三角形の重心について知っておきたい知識まとめ

東大塾長の山田です。
このページでは、「三角形の重心」について解説します。

三角形の重心の定理と、その証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます。
また、さいごには三角形の重心の定理を利用する練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで「三角形の重心の定理」をマスターしてください！

1. 三角形の重心とは？

三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線を、中線 といいます。

三角形の3本の中線は1点で交わり、その交点を 三角形の重心 といいます。

重心は一般的に「点\( G \)」と表します。

2. 三角形の重心の定理

三角形の重心の定理

三角形の重心は、3つの中線それぞれを2：1に内分する。

3. 三角形の重心の定理の証明

「三角形の重心は、3つの中線それぞれを2：1に内分する」ことの証明をしていきます。

△ABCの辺AB，BC，CAの中点をそれぞれ\( \mathrm{ L, M, N } \)とします。

\( \mathrm{ L, M } \)は辺BC，CAの中点であるから、
中点連結定理より　\( \displaystyle \mathrm{ML // AB, \ 2ML = AB } \)

中線AL，BMの交点を\( G \)とすると
　\( \displaystyle \mathrm{\color{red}{ AG:GL } = AB:ML \color{red}{ = 2:1 } \ \cdots ①} \)

また、中線AL，CNの交点を\( G’ \)とすると、先ほどと同様に考えると
　\( \displaystyle \mathrm{\color{red}{ AG’:G’L } = AC:NL \color{red}{ = 2:1 }  \ \cdots ②} \)

①，②より、\( G \)と\( G’ \)はどちらも線分ALを2：1に内分する点であるから、\( G \)と\( G’ \)は一致することがわかります。

したがって、3本の中線は1点\( G \)で交わり、\( \displaystyle \mathrm{AG:GL = 2:1} \)に内分するといえます。

同様に考えると、\( \mathrm{BG:GM = GC:GN = 2:1} \)であるから、重心\( G \)は各中線を2：1に内分するといえます。

よって、三角形の重心の定理が成り立つことが証明できました。

4. 三角形の重心の定理を利用する練習問題

それでは、実際に問題の中で使ってみましょう！

例題

下図のような△ABCにおいて，2本の中線AD，BEの交点をGとし，Eから辺BCに平行な直線を引き，ADとの交点をMとする。このとき，AM：MG：GDを求めよ。

【解答】

Gは△ABCの重心だから　\( \displaystyle \mathrm{EG:GB=1:2} \)

また、\( \displaystyle \mathrm{ME // BC} \)より　\( \displaystyle \mathrm{MG:GD = EG:GB=1:2 \ \cdots ①} \)

次に△ADCにおいて、
\( \displaystyle \mathrm{AE = EC, \ ME // DC} \)より
\( \displaystyle \mathrm{AM:MD = AE:EC = 1:1 \ \cdots ②} \)

①，②より、比は次の図のようになる。

したがって

\( \displaystyle \mathrm{AM:MG:GD = \color{red}{ 3:1:2 \ \cdots 【答】} } \)

5. 三角形の重心まとめ

以上が、三角形の重心の解説です。しっかり理解できましたか？

三角形の重心の定理は、図形の基礎事項かつよく使う定理なので、必ず覚えておきましょうね！