弧度法とは？度数法との違いと表・求め方

東大塾長の山田です。
このページでは、「弧度法」について解説します。

弧度法（ラジアン）は高校数学を学習する上での基礎になります。

「弧度法とは何か？」，「弧度法・度数法の変換方法」，「扇形の弧の長さと面積の公式」を丁寧にわかりやすく解説していくので、ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 弧度法とは？度数法との違い

1つの円において，「半径と等しい長さの弧に対する中心角の大きさ」を \( \color{red}{ 1 \mathrm{ [rad] } } \)(ラジアン) と定義し，\( 1 \mathrm{ [rad] } \) を単位とする角の表し方を 弧度法 といいます。

一方、これまで使ってきた「\( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)」といった“°(度)”を使った角の表し方を 度数法 といいます。

2. 弧度法・度数法の表

半径 \( r \) の円で、長さが \( r \) である弧に対する中心角の大きさを \( x^\circ \) とすると，

\( \displaystyle 2 \pi r \times \frac{x^\circ}{360^\circ} = r \)

\( \displaystyle ∴ \ x^\circ = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ \left( ≒ 57.3^\circ \right) \)

つまり

Point

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ 1 \mathrm{ [rad] } = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ } } \)

\( \large{ \color{red}{ 180^\circ = \pi \mathrm{ [rad] } } } \)

※ 弧度法では，ふつう単位の\( \mathrm{ rad } \)（ラジアン）を省略する。

となります。

\( \pi = 180^\circ \) をもとに、いろいろな角の度とラジアンの対応は次の表のようになります。

度数法	弧度法	\( \sin \theta \)	\( \cos \theta \)	\( \tan \theta \)
\( 0^\circ \)	\( 0 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)
\( 30^\circ \)	\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( 45^\circ \)	\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \)	\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \)	\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \)	\( 1 \)
\( 60^\circ \)	\( \displaystyle \frac{\pi}{3} \)	\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \sqrt{3} \)
\( 90^\circ \)	\( \displaystyle \frac{\pi}{2} \)	\( 1 \)	\( 0 \)	×
\( 120^\circ \)	\( \displaystyle \frac{2}{3} \pi \)	\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \displaystyle -\frac{1}{2} \)	\( -\sqrt{3} \)
\( 135^\circ \)	\( \displaystyle \frac{3}{4} \pi \)	\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \)	\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \)	\( -1 \)
\( 150^\circ \)	\( \displaystyle \frac{5}{6} \pi \)	\( \displaystyle \frac{1}{2} \)	\( \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( 180^\circ \)	\( \pi \)	\( 0 \)	\( -1 \)	\( 0 \)
\( 270^\circ \)	\( \displaystyle \frac{3}{2} \pi \)	\( -1 \)	\( 0 \)	×
\( 360^\circ \)	\( 2 \pi \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 0 \)

3. 弧度法⇔度数法の変換方法

次は、弧度法・度数法の変換方法について解説していきます。

3.1 度数法⇒弧度法の変換

まずは度数を弧度に変換する方法です。

度数⇒弧度の変換方法

\( \displaystyle 1^\circ = \frac{\pi}{180} \mathrm{ [rad] } \) より

度数→弧度：\( \displaystyle \color{red}{ x^\circ = \frac{\pi}{180} \times x } \ \mathrm{ [rad] } \)

※ 角度 \( x^\circ \) に \( \displaystyle \frac{\pi}{180} \) を掛ければよい。

実際に何問か例題をやってみましょう。
（これ以降は単位[rad]は省略します。）

例題1

次の角を弧度で表せ。
　(1) \( 72^\circ \)
　(2) \( 210^\circ \)
　(3) \( -40^\circ \)

【解答】

(1) \( \displaystyle 72^\circ = \frac{\pi}{180} \times 72 = \color{red}{ \frac{2}{5} \pi \cdots 【答】} \)

(2) \( \displaystyle 210^\circ = \frac{\pi}{180} \times 210 = \color{red}{ \frac{7}{6} \pi \cdots 【答】} \)

(3) \( \displaystyle -40^\circ = \frac{\pi}{180} \times (-40) = \color{red}{ – \frac{2}{9} \pi \cdots 【答】} \)

3.2 弧度法⇒度数法の変換

まずは度数を弧度に変換する方法です。

弧度⇒度数の変換方法

\( \displaystyle 1 \mathrm{ [rad] } = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ \) より

弧度→度数：\( \displaystyle \theta \mathrm{ [rad] } = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \theta \right)^\circ \)

