三角関数の合成公式(証明・問題・cos型について)

東大塾長の山田です。
このページでは、「三角関数の合成公式」について解説します

三角関数の合成公式はよく使う重要公式なので暗記する必要がありますが、本質を理解できるように、公式の導出(成り立ち)も解説しています
また一般的に、教科書で扱われているのは「sinの合成公式」だけですが、今回は「cosの合成公式」についても解説しています
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 三角関数の合成公式(sin・cos)

三角関数の合成とは、\( a \sin \theta + b \cos \theta \)(sinとcosの和)を、\( r \sin (\theta + \alpha) \) (あるいは \( r \cos (\theta – \beta) \))のように、sin(あるいはcos)だけの式に変形することです。

まずはsin(正弦)での三角関数の合成公式です。

三角関数の合成公式(sin)

\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta + \alpha ) } \)

ただし,\( \alpha \) は \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。

【例】 \( \color{red}{ \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta } \)

\( P (\sqrt{3}, \ 1) \) とすると

\( \color{red}{ \mathrm{ OP } } = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \color{red}{ = 2 } \)

OPと \( x \) 軸とのなす角は \( \displaystyle \color{red}{ \frac{\pi}{6} } \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6} \right) } \)

 

続いて、cos(余弦)での三角関数の合成公式です。

三角関数の合成公式(cos)

\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos ( \theta \ – \beta ) } \)

ただし,\( \beta \) は \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。

【例】 \( \color{red}{ \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta } \)

\( Q (1, \ \sqrt{3}) \) とすると

\( \color{red}{ \mathrm{ OQ } } = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \color{red}{ = 2 } \)

OQと \( x \) 軸とのなす角は \( \displaystyle \color{red}{ \frac{\pi}{3} } \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \cos \left( \theta \ – \frac{\pi}{3} \right) } \)

 

2. 三角関数の合成公式の証明

三角関数の合成公式はよく使う重要公式なので暗記する必要がありますが、公式の導出(成り立ち)を理解すれば、深い暗記にもつながります!

2.1 sinの合成公式の証明

sinの加法定理

\( \color{red}{ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \)

を利用して、\( a \sin \theta + b \cos \theta \) を \( r \sin (\theta + \alpha) \) の形に変形します。

【証明】

上の図のように、座標が \( (a, \ b) \) である点Pをとり、\( \mathrm{ OP } = r \) とする。
また、線分OPが \( x \) 軸の正の向きとなす角を \( \alpha \) とすると

\( r = \sqrt{a^2 + b^2}, \ a = r \cos \alpha, \ b = r \sin \alpha \)

よって

\( \begin{align}
\color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta } & = r \cos \alpha \sin \theta + r \sin \alpha \cos \theta \\
\\
& = r (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) \\
\\
& \color{red}{ = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta + \alpha) }
\end{align} \)

ただし \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\),\( \displaystyle \sin \alpha = \frac{b}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

このように、sinの加法定理を利用すると三角関数の合成公式を得られます。

 

2.2 cosの合成公式の証明

cosの合成公式の証明も、sinとほぼ同様です。

cosの加法定理

\( \color{red}{ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta \ – \sin \alpha \sin \beta } \)

を利用して、\( a \sin \theta + b \cos \theta \) を \( r \sin (\theta \ – \beta) \) の形に変形します。

【証明】

上の図のように、座標が \( (b, \ a) \) である点Qをとり、\( \mathrm{ OQ } = r \) とする。
また、線分OQが \( x \) 軸の正の向きとなす角を \( \beta \) とすると

\( r = \sqrt{b^2 + a^2}, \ b = r \cos \beta, \ a = r \sin \beta \)

よって

\( \begin{align}
\color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta } & = b \cos \theta + a \sin \theta \\
\\
& = r \cos \beta \cos \theta + r \sin \beta \sin \theta \\
\\
& = r (\cos \theta \cos \beta + \sin \theta \sin \beta) \\
\\
& \color{red}{ = \sqrt{a^2 + b^2} \cos ( \theta \ – \beta) }
\end{align} \)

ただし \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \),\( \displaystyle \cos \beta = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

このように、cosの加法定理を利用すると三角関数の合成公式を得られます。

 

3. 三角関数の合成の問題

それでは、次は具体的に三角関数の合成を利用する問題を解いてみましょう!

例題

関数 \( y = 3 \sin \theta \ – \sqrt{3} \cos \theta \)  の最大値と最小値を求めよ。

【解答】

下の図より、この関数は次のように合成される。

\( \begin{align}
\color{red}{ y } & = 3 \sin \theta \ – \sqrt{3} \cos \theta \\
\\
\displaystyle & \color{red}{ = 2 \sqrt{3} \sin \left( \theta \ – \frac{\pi}{6} \right) }
\end{align} \)

\( 0 ≦ \theta ≦ \pi \) であるから

\( \displaystyle \ – \frac{\pi}{6} ≦ \theta \ – \frac{\pi}{6} ≦ \frac{5}{6} \pi \)

よって

\( \displaystyle – \frac{1}{2} ≦ \sin \left( \theta \ – \frac{\pi}{6} \right) ≦ 1 \)

ゆえに

\( \displaystyle – \sqrt{3} ≦ 2 \sqrt{3} \sin \left( \theta \ – \frac{\pi}{6} \right) ≦ 2 \sqrt{3} \)

したがって

\( \displaystyle \theta \ – \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) すなわち
  \( \displaystyle \theta = \frac{2}{3} \pi \) で最大値 \( 2 \sqrt{3} \cdots 【答】 \)

\( \displaystyle \theta \ – \frac{\pi}{6} = \ – \frac{\pi}{6} \) すなわち
  \( \theta = 0 \) で最小値 \( – \sqrt{3} \cdots 【答】 \)

 

4. 三角関数の合成公式まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

三角関数の合成公式まとめ

【三角関数の合成公式(sin)】

\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta + \alpha ) } \)

ただし,\( \alpha \) は \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。

 

【三角関数の合成公式(cos)】

\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos ( \theta \ – \beta ) } \)

ただし,\( \beta \) は \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。

三角関数の合成公式はよく使う重要公式なので、本質を理解したうえで必ず暗記しておきましょう!

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