東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「2倍角の公式」について解説します。
2倍角の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みを吹き飛ばす！公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 2倍角の公式まとめ
まずは2倍角の公式をまとめます。
\( \cos 2 \alpha \) の公式「\( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \)」を \( \sin^2 \alpha \) について ，
「\( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \)」を \( \cos^2 \alpha \) について，
それぞれ解くと得られる式
\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} } \)
\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} } \)
を使うこともよくあります（次数下げや積分をするときに便利）。
2. 2倍角の公式の覚え方（導き方）
さっそくタイトルと矛盾することを言いますが、「2倍角の公式は丸暗記するものではない」です。
なぜなら、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、丸暗記はそのうち詰みます（笑）
2倍角の公式は加法定理から一瞬で導くことができるので、この方法を身につけましょう。
（ただ、2倍角の公式は頻繁に使うので、問題を解いていくうちに自然に暗記できます！）
2倍角の公式は加法定理 \( (\alpha + \beta) \) おいて、\( \beta = \alpha \) とおくと導けます。
加法定理の公式や覚え方は「加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）」の記事で詳しく解説しています。加法定理が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。
2.1 sinの2倍角の公式の覚え方
sinの加法定理 \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) において、\( \beta = \alpha \) とおくと
\( \begin{align}
\sin (\alpha + \alpha) & = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\
\\
& = \color{red}{ 2 \sin \alpha \cos \alpha }
\end{align} \)
ゆえに
\( \color{red}{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha } \)
2.2 cosの2倍角の公式の覚え方
cosの加法定理 \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \) において、\( \beta = \alpha \) とおくと
\( \begin{align}
\cos (\alpha + \alpha) & = \cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha \\
\\
& = \color{red}{ \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha }
\end{align} \)
ゆえに
\( \color{red}{ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha } \cdots ① \)
また、三角関数の相互関係 \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) より、\( \sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha \) を①に代入すると
\( \begin{align}
\color{red}{ \cos 2 \alpha } & = \cos^2 \alpha – (1 – \cos^2 \alpha) \\
\\
& = \color{red}{ 2 \cos^2 \alpha – 1 } \cdots ②
\end{align} \)
同様に、三角関数の相互関係 \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) より、\( \cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha \) を①に代入すると
\( \begin{align}
\color{red}{ \cos 2 \alpha } & = (1 – \sin^2 \alpha) – \sin^2 \alpha \\
\\
& = \color{red}{ 1 – 2 \sin^2 \alpha } \cdots ③
\end{align} \)
したがって、①，②，③より、3通りのcosの2倍角の公式
\( \color{red}{ \begin{align}
\cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
\\
& = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
\\
& = 1 – 2 \sin^2 \alpha
\end{align}} \)
が得られる。
2.3 tanの2倍角の公式の覚え方
tanの加法定理 \( \displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 – \tan \alpha \tan \beta} \) において、\( \beta = \alpha \) とおくと
\( \begin{align}
\displaystyle \tan (\alpha + \alpha) & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 – \tan \alpha \tan \alpha} \\
\\
\displaystyle & = \color{red}{ \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} }
\end{align} \)
ゆえに
\( \color{red}{ \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} } \)
3. 2倍角の公式まとめ
以上のように、2倍角の公式はすべて「加法定理」から超簡単に導くことができます。
導くスピードは、経験を積めば限りなく早くなるので、安心してください！
すべての公式を丸暗記するのではなく、必要に応じて、そのときどきに自力で公式を導ける力をつけておくことが超重要です。
2倍角の公式を覚えたら、さらに「半角の公式」も超簡単に覚えることができます！
半角の公式や覚え方は「半角の公式（覚え方・導き方）」の記事で詳しく解説しているので、ぜひチェックしてください。
\cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
& = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
& = 1 – 2 \sin^2 \alpha
\end{align}} } \)