2倍角の公式（覚え方・導き方）

東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「2倍角の公式」について解説します。

2倍角の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みを吹き飛ばす！公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 2倍角の公式まとめ

まずは2倍角の公式をまとめます。

2倍角の公式

\( \large{ \color{red}{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha } } \)
\( \large{ \color{red}{ \begin{align}
\cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
& = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
& = 1 – 2 \sin^2 \alpha
\end{align}} } \)
\( \large{ \color{red}{ \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} } } \)

\( \cos 2 \alpha \) の公式「\( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \)」を \( \sin^2 \alpha \) について，

「\( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \)」を \( \cos^2 \alpha \) について，

それぞれ解くと得られる式

\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} } \)

を使うこともよくあります（次数下げや積分をするときに便利）。

2. 2倍角の公式の覚え方（導き方）

さっそくタイトルと矛盾することを言いますが、「2倍角の公式は丸暗記するものではない」です。
なぜなら、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、丸暗記はそのうち詰みます（笑）

2倍角の公式は加法定理から一瞬で導くことができるので、この方法を身につけましょう。
（ただ、2倍角の公式は頻繁に使うので、問題を解いていくうちに自然に暗記できます！）

2倍角の公式は加法定理 \( (\alpha + \beta) \) おいて、\( \beta = \alpha \) とおくと導けます。

補足

加法定理の公式や覚え方は「加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）」の記事で詳しく解説しています。加法定理が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。

関連記事加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）

2.1 sinの2倍角の公式の覚え方

sinの加法定理 \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) において、\( \beta = \alpha \) とおくと

\( \begin{align}
\sin (\alpha + \alpha) & = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\
\\
& = \color{red}{ 2 \sin \alpha \cos \alpha }
\end{align} \)

ゆえに

\( \color{red}{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha } \)

2.2 cosの2倍角の公式の覚え方

cosの加法定理 \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \) において、\( \beta = \alpha \) とおくと

\( \begin{align}
\cos (\alpha + \alpha) & = \cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha \\
\\
& = \color{red}{ \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha }
\end{align} \)

ゆえに

\( \color{red}{ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha } \cdots ① \)

また、三角関数の相互関係 \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) より、\( \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha \) を①に代入すると

\( \begin{align}
\color{red}{ \cos 2 \alpha } & = \cos^2 \alpha – (1 – \cos^2 \alpha) \\
\\
& = \color{red}{ 2 \cos^2 \alpha – 1 } \cdots ②
\end{align} \)

同様に、三角関数の相互関係 \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) より、\( \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha \) を①に代入すると

\( \begin{align}
\color{red}{ \cos 2 \alpha } & = (1 – \sin^2 \alpha) – \sin^2 \alpha \\
\\
& = \color{red}{ 1 – 2 \sin^2 \alpha } \cdots ③
\end{align} \)

したがって、①，②，③より、3通りのcosの2倍角の公式

\( \color{red}{ \begin{align}
\cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
\\
& = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
\\
& = 1 – 2 \sin^2 \alpha
\end{align}} \)

が得られる。

2.3 tanの2倍角の公式の覚え方

tanの加法定理 \( \displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 – \tan \alpha \tan \beta} \) において、\( \beta = \alpha \) とおくと

\( \begin{align}
\displaystyle \tan (\alpha + \alpha) & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 – \tan \alpha \tan \alpha} \\
\\
\displaystyle & = \color{red}{ \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} }
\end{align} \)

ゆえに

\( \color{red}{ \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} } \)