」は、「2倍角の公式」から一瞬で導くことができるので、この方法を身につけましょう。
（半角の公式は、もはや2倍角の公式そのものですので、問題を解いていくうちに自然に「2倍角の公式」と合わせて暗記できます！）
2倍角の公式や覚え方は「2倍角の公式（覚え方・導き方）」の記事で詳しく解説しています。2倍角の公式が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。
2.1 sinの半角の公式の覚え方
cosの2倍角の公式 \( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \) を \( \sin^2 \alpha \) について解くと
\( \displaystyle \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} \cdots ① \)
この式で \( \displaystyle \alpha = \frac{\alpha}{2} \) とおくと
\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } \)
が得られます。
2.2 cosの半角の公式の覚え方
導き方はsinの半角の公式と同様です。
cosの2倍角の公式 \( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \) を \( \cos^2 \alpha \) について解くと
\( \displaystyle \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} \cdots ② \)
この式で \( \displaystyle \alpha = \frac{\alpha}{2} \) とおくと
\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \)
が得られます。
2.3 tanの半角の公式の覚え方
ここまでくれば、残りのtanの半角の公式は簡単です。
三角関数の相互関係 \( \displaystyle \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) と、①，②の式より、
\( \begin{align}
\displaystyle \tan^2 \alpha & = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \\
\\
\displaystyle & = \frac{\frac{1 – \cos 2 \alpha}{2}}{\frac{1 + \cos 2 \alpha}{2}} \\
\\
\displaystyle & = \frac{1 – \cos 2 \alpha }{1 + \cos 2 \alpha }
\end{align} \)
この式で \( \displaystyle \alpha = \frac{\alpha}{2} \) とおくと
\( \displaystyle \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } \)
が得られます。
3. 半角の公式まとめ
以上のように、半角の公式はすべて「2倍角の公式」から超簡単に導くことができます。
導くスピードは、経験を積めば限りなく早くなるので、安心してください！
すべての公式を丸暗記するのではなく、必要に応じて、そのときどきに自力で公式を導ける力をつけておくことが超重要です。
・\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } } \)
・\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } } \)
・\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } } \)