【数学Ⅱ】三角関数の公式まとめ(加法定理・変換・合成)

【勉強法はこちら】

東大塾長の山田です。
このページでは、「三角関数の公式(性質)」をすべてまとめています

ぜひ勉強の参考にしてください!

補足

公式の証明や覚え方・導き方は各関連記事で解説しているので、そちらもぜひチェックしてください。

1. 三角関数の相互関係

三角比の相互関係

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} } \)

\( \sin \theta, \ \cos \theta, \ \tan \theta \) のうち1つでも値がわかれば、次の3つの関係式から残りの2つの値を求めることができます

【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの相互関係と覚え方

2018年11月21日

 

2. 三角関数の性質(変換公式)

2.1 \( \theta + 2n \pi \) の三角関数

\( n \) を整数とするとき、角 \( \theta + 2n \pi \) の動径は角 \( \theta \) の動径と同じ位置にあるから、次の公式が成り立つ。

θ+2nπの変換公式

 ・\( \color{red}{ \sin ( \theta + 2n \pi ) = \sin \theta } \)

 ・\( \color{red}{ \cos ( \theta + 2n \pi ) = \cos \theta } \)

 ・\( \color{red}{ \tan ( \theta + 2n \pi ) = \tan \theta } \)

 

2.2 \( – \theta \) の三角関数

-θの変換公式

 ・\( \color{red}{ \sin ( – \theta ) = \ – \sin \theta } \)

 ・\( \color{red}{ \cos ( – \theta ) = \cos \theta } \)

 ・\( \color{red}{ \tan ( – \theta ) = \ – \tan \theta } \)

 

2.3 \( \displaystyle \theta + \frac{\pi}{2} \) の三角関数

θ+ π/2 の変換公式

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \ – \sin \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \ – \frac{1}{\tan \theta } } \)

【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方

2018年11月22日

 

2.4 \( \displaystyle \theta + \pi \) の三角関数

θ+πの変換公式

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin (\theta + \pi ) = \ – \sin \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos (\theta + \pi ) = \ – \cos \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan (\theta + \pi ) = \tan \theta } \)

 

2.5 \( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \theta \) の三角関数

π/2 -θの変換公式

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \cos \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \sin \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} } \)

【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方

2018年11月22日

 

2.6 \( \displaystyle \pi \ – \theta \) の三角関数

π-θの変換公式

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin (\pi \ – \theta) = \sin \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos (\pi \ – \theta) = \ – \cos \theta } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan (\pi \ – \theta) = \tan \theta } \)

【数学Ⅰ三角比】sin cos tanの変換公式と覚え方

2018年11月22日

 

3. 加法定理と応用

3.1 加法定理

加法定理の公式

【正弦の加法定理】

・\( \color{red}{ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \)

・\( \color{red}{ \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta } \)

 

【余弦の加法定理】

・\( \color{red}{ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta } \)

・\( \color{red}{ \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta  } \)

 

【正接の加法定理】

・\( \color{red}{ \displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 – \tan \alpha \tan \beta}  } \)

・\( \color{red}{ \displaystyle \tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta}  } \)

加法定理の公式まとめ(証明・覚え方・語呂合わせ・問題)

2019年1月11日

 

3.2 2倍角の公式

2倍角の公式
  • \( \color{red}{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha } \)
  • \( \color{red}{ \begin{align}
    \cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
    & = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
    & = 1 – 2 \sin^2 \alpha
    \end{align} } \)
  • \( \color{red}{ \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} } \)

\( \cos 2 \alpha \) の公式「\( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \)」を \( \sin^2 \alpha \) について ,「\( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \)」を \( \cos^2 \alpha \) について,それぞれ解くと得られる式

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} } \)

を使うこともよくあります(次数下げや積分をするときに便利)。

2倍角の公式(覚え方・導き方)

2019年1月11日

 

3.3 半角の公式

半角の公式

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \)

 ・\( \displaystyle \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } \)

半角の公式(覚え方・導き方)

2019年1月11日

 

3.4 3倍角の公式

3倍角の公式

 ・\( \color{red}{ \sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha } \)

 ・\( \color{red}{ \cos 3 \alpha = -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha } \)

3倍角の公式(覚え方・導き方)

2019年1月11日

 

3.5 和積の公式

3.5.1 積→和の公式

和積(積→和)の公式

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)

和積の公式(覚え方・導き方)

2019年1月12日

 

3.5.2 和→積の公式

和積(和→積)の公式

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)

\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)

和積の公式(覚え方・導き方)

2019年1月12日

 

4. 三角関数の合成公式

4.1 三角関数の合成公式(sin)

三角関数の合成公式(sin)

\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta + \alpha ) } \)

ただし,\( \alpha \) は \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。

三角関数の合成公式(証明・問題・cos型について)

2019年1月15日

 

4.2 三角関数の合成公式(cos)

三角関数の合成公式(cos)

\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta \ – \beta ) } \)

ただし,\( \beta \) は \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。

三角関数の合成公式(証明・問題・cos型について)

2019年1月15日

 

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