因数定理まとめ(公式・証明・問題)

【勉強法はこちら】

東大塾長の山田です。
このページでは、「因数定理」について解説します

今回は「因数定理」の公式や使い方に加え、「因数の見つけ方」、「割り算の簡便法(組み立て除法)」についても超わかりやすく解説しています
ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください!

1. 因数定理とは?(公式)

それではさっそく因数定理について解説していきます。

因数定理

整式 \( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ \( \Leftrightarrow \ P(\alpha) = 0 \)

因数定理は、必要十分条件になっていることがポイントです。

  • 「\( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ」\( \Rightarrow \)「\( P(\alpha) = 0 \)」
  • 「\( P(\alpha) = 0 \)」\( \Rightarrow \)「\( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ」

どちらも成り立ちます。

 

ひとつ具体例を挙げて、調べてみましょう。

【例】

\( P(x) = x^2 + x – 2 \) のとき

\( x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \) より、\( P(x) \) は \( (x-1) \) を因数にもつ

\( \alpha = 1 \) として

 \( \begin{align}
\color{red}{ P(\alpha) } & = P(1) = 1^2 + 1 – 2 \\
& \color{red}{ = 0 }
\end{align}\)

よって

  • 「\( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ」\( \Rightarrow \)「\( P(\alpha) = 0 \)

が確認できました(\( \alpha = -2 \) でも成り立ちます)。

 

一方の

  • 「\( P(\alpha) = 0 \)」\( \Rightarrow \)「\( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ」

は明らかです。

\( P(1) = 1^2 + 1 – 2 = 0 \) となります。

また、\( P(x) = x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \) と因数分解できるので、\( (x-1) \) を因数にもつことがわかります。

したがって、因数定理が成り立つことが確認できます。

 

2. 因数定理の証明

因数定理の証明は、剰余の定理と同じです。

剰余の定理の余りが0の場合が、因数定理になります。

証明

整式 \( P(x) \) を1次式 \( (x- \alpha) \) で割ったときの余り商を \( Q(x) \),余りを \( R \) とすると

 \( P(x) = (x- \alpha) Q(x) + R \)

と表すことができます(∵ 割り算の基本等式)。

この等式の両辺に \( x= \alpha \) を代入すると

 \( \begin{align}
P(\alpha) & = (\alpha – \alpha) Q(\alpha) + R \\
\\
& = 0 \times Q(\alpha) + R \\
\\
& = R
\end{align} \)

よって、\( P(x) \) が \( (x- \alpha) \) を因数にもつ必要十分条件は \( R=0 \) のときである。
(∵「\( (x- \alpha) \) を因数にもつ」\( \Leftrightarrow \)「\( (x- \alpha) \) で割り切れる」)

つまり、\( P(\alpha) = 0 \) のときである。

したがって、因数定理

「整式 \( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ \( \Leftrightarrow \ P(\alpha) = 0 \)

が成り立つ。

 

剰余の定理がよくわからない人は「剰余の定理まとめ(公式・証明・問題)」の記事もぜひチェックしてみてください。

剰余の定理まとめ(公式・証明・問題)

2018年12月26日

 

3. 因数定理を使う問題(因数分解)

因数定理はその名の通り、因数を見つけるときに活躍する定理なので、因数分解するとき(高次方程式を解くとき)にとても役に立ちます。

具体的に、因数定理を使って因数分解の問題をやってみましょう。

3.1 因数定理を使った因数分解の問題

例題

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) を因数分解せよ。

【解答】

\( P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) とおく。

因数定理で因数を求めるために、\( P(x) = 0 \) となるような \( x \) を探します。

 \( \begin{align}
P(2) & = 2^3 – 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 – 6 \\
& = 8 – 24 + 22 – 6 \\
& = 0
\end{align} \)

となるので、因数定理より、\( P(x) \) は \( x-2 \) を因数にもつことがわかりました。

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) を \( x-2 \) で割り算をすると

したがって

 \( \begin{align}
P(x) & = (x-2)(x^2 – 4x + 3) \\
\\
& = \color{red}{ (x-2)(x-1)(x-3) \ \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.2 因数の見つけ方

因数定理を使って因数分解をする方法は理解できましたか?
問題をこなしていくうちに気付くことがあると思います。

それは、「肝心の『\( P(\alpha) = 0 \) になる \( \alpha \)(因数)』を見つけるの大変じゃね!?」ということです。

でも安心してください!因数の見つけ方というものがちゃんと存在します!
ここでは、因数の見つけ方について解説していきます。

 

