和積の公式（覚え方・導き方）

東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「和積の公式」について解説します。

和積の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みが吹き飛ぶ！公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 和積の公式まとめ

和積の公式は、「積→和」と「和→積」に変換する2パターンあります。

まずは「積→和の公式」をまとめます。

和積（積→和）の公式

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

続いて「和→積の公式」をまとめます。

和積（和→積）の公式

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

2. 和積の公式の覚え方（導き方）

和積の公式は丸暗記をするのもよいですが、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、すべての公式を丸暗記は得策ではないです。

和積の公式は、「加法定理」から超簡単に導くことができるので、この方法を身につけましょう！

補足

「加法定理」の覚え方は「加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）」の記事で詳しく解説しています。公式や覚え方が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。

関連記事加法定理の公式まとめ（証明・覚え方・語呂合わせ・問題）

2.1 積→和の公式の覚え方（導き方）

sinの加法定理の2つの式から

\( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \cdots ① \)

\( \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \cdots ② \)

①＋②から

\( \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

同様に、①－②から

\( \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

次に、cosの加法定理の2つの式から

\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \cdots ③ \)

\( \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cdots ④ \)

③＋④から

\( \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

同様に、③－④から

\( \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

以上のように、「積→和の公式」は加法定理から簡単に導くことができます！

2.2 和→積の公式の覚え方（導き方

「和→積の公式」は、「積→和の公式」を変形することで導くことができます。

\( \displaystyle \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑤ \)

\( \displaystyle \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑥ \)

\( \displaystyle \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑦ \)

\( \displaystyle \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑧ \)

\( \alpha + \beta = A, \ \alpha – \beta = B \) とおくと

\( \displaystyle \alpha = \frac{A+B}{2}, \ \beta = \frac{A-B}{2} \cdots ⑨ \)

⑨を⑤に代入すると

\( \displaystyle \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin A + \sin B \right) \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

以下同様に、⑨を⑥に代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

⑨を⑦に代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

⑨を⑧に代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

3. 和積の公式を利用する問題

それでは、次は具体的に和積の公式を利用する問題（入試問題）を解いてみましょう！

入試問題（広島電機大）

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) のとき，次の方程式を解け。
　\( \sin \theta + \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = 0 \)

2倍角の公式や3倍角の公式を使うと、計算が大変になってしまいます。

そこで、3項のうち2項を組み合わせて、「和→積の公式」で式変形をしていきます。

【解答】

\( \sin \theta + \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = 0 \) より

　\( \color{red}{ ( \sin \theta + \sin 3 \theta ) } + \sin 2 \theta = 0 \cdots ① \)

ここで、「和→積の公式」より

　\( \begin{align}
\color{red}{ \sin \theta + \sin 3 \theta } & = 2 \sin \frac{\theta + 3 \theta}{2} \cos \frac{\theta – 3 \theta }{2} \\
\\
& = 2 \sin 2 \theta \cos (- \theta) \\
\\
& \color{red}{ = 2 \sin 2 \theta \cos \theta } \cdots ②
\end{align} \)

②を①に代入すると

　\( 2 \sin 2 \theta \cos \theta + \sin 2 \theta = 0 \)

よって

　\( \sin 2 \theta ( 2 \cos \theta + 1 ) = 0 \)

したがって

　\( \sin 2 \theta = 0 \)　または　\( 2 \cos \theta + 1 = 0 \)

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) より \( 0 ≦ 2 \theta ≦ 2 \pi \)

この範囲で \( \sin 2 \theta = 0 \) を解くと

　\( 2 \theta = 0, \ \pi, \ 2 \pi \)

よって

　\( \displaystyle \color{red}{ \theta = 0, \ \frac{\pi}{2}, \ \pi } \)

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) の範囲で \( \displaystyle \cos \theta = – \frac{1}{2} \) を解くと