変曲点に関する知識まとめ（意味・求め方・法則）

【例】$f(x)=x^4$

について

$\begin{cases}f'(x)=4x^3 \\f”(x)=12x^2\end{cases}$

となり変曲点の候補としては$x=0$がありますが、二階微分$f”(x)=12x^2>0$なため、符号変化が起こりません。よって$x=0$は変曲点になりえません。

【証明】

任意の三次関数は

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

と書くことができます。（$a≠0$）

このとき、

$\begin{cases}f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f”(x)=6ax+2b\end{cases}$

であり、$f”(x)=0$を解くと、$x=-\displaystyle\frac{b}{3a}$が得られ、この点は一意に定まり、二階微分の符号が変わる点のため変曲点であることが分かります。

【方針】変曲点に関して点対称という性質は、曲線を平行移動させても不変です。よって変曲点が原点にくるように平行移動させて、対称性を考えやすくしましょう。

【解答】

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$について考えていきます。

$\begin{cases}f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b\end{cases}$

よって$f”(x)=0$とすると、$x=-\displaystyle\frac{b}{3a}$

よって変曲点は

$\left(-\displaystyle\frac{b}{3 a}, \displaystyle\frac{2 b^{3}}{27 a^{2}}-\displaystyle\frac{b c}{3 a}+d\right)$

ここで、変曲点が原点に移動するように平行移動させた式は

$y+\left(\displaystyle\frac{2 b^{3}}{27 a^{2}}-\displaystyle\frac{b^2}{3 a}+d\right)=a\left(x-\displaystyle\frac{b}{3 a}\right)^{3}+b\left(x-\displaystyle\frac{b}{3 a}\right)^{2}+c\left(x-\displaystyle\frac{b}{3 a}\right)+d$

これを整理すると

$y=y=a x^{3}+\left(c-\displaystyle\frac{b^{2}}{3 a}\right) x≡g(x)$

となります。この関数を$g(x)$と置きました。

このとき

$\begin{aligned}g(-x)&=a(-x)^{3}+\left(c-\frac{b^{2}}{3 a}\right)(-x)\\&=-a x^{3}-\left(c-\frac{b^{2}}{3 a}\right) x\\&=-g(x)\end{aligned}$

$g(-x)=-g(x)$より、$y=g(x)$は奇関数となり原点対称です。よって$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は変曲点に関して点対称です。（証明終了）

【証明】

$y=px+q$と三次関数$y=ax^3+bx^2+cx+d$の交点の$x$座標は三次方程式

$px+q=ax^3+bx^2+cx+d$

の解となります。この方程式の三つの解を$\alpha,\beta, \gamma$とすると、解と係数の関係より

$\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}$

となります。これは$p, q$に依存しないため、交点の$x$座標の和$S$は直線に依らないということが分かりました。

また、変曲点を通る直線を考えると、先ほど示した「三次関数は変曲点について点対称」という性質を用いると

$S=3C$

となります。

また、極小点を通り$x$軸に平行な直線について考えると、

$A+2D=3C$

となります。これは、CがAとDを$2:1$に内分する点であることを意味しています。

よって変曲点に関して点対称であることを考えると、ABCDEが等間隔で並んでいることが分かります。（証明終了）