変曲点に関する知識まとめ（意味・求め方・法則）

【例】\(f(x)=x^4\)

について

\(\begin{cases}f'(x)=4x^3 \\f”(x)=12x^2\end{cases}\)

となり変曲点の候補としては\(x=0\)がありますが、二階微分\(f”(x)=12x^2>0\)なため、符号変化が起こりません。よって\(x=0\)は変曲点になりえません。

【証明】

任意の三次関数は

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

と書くことができます。（\(a≠0\)）

このとき、

\(\begin{cases}f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f”(x)=6ax+2b\end{cases}\)

であり、\(f”(x)=0\)を解くと、\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}\)が得られ、この点は一意に定まり、二階微分の符号が変わる点のため変曲点であることが分かります。

【方針】変曲点に関して点対称という性質は、曲線を平行移動させても不変です。よって変曲点が原点にくるように平行移動させて、対称性を考えやすくしましょう。

【解答】

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)について考えていきます。

\(\begin{cases}f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f^{\prime \prime}(x)=6 a x+2 b\end{cases}\)

よって\(f”(x)=0\)とすると、\(x=-\displaystyle\frac{b}{3a}\)

よって変曲点は

\(\left(-\displaystyle\frac{b}{3 a}, \displaystyle\frac{2 b^{3}}{27 a^{2}}-\displaystyle\frac{b c}{3 a}+d\right)\)

ここで、変曲点が原点に移動するように平行移動させた式は

\(y+\left(\displaystyle\frac{2 b^{3}}{27 a^{2}}-\displaystyle\frac{b^2}{3 a}+d\right)=a\left(x-\displaystyle\frac{b}{3 a}\right)^{3}+b\left(x-\displaystyle\frac{b}{3 a}\right)^{2}+c\left(x-\displaystyle\frac{b}{3 a}\right)+d\)

これを整理すると

\(y=y=a x^{3}+\left(c-\displaystyle\frac{b^{2}}{3 a}\right) x≡g(x)\)

となります。この関数を\(g(x)\)と置きました。

このとき

\(\begin{aligned}g(-x)&=a(-x)^{3}+\left(c-\frac{b^{2}}{3 a}\right)(-x)\\&=-a x^{3}-\left(c-\frac{b^{2}}{3 a}\right) x\\&=-g(x)\end{aligned}\)

\(g(-x)=-g(x)\)より、\(y=g(x)\)は奇関数となり原点対称です。よって\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)は変曲点に関して点対称です。（証明終了）

【証明】

\(y=px+q\)と三次関数\(y=ax^3+bx^2+cx+d\)の交点の\(x\)座標は三次方程式

\(px+q=ax^3+bx^2+cx+d\)

の解となります。この方程式の三つの解を\(\alpha,\beta, \gamma \)とすると、解と係数の関係より

\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)

となります。これは\(p, q\)に依存しないため、交点の\(x\)座標の和\(S\)は直線に依らないということが分かりました。

また、変曲点を通る直線を考えると、先ほど示した「三次関数は変曲点について点対称」という性質を用いると

\(S=3C\)

となります。

また、極小点を通り\(x\)軸に平行な直線について考えると、

\(A+2D=3C\)

となります。これは、CがAとDを\(2:1\)に内分する点であることを意味しています。

よって変曲点に関して点対称であることを考えると、ABCDEが等間隔で並んでいることが分かります。（証明終了）