東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「3倍角の公式」について解説します。
3倍角の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みが吹き飛ぶ！公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 3倍角の公式まとめ
まずは3倍角の公式をまとめます。
2. 3倍角の公式の覚え方（導き方）
3倍角の公式は丸暗記をするのもよいですが、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、すべての公式を丸暗記は得策ではないです。
3倍角の公式は、「加法定理」と「2倍角」の公式から簡単に導くことができるので、この方法を身につけましょう！
「加法定理」と「2倍角の公式」の覚え方は「加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）」，「２倍角の公式（覚え方・導き方）」の記事で詳しく解説しています。公式や覚え方が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。
2.1 sinの3倍角の公式の覚え方
sinの3倍角の公式は \( \sin 3 \alpha \) を \( \sin \alpha \) のみの式に変形していきます。
\( \sin \color{red}{ 3 \alpha } = \sin \color{red}{ (\alpha + 2 \alpha) } \)
加法定理
\( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
から
\( \begin{align}
\sin 3 \alpha & = \color{red}{ \sin (\alpha + 2 \alpha) } \\
\\
& = \color{red}{ \sin \alpha \cos 2 \alpha + \cos \alpha \sin 2 \alpha }
\end{align} \)
2倍角の公式
\( \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
\( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \)
から
\( \begin{align}
\sin 3 \alpha & = \sin (\alpha + 2 \alpha) \\
\\
& = \sin \alpha \color{red}{ \cos 2 \alpha } + \cos \alpha \color{red}{ \sin 2 \alpha } \\
\\
& = \sin \alpha \color{red}{ (1 – 2 \sin^2 \alpha) } + \cos \alpha \cdot \color{red}{ 2 \sin \alpha \cos \alpha } \\
\\
& = \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha
\end{align} \)
三角関数の相互関係
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)（\( \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha \)）
から
\( \begin{align}
\sin 3 \alpha & = \sin (\alpha + 2 \alpha) \\
\\
& = \sin \alpha \cos 2 \alpha + \cos \alpha \sin 2 \alpha \\
\\
& = \sin \alpha (1 – 2 \sin^2 \alpha) + \cos \alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\\
& = \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \color{red}{ \cos^2 \alpha } \\
\\
& = \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \color{red}{ (1 – \sin^2 \alpha) } \\
\\
& = \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha \\
\\
& = \color{red}{ 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha }
\end{align} \)
以上のように変形をすることで、sinの3倍角の公式が導けます！
長くなってしまったので、式変形の要点をまとめます。
\( \begin{align}
\color{red}{ \sin 3 \alpha } & = \sin (\alpha + 2 \alpha) \\
\\
& = \sin \alpha \cos 2 \alpha + \cos \alpha \sin 2 \alpha \\
\\
& = \sin \alpha (1 – 2 \sin^2 \alpha) + \cos \alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\\
& = \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha \\
\\
& = \sin \alpha – 2 \sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha (1 – \sin^2 \alpha) \\
\\
& \color{red}{ = 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha }
\end{align} \)
2.2 cosの3倍角の公式の覚え方
cosの3倍角の公式は \( \cos 3 \alpha \) を \( \cos \alpha \) のみの式に変形していきます。
\( \cos \color{red}{ 3 \alpha } = \cos \color{red}{ (\alpha + 2 \alpha) } \)
加法定理
\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \)
から
\( \begin{align}
\cos 3 \alpha & = \color{red}{ \cos (\alpha + 2 \alpha) } \\
\\
& = \color{red}{ \cos \alpha \cos 2 \alpha – \sin \alpha \sin 2 \alpha }
\end{align} \)
2倍角の公式
\( \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
\( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \)
から
\( \begin{align}
\cos 3 \alpha & = \cos (\alpha + 2 \alpha) \\
\\
& = \cos \alpha \color{red}{ \cos 2 \alpha } – \sin \alpha \color{red}{ \sin 2 \alpha } \\
\\
& = \cos \alpha \color{red}{ (2 \cos^2 \alpha – 1) } – \sin \alpha \cdot \color{red}{ 2 \sin \alpha \cos \alpha } \\
\\
& = 2 \cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha
\end{align} \)
三角関数の相互関係
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)（\( \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha \)）
から
\( \begin{align}
\cos 3 \alpha & = \cos (\alpha + 2 \alpha) \\
\\
& = \cos \alpha \cos 2 \alpha – \sin \alpha \sin 2 \alpha \\
\\
& = \cos \alpha (2 \cos^2 \alpha – 1) – \sin \alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\\
& = 2 \cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2 \color{red}{ \sin^2 \alpha } \cos \alpha \\
\\
& = 2 \cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2 \color{red}{ (1 – \cos^2 \alpha) } \cos \alpha \\
\\
& = 2 \cos^3 \alpha – \cos \alpha –2 \cos \alpha + 2 \cos^3 \alpha \\
\\
& = \color{red}{ -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha }
\end{align} \)
以上のように変形をすることで、cosの3倍角の公式が導けます！
長くなってしまったので、式変形の要点をまとめます。
\( \begin{align}
\cos 3 \alpha & = \cos (\alpha + 2 \alpha) \\
\\
& = \cos \alpha \cos 2 \alpha – \sin \alpha \sin 2 \alpha \\
\\
& = \cos \alpha (2 \cos^2 \alpha – 1) – \sin \alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\\
& = 2 \cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha \\
\\
& = 2 \cos^3 \alpha – \cos \alpha – 2 (1 – \cos^2 \alpha) \cos \alpha \\
\\
& \color{red}{ = -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha }
\end{align} \)
3. 3倍角の公式まとめ
以上のように、3倍角の公式はどちらも「加法定理」と「2倍角の公式」から簡単に導くことができます。
導くスピードは、経験を積めば限りなく早くなるので、安心してください！
すべての公式を丸暗記するのではなく、必要に応じて、そのときどきに自力で公式を導ける力をつけておくことが超重要です。
・\( \large{ \color{red}{ \sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha } } \)
・\( \large{ \color{red}{ \cos 3 \alpha = -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha } } \)