曲線の長さを求める積分公式

【解答】

(1)　\(x=\sin^3 t,\quad y=\cos^3 t\)（\(0≦t≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\)）

媒介変数表示の公式を適用すると

\(\begin{aligned}L&=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\\&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(3\sin^2 t \cos t\right)^2+\left(-3\cos^2 t\sin t\right)^2} dt\\&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9\sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t +\sin^2 t)} dt\\&=3\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t \cos t| dt\\&=3\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt\\&=\frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2t dt\\&=\frac{3}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\&=\frac{3}{2}\end{aligned}\)

となります。

(2)　\(y=\displaystyle\frac{e^x +e^{-x}}{2}\)（\(0≦x≦1\)）

陽関数表示の公式を適用すると

\(\begin{aligned}L&=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx\\&=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2} dx\\&=\int_0^1 \sqrt{\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2} dx\\&=\int_0^1 \frac{e^x+e^{-x}}{2} dx\\&=\frac{1}{2}\left[e^x-e^{-x}\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)\end{aligned}\)

となります。

(3)　\(r=1+\cos \theta\)（\(0≦\theta ≦\pi\)）

極座標表示の公式を適用すると

\(\begin{aligned}L&=\displaystyle\int_0^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta\\&=\int_0^{\pi}\sqrt{(1+\cos\theta)^2+(-\sin\theta)^2}\\&=\int_0^{\pi}\sqrt{2(1+\cos\theta)} d\theta\\&=2\int_0^{\pi}\sqrt{\cos^2\frac{\theta}{2}} d\theta\\&=2\int_0^{\pi}\left|\cos\frac{\theta}{2}\right| d\theta\\&=2\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}d\theta\\&=2\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^\pi =4\end{aligned}\)

となります。

【証明】媒介変数表示において

媒介変数が\(t\)から\(t+\Delta t\)に変化するときの、\(x, y\)の増加量を\(\Delta x, \Delta y\)とします。その部分の曲線の長さは、線分の長さで近似することができ（上図オレンジ線）その長さは

\(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\Delta t\)

曲線の長さは折れ線の長さの合計で近似できるから

\(L≒\displaystyle\sum\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}\Delta t\)

ここで、\(\Delta t \to 0\)としたものが、曲線の長さになるから極限を取ってみると、右辺のルートの中身は微分の定義より、\(\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2\)となり、積分の定義より、

\(L=\displaystyle\int_\alpha ^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt\)

となります。（証明終）

【証明】陽関数表示において

上記の公式に、\(x=t, y=f(t)\)と媒介変数表示された曲線を適用すればよく、

\(L=\displaystyle\int_\alpha ^\beta \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx\)

【証明】極座標表示において

\(x=\cos\theta =f(\theta)\cos\theta, y=r\sin\theta =f(\theta)\sin\theta\)であり、

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{df(\theta)}{d\theta}\cos\theta -f(\theta)\sin\theta\\\displaystyle\frac{dy}{d\theta}=\displaystyle\frac{df(\theta)}{d\theta}\sin\theta +f(\theta)\cos\theta\end{cases}\)

これを上記公式に適用すると、

\(\begin{aligned}L&=\displaystyle\int_\alpha ^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta \\&=\displaystyle\int_\alpha ^\beta \sqrt{\left(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\sin\theta +r\cos\theta\right)^2} dt \\&=\int_\alpha ^\beta\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\right)^2 (\cos^2\theta +\sin^2 \theta)+r^2(\cos^2\theta +\sin^2 \theta)}d\theta\\&=\int_\alpha ^\beta\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2} d\theta\end{aligned}\)

となります。