相反方程式の解き方（入試問題解説）

東大塾長の山田です。
このページでは、「相反方程式の解き方」について解説します。

4次の相反方程式は大学入試では頻出です。
入試問題の解説もしているので、ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 相反方程式とは？

\( ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \) のように、係数が左右対称な方程式を「相反方程式（そうはんほうていしき）」といいます。

【相反方程式の例】

・\( x^2 + 1 = 0 \)

・\( 3x^3 – 2x^2 – 2x + 3 = 0 \)

・\( x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0 \)

上記の例では、係数がそれぞれ

・\( (1, 1) \)
・\( (3, -2, -2, 3) \)
・\( (1, 5, 2, 5, 1) \)

となっていて、左右対称になっています。

また、0も係数とみなすので、\( x^4 + x^2 + x + 1 = 0 \) は相反方程式ではありません。

入試では4次の相反方程式が頻出です（その他はほぼなし）。

そのため、ここからは4次の相反方程式の解き方について解説をしていきます。

2. 相反方程式の解き方

4次相反方程式 \( ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \) では、中央の項 \( x^2 \) で両辺を割り、\( \displaystyle t = x + \frac{1}{x} \) と置き換えると、\( t \) に関する2次方程式に変形することができます。

相反方程式の解き方

\( ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \)

両辺を \( x^2 \) で割ると

\( \displaystyle ax^2 + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^2} = 0 \)

整理して

\( \displaystyle a \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + b \left( x + \frac{1}{x} \right) + c = 0 \)

ここで　\( \displaystyle t = x + \frac{1}{x} \) とおくと

　\( \displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2 = t^2 – 2 \)

であるから

\( a(t^2 – 2) + bt + c = 0 \)

\( t \) に関する2次方程式に変形できたので、これを解くと \( t \) が求まる。

求めた \( t \) を \( \displaystyle t = x + \frac{1}{x} \) に代入して、\( x \) を求める。

それでは、次は具体的に実際に入試問題を解いてみましょう！

3. 相反方程式の入試問題を解説

入試問題（摂南大改）

4次方程式 \( x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0 \) を解け。

【解答】

\( x=0 \) は解ではないから，方程式の両辺を \( x^2 \) で割ると

\( \displaystyle x^2 + 5x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} \)

よって

\( \displaystyle \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 5 \left( x + \frac{1}{x} \right) + 2 = 0 \)

ここで　\( \displaystyle t = x + \frac{1}{x} \) とおくと

\( \displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2 = t^2 – 2 \)

であるから

\( (t^2 – 2) + 5t + 2 = 0 \)

ゆえに　\( t^2 + 5t = 0 \)

よって　\( t (t+5) = 0 \)

したがって　\( t=0, \ -5 \)

［1］ \( t = 0 \) のとき

\( \displaystyle x + \frac{1}{x} = 0 \)

両辺に \( x \) を掛けて整理すると

\( x^2 = -1 \)

\( ∴ \ \color{red}{ x = \pm i } \)

［2］ \( t = -5 \) のとき

\( \displaystyle x + \frac{1}{x} = -5 \)

両辺に \( x \) を掛けて整理すると

\( x^2 + 5x + 1 = 0 \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} } \)

したがって，解は

\( \displaystyle \color{red}{ x = \pm i, \ \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} \cdots 【答】 } \)

補足

● 解答はじめの「\( x=0 \) は解ではないから」は必ず断ってから、両辺を \( x^2 \) で割りましょう。
　（\( x=0 \) を方程式に代入すると、「(左辺)＝1」となる。）

● \( \displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2 \) の変形は

　\( \begin{align}
\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2} & = \left(x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \\
\displaystyle & = \left(x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2
\end{align} \)

4. 相反方程式のまとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

相反方程式まとめ

相反方程式\( \cdots \)係数が左右対称な方程式
相反方程式の解き方\( \cdots \)
1. 「\( x=0 \) は解ではないから」と断ってから、方程式の両辺を \( x^2 \) で割る。
2. \( \displaystyle t = x + \frac{1}{x} \) とおき、\( t \) に関する2次方程式に変形する。
3. \( t \) を求める。
4. 求めた \( t \) を \( \displaystyle t = x + \frac{1}{x} \) に代入して、\( x \) を求める。

以上が相反方程式の解き方の解説です。

相反方程式は入試では頻出なので、必ず解き方をマスターしておきましょう！