積分と面積の超解説（証明と理由）

東大塾長の山田です。
このページでは、「積分と面積」について解説します。

数学Ⅱで扱う「積分で面積を求める方法」と，「なぜ積分で面積が求まるのか？」という原理から解説をしています。
ぜひ勉強の参考にしてください！

1. 積分の面積の公式

まずは積分での面積の求め方を解説します。

1.1 曲線と\( x \) 軸の間の面積の公式

積分と面積

区間 \( a≦x≦b \) において，\( f(x) ≧ 0 \) のとき，

曲線 \( y = f(x) \) と \( x \) 軸，および2直線 \( x = a \)，\( x = b \) で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \int_a^b f(x) dx } \)

【例】

放物線 \( y = x^2 – 2x + 3 \) と \( x \) 軸および2直線 \( x = 1 \)，\( x = 3 \) で囲まれた図形の面積 \( S \)

　\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S } & = \int_1^3 \left( x^2 – 2x + 3 \right) dx \\
\\
\displaystyle & = \left[ \frac{1}{3}x^3 – x^2 + 3x \right]_1^3 \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{20}{3} }
\end{align} \)

1.2 2曲線間の面積の公式

積分と面積

区間 \( a≦x≦b \) において，\( f(x) ≧ g(x) \) のとき，

曲線 \( y = f(x) \)，\( y = g(x) \) と2直線 \( x = a \)，\( x = b \) で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \int_a^b \left\{ f(x) – g(x) \right\} dx } \)

【例】

2曲線 \( y = 2x^2 + 3x + 1 \)，\( y = -x^2 – 2x + 3 \) で囲まれた図形の面積 \( S \) を求めてみる。

放物線 \( y = 2x^2 + 3x + 1 \) と \( y = -x^2 – 2x + 3 \) の交点の \( x \) 座標は，

\( 2x^2 + 3x + 1 = -x^2 – 2x + 3 \)

\( 3x^2 + 5x – 2 = 0 \)

\( (x+2) (3x-1) = 0 \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ x = -2, \ \frac{1}{3} } \)

上の図のようになるから，求める面積 \( S \) は

　\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S } & = \int_{-2}^{\frac{1}{3}} \left\{ \left( -x^2 – 2x + 3 \right) – \left( 2x^2 + 3x + 1 \right) \right\} dx \\
\\
\displaystyle & = \int_{-2}^{\frac{1}{3}} \left( -3x^2 – 5x + 2 \right) dx \\
\\
\displaystyle & = \ – \int_{-2}^{\frac{1}{3}} (x+2) (3x-1) dx \\
\\
\displaystyle & = -3 \int_{-2}^{\frac{1}{3}} (x+2) \left( x-\frac{1}{3} \right) dx \\
\\
\displaystyle & = \color{blue}{ -3 \cdot \left( – \frac{1}{6} \right) \left\{ \frac{1}{3} – (-2) \right\}^3 } \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = \frac{343}{54} }
\end{align} \)

補足

下から3行目から2行目への変形（青字の部分の変形）は，「放物線と面積の6分の1公式」を使っています。6分の1公式については「積分の面積公式と証明（6分の1公式・接線など）」の記事で詳しく解説しているので，公式を知らない人や曖昧な人はチェックしておきましょう。

関連記事積分の面積公式と証明（6分の1公式・接線など）

以上が，基本的な積分による面積の求め方の解説です。

2. 定積分で面積が求まる理由（証明）

では、そもそもなぜ積分で面積が求まるのでしょうか？この理由を解説していきます。

\( y = f(x) \) と \( x \) 軸の間にある図形の，\( x \) 座標が \( a \) から \( x \) までの部分の面積を \( S(x) \) とします。

この \( x \) を \( h \) だけ変化させると，\( S(x) \) は

\( S(x+h) – S(x) \)

だけ変化します（図の青い斜線部分）。

この面積 \( S(x+h) – S(x) \) は，下の図の

オレンジ色の長方形の面積 \( h \times f(x) \) より大きい
赤い太枠の長方形の面積 \( h \times f(x+h) \) より小さい

ですよね。

これを不等式に表すと

\( \color{orange}{ hf(x) } < \color{blue}{ S(x+h) – S(x) } < \color{red}{ hf(x+h) } \)

両辺を \( h \) で割ると

\( \displaystyle f(x) < \frac{ S(x+h) – S(x)}{h} < f(x+h) \)

両辺を極限 \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \) をとると

\( \displaystyle f(x) < \lim_{h \to 0} \frac{ S(x+h) – S(x)}{h} < \lim_{h \to 0} f(x+h) \)

すると、不等式の右側が

\( \displaystyle \lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x) \)

となるので，不等式は

\( \displaystyle f(x) < \lim_{h \to 0} \frac{ S(x+h) – S(x)}{h} < f(x) \)

不等式の左側も右側も \( f(x) \) なので，真ん中も

\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{ S(x+h) – S(x)}{h} = f(x) \cdots ① \)

となります（これを「はさみうちの原理」といいます）。

導関数の定義より

\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{ S(x+h) – S(x)}{h} = S’(x) \)

なので，①は

\( \displaystyle \color{red}{ S’(x) = f(x) } \)

\( S(x) \) を微分すると \( f(x) \) になるということは，\( S(x) \) は \( f(x) \) の不定積分の1つであるといえます。

ここで，\( f(x) \) の任意の不定積分を \( F(x) \) とすると

\( \color{red}{ S(x) = F(x) + C } \cdots ② \) （\( C \) は定数）

②に \( x = a \) を代入すると，\( S(x) \) の意味により

\( S(a) = 0 \)

よって　\( S(a) = F(a) + C = 0 \)

∴　\( \color{red}{ C = -F(a) } \)

これを②に代入すると

\( S(x) = F(x) – F(a) \)

この式に \( x = b \) を代入すると

\( \displaystyle \color{red}{ S(b) = F(b) – F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b = \int_a^b f(x) dx } \)

以上より

\( S(b) \)，つまり \( y = f(x) \) と \( x \) 軸の間にある図形の，\( x \) 座標が \( a \) から \( b \) までの部分の面積

は，定積分

\( \displaystyle \int_a^b f(x) dx \)

と一致することが証明できました！

これが、「積分が面積になる理由」です。

3. 積分と面積まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

積分と面積まとめ

［定積分］＝［面積を求めること］
積分による面積の求め方\( \cdots \)
区間 \( a≦x≦b \) において，\( f(x) ≧ g(x) \) のとき，
曲線 \( y = f(x) \)，\( y = g(x) \) と2直線 \( x = a \)，\( x = b \) で囲まれた図形の面積 \( S \) は

\( \displaystyle \color{red}{ S = \int_a^b \left\{ f(x) – g(x) \right\} dx } \)