約数の個数の求め方を超わかりやすく説明してみた

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東大塾長の山田です。
このページでは、「約数の個数の求め方」について解説します

約数の求め方は、公式を覚えて理解してしまえば簡単に求めることができます。
また、さいごには約数の個数を求める練習問題も用意しているので、ぜひ最後まで読んで「約数の個数の求め方」をマスターしてください!

1. 約数の個数の求め方(公式)

さっそく「約数の個数の求め方の公式」を解説します。

約数の個数の求め方の公式

自然数\( N \)を素因数分解した結果が \( N = p^a q^b r^c \cdot \cdots \) のとき,\( N \)の正の約数の個数は

 \( \large{ \color{red}{ (a+1)(b+1)(c+1) \cdot \cdots } } \)(個)

 

2. 約数の個数の求め方の公式の解説(証明)

それでは、なぜ約数の個数が上記のような式になるのか?解説していきます。

 

例えば、200の約数の個数が何個あるか考えてみます。

200を素因数分解すると \( \large{ \color{red}{ 72 = 2^3 \cdot 5^2 } } \)

つまり,200は素因数2を3個,素因数5を2個もつ数といえます

よって,200の正の約数は素因数2を3個以下,素因数5を2個以下もつ数なので

  • 素因数2の掛け方は,「\( 2^0 \)」「\( 2^1 \)」「\( 2^2 \)」「\( 2^3 \)」の4通り
  • 素因数5の掛け方は,「\( 5^0 \)」「\( 5^1 \)」「\( 5^2 \)」の3通り

 

これらの組み合わせの数を考えると

 \( \large{ 4 \cdot 3 = 12 } \)通り

したがって、\( 200 (=2^3 \cdot 5^2) \) の約数の個数は12と計算で求めることができます。

 

同様に、自然数\( N \)を素因数分解した結果が \( \color{red}{ N = p^a q^b r^c \cdot \cdots } \) であるならば、

\( N \)の正の約数は素因数\( p \)を\( a \)個以下、\( q \)を\( b \)個以下、\( r \)を\( c \)個以下、\( \cdots \)もつ数なので、

  • 素因数\( p \)の掛け方は,「\( p^0 \)」「\( p^1 \)」「\( p^2 \)」\( \cdots \)「\( p^a \)」の\( a+1 \)通り
  • 素因数\( q \)の掛け方は,「\( q^0 \)」「\( q^1 \)」「\( q^2 \)」\( \cdots \)「\( q^b \)」の\( b+1 \)通り
  • 素因数\( r \)の掛け方は,「\( r^0 \)」「\( r^1 \)」「\( r^2 \)」\( \cdots \)「\( r^c \)」の\( c+1 \)通り
  • \( \cdots \cdots \)

 

これらの組み合わせの数を考えると

 \( (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) \cdot \cdots \)通り

したがって、\( N = p^a q^b r^c \) の約数の個数は \( (a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) \cdot \cdots \)(個) と計算で求めることができます。

 

3. 約数の個数を求める問題

それでは、具体的に約数の個数を求める問題を具体的に解いてみましょう!

例題

756の約数の個数を求めよ。

【解答】

まずは\( 756 \)を素因数分解します。

 \( \large{ 756 = 2^\color{red}{ 2 } \cdot 3^\color{red}{ 3 } \cdot 7^\color{red}{ 1 } } \)

(ふつう「1乗」は書きませんが、わかりやすくするために表記)

 

そうしたら、約数の個数は【[各素因数の指数]\( +1 \)】の積になるので

 \( \begin{align}
& (\color{red}{ 2 }+1) \cdot (\color{red}{ 3 }+1) \cdot (\color{red}{ 1 }+1) \\
\\
= & 3 \cdot 4 \cdot 2 \\
\\
= & \color{red}{ 24 (個) \cdots 【答】}
\end{align} \)

 

4. 約数の個数の求め方まとめ

約数の個数の求め方は理解できてきましたか?
わかればめちゃめちゃ簡単です!

約数の個数を求めさせる問題は、センター試験でも出題されることもある重要な問題です。

必ずマスターしておきましょうね!

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