しかし、弧度を度数に変換するときは、\( \pi = 180^\circ \) として計算する方が早い。

実際に何問か例題をやってみましょう。

例題2

次の弧度法による角を度に書き直せ。

　(1) \( \displaystyle \frac{4}{5} \pi \)

　(2) \( \displaystyle \frac{13}{4} \pi \)

　(3) \( \displaystyle – \frac{7}{12} \pi \)

【解答】

\( \pi = 180^\circ \) として計算すると簡単に求められるので、

(1) \( \displaystyle \frac{4}{5} \pi = \frac{4}{5} \times 180^\circ = \color{red}{ 144^\circ \cdots 【答】} \)

(2) \( \displaystyle \frac{13}{4} \pi = \frac{13}{4} \times 180^\circ = \color{red}{ 585^\circ \cdots 【答】} \)

(3) \( \displaystyle – \frac{7}{12} \pi = – \frac{7}{12} \times 180^\circ = \color{red}{ – 105^\circ \cdots 【答】} \)

4. 扇形の弧の長さと面積の公式

続いては、弧度法による扇形の弧の長さと面積の公式について解説していきます。

4.1扇形の弧の長さと面積の公式と証明

弧度法（ラジアン）による扇形の弧の長さと面積の公式は次のようになります。

扇形の弧の長さと面積の公式

半径 \( r \)，中心角 \( \theta \mathrm{ [rad] } \) の扇形の弧の長さを \( l \)，面積を \( S \) とすると

弧の長さ \( l \) 　\( \displaystyle \color{red}{ l = r \theta } \)
面積 \( S \) 　\( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2}r^2 \theta = \frac{1}{2} rl } \)

扇形の弧の長さと面積の公式の導き方（証明）は次の通りです。

証明

半径 \( r \)，中心角 \( \theta \mathrm{ [rad] } \) の扇形の弧の長さを \( l \)，面積を \( S \) とする。

【弧の長さ】

扇形の弧の長さは中心角の大きさに比例し，半径 \( r \) の円周は \( 2 \pi r \)，中心角は \( 2 \pi \) だから

\( \displaystyle l : 2 \pi r = \theta : 2 \pi \)

\( \displaystyle ∴ \ \large{ \color{red}{ l = r \theta } } \)

【面積】

扇形の面積も中心角の大きさに比例し，半径 \( r \) の円の面積は \( \pi r^2 \)，中心角は \( 2 \pi \) だから

\( \displaystyle S : \pi r^2 = \theta : 2 \pi \)

\( \displaystyle ∴ \ \large{ \color{red}{ S = \frac{1}{2}r^2 \theta = \frac{1}{2} rl } } \)

次は、公式を使って弧の長さと面積を求める問題をやってみましょう。

4.2扇形の弧の長さと面積の問題

例題

半径3，中心角 \( 150^\circ \) の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

【解答】

\( 150^\circ \) を弧度法で表すと

\( \displaystyle 150^\circ = \frac{\pi}{180} \times 150 = \frac{5}{6} \pi \)

よって、弧の長さは

\( \displaystyle 3 \times \frac{5}{6} \pi = \color{red}{ \frac{5}{2} \pi \cdots 【答】 } \)

面積は

\( \displaystyle \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{5}{6} \pi = \color{red}{ \frac{15}{4} \pi \cdots 【答】 } \)

≪別解≫

面積の公式 \( \displaystyle S = \frac{1}{2} rl \) を用いると

\( \displaystyle S = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{5}{2} \pi = \color{red}{ \frac{15}{4} \pi \cdots 【答】 } \)

5. 弧度法まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

弧度法まとめ

弧度法\( \cdots \)［半径と等しい長さの弧に対する中心角の大きさ］ \( = 1 \mathrm{ [rad] } \)(ラジアン)とする，角の大きさの表し方。
　\( \displaystyle \color{red}{ 180^\circ = \pi \mathrm{ [rad] } , \ 1 \mathrm{ [rad] } = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ ≒ 57.3^\circ } \)
度数法\( \cdots \)これまで使ってきた，直角\( = 90^\circ \) とする角の大きさの表し方。
弧度法による扇形の弧の長さと面積の公式\( \cdots \)
- 弧の長さ \( l \) 　\( \displaystyle \color{red}{ l = r \theta } \)
- 面積 \( S \) 　\( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{1}{2}r^2 \theta = \frac{1}{2} rl } \)