結論から言うと、\( P(\alpha) = 0 \) になる \( \alpha \) の候補は次の通りです。

因数の候補

\( P(x) \) について,\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) の候補は

\( \large{ \displaystyle \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } } \)

例えば、\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) であれば、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) の候補は \( \displaystyle \color{red}{ \pm \frac{dの約数}{aの約数} } \) になります。

【証明】

\( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) とする。

\( \displaystyle P \left( \frac{q}{p} \right) = 0 \) のとき,\( P(x) \) は \( px-q \) で割り切れるから,商を \( lx^2 + mx + n \) とすると,

 \( ax^3 + bx^2 + cx + d \\ = (px-q) (lx^2 + mx + n) \)

(係数はすべて整数)が成り立つ。

両辺の最高次(\( x^3 \))の項と定数項を比較すると

 \( a=pl, \ d=-qn \)

よって,\( \alpha \) の候補は

 \( \displaystyle \color{red}{ \frac{q}{p} = \pm \frac{dの約数}{aの約数} } \)

つまり、\( \displaystyle \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } \)

(最高次の係数が1のときは,\( \alpha \) の候補は 定数項の正負の約数 ということになる。)

 

先ほどの例題でいうと、\( P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) でした。

\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x- \alpha) (x^2 + px + q) \) とすると,\( -6 = – \alpha q \)

\( \alpha q \) が整数なら,\( \alpha \) は定数項「-6」の約数なので、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) は、±1±2±3±6 のどれかになります。

 

同様に、\( P(x) = 2x^3 – 9x^2 + 2 \) であれば、最高次(\( 2x^3 \))の係数は「2」、定数は「2」なので、\( P(\alpha) = 0 \) となる \( \alpha \) は、±1±2\( \displaystyle \pm \frac{1}{2} \) から探せばよいです。

 

例では3次式の場合のみ解説しましたが、この定理は \( P(x) \) が何次式でも成り立ちます。

この方法を知っていれば、闇雲に代入して探す必要がなくなります!

 

3.3 組み立て除法

もうひとつ、高次式の因数分解をするときの問題が「筆算の割り算だるくね!?」ということです。

この割り算を簡単に計算する方法が「組み立て除法です。

 

\( a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3 \) を \( x- \alpha \) で割ったときの商を \( b_0 x^2 + b_1 x + b_2 \),余りを \( R \) とすると

 \( \begin{align}
& a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3 \\
\\
= & (x- \alpha) (b_0 x^2 + b_1 x + b_2) + R \\
\\
= & b_0 x^3 + (b_1 – \alpha b_0)x^2 \\
& \ + (b_2 – \alpha b_1)x + (R – \alpha b_2)
\end{align} \)

よって、両辺の係数を比較すると

 \( \begin{cases}
a_0 = b_0\\
a_1 = b_1 – \alpha b_0 \\
a_2 = b_2 – \alpha b_1 \\
a_3 = R – \alpha b_2
\end{cases} \)

したがって

 \( \begin{cases}
b_0 = a_0 \\
b_1 = a_1 + \alpha b_0 \\
b_2 = a_2 + \alpha b_1 \\
R = a_3 + \alpha b_2
\end{cases} \)

この計算を下の図の形式で行うのが、組み立て除法です。

 

文字ばかりでわかりにくいと思うので、先ほどの例題を使って具体的にやってみましょう。

【例】 \( (x^3 – 6x^2 + 11x – 6) \div (x-2) \)

  1. 割る式 \( x-2 \) の「2」と,割られる式 \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) の係数1,-6,11,-6を書く。
  2. 最初の1をそのまま下に下ろして1と書く。
  3. 下ろした 1×2=2 を -6 の下に書き,-6+2=4 を下に書く。
  4. さらに -4×2=8 を 11 の下に書き,-8+11=3 を下に書く。
  5. 3×2=6 を6 の下に書き,6+(-6)=0 を下に書く。
  6. 結果より、商は \( x^2-4x+3 \),余り0 となる。

 

4. 因数定理まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

因数定理まとめ

  • 因数定理\( \cdots \)整式 \( P(x) \) が \( x- \alpha \) を因数にもつ \( \Leftrightarrow \ P(\alpha) = 0 \)
  • 因数の見つけ方\( \displaystyle \cdots \color{red}{ \pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数} } \)
  • 組み立て除法\( \cdots \)「(多項式)÷(1次の多項式)」の簡便法。

以上が因数定理についての解説です。

因数定理は問題を解く過程でよく使います。因数の見つけ方を覚えておけば、すぐに因数を見つけられるようになるので、ぜひ覚えておいてください。

お疲れさまでした!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です