和積の公式(覚え方・導き方)

東大塾長の山田です。
このページでは、三角関数の「和積の公式」について解説します

和積の公式を含む、加法定理に関する公式はたくさんあり、覚えるのが大変ですよね。
今回はそんな悩みが吹き飛ぶ!公式を自力で簡単に導ける力が身に付くように、超わかりやすく解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 和積の公式まとめ

和積の公式は、「積→和」と「和→積」に変換する2パターンあります。

まずは積→和の公式をまとめます。

和積(積→和)の公式

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

 

続いて和→積の公式をまとめます。

和積(和→積)の公式

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

 

2. 和積の公式の覚え方(導き方)

和積の公式は丸暗記をするのもよいですが、冒頭でも述べたように、加法定理に関する公式はたくさんあるので、すべての公式を丸暗記は得策ではないです。

和積の公式は、「加法定理」から超簡単に導くことができるので、この方法を身につけましょう

補足

「加法定理」の覚え方は「加法定理の公式まとめ(証明・覚え方・語呂合わせ・問題)」の記事で詳しく解説しています。公式や覚え方が曖昧な人は必ずチェックしておきましょう。

加法定理の公式まとめ(証明・覚え方・語呂合わせ・問題)

2019年1月11日

2.1 積→和の公式の覚え方(導き方)

sinの加法定理の2つの式から

\( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \cdots ① \)

\( \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \cdots ② \)

①+②から

\( \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

 

同様に、①-②から

\( \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

 

次に、cosの加法定理の2つの式から

\( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \cdots ③ \)

\( \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cdots ④ \)

③+④から

\( \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

 

同様に、③-④から

\( \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

 

以上のように、「積→和の公式」は加法定理から簡単に導くことができます!

 

2.2 和→積の公式の覚え方(導き方

「和→積の公式」は、「積→和の公式」を変形することで導くことができます。

\( \displaystyle \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑤ \)

\( \displaystyle \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑥ \)

\( \displaystyle \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑦ \)

\( \displaystyle \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} \cdots ⑧ \)

\( \alpha + \beta = A, \  \alpha – \beta = B \) とおくと

\( \displaystyle \alpha = \frac{A+B}{2}, \ \beta = \frac{A-B}{2} \cdots ⑨ \)

⑨を⑤に代入すると

\( \displaystyle \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin A + \sin B \right) \)

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

 

以下同様に、⑨を⑥に代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

 

⑨を⑦に代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

 

⑨を⑧に代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

 

3. 和積の公式を利用する問題

それでは、次は具体的に和積の公式を利用する問題(入試問題)を解いてみましょう!

入試問題(広島電機大)

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) のとき,次の方程式を解け。
 \( \sin \theta + \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = 0 \)

2倍角の公式や3倍角の公式を使うと、計算が大変になってしまいます。

そこで、3項のうち2項を組み合わせて、「和→積の公式」で式変形をしていきます。

【解答】

\( \sin \theta + \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = 0 \) より

 \( \color{red}{ ( \sin \theta + \sin 3 \theta ) } + \sin 2 \theta = 0 \cdots ① \)

ここで、「和→積の公式」より

 \( \begin{align}
\color{red}{ \sin \theta + \sin 3 \theta } & = 2 \sin \frac{\theta + 3 \theta}{2} \cos \frac{\theta – 3 \theta }{2} \\
\\
& = 2 \sin 2 \theta \cos (- \theta) \\
\\
& \color{red}{ = 2 \sin 2 \theta \cos \theta } \cdots ②
\end{align} \)

②を①に代入すると

 \( 2 \sin 2 \theta \cos \theta + \sin 2 \theta = 0 \)

よって

 \( \sin 2 \theta ( 2 \cos \theta + 1 ) = 0 \)

したがって

 \( \sin 2 \theta = 0 \) または \( 2 \cos \theta + 1 = 0 \)

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) より \( 0 ≦ 2 \theta ≦ 2 \pi \)

この範囲で \( \sin 2 \theta = 0 \) を解くと

 \( 2 \theta = 0, \ \pi, \ 2 \pi \)

よって

 \( \displaystyle \color{red}{ \theta = 0, \ \frac{\pi}{2}, \ \pi } \)

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) の範囲で \( \displaystyle \cos \theta = – \frac{1}{2} \) を解くと

 \( \displaystyle \color{red}{ \theta = \frac{2}{3} \pi } \)

したがって、解は

 \( \displaystyle \color{red}{ \theta = 0, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{2}{3} \pi, \ \pi } \)

 

4. 3倍角の公式まとめ

導き方の解説のように、和積の公式はすべて「加法定理」から簡単に導くことができます。

導くスピードは、経験を積めば限りなく早くなるので、安心してください!

すべての公式を丸暗記するのではなく必要に応じて、そのときどきに自力で公式を導ける力をつけておくことが超重要です

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