東大塾長の山田です。
このページでは、「双曲線」について解説します。
今回は双曲線の基本事項（焦点・方程式・漸近線）から接線の公式とその導出，媒介変数表示まですべて解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 双曲線の定義と方程式
まずは双曲線の定義と方程式について解説していきます。
1.1 双曲線の定義
数学では，双曲線は次のように定義されています。
「2定点F，F’からの距離の差が一定である点Pの軌跡」を 双曲線 という。
また，点F，F’を 焦点 という。
楕円が「2焦点からの距離の和」だったのに対し，双曲線は「2焦点からの距離の差」となります。
1.2 双曲線の方程式［標準形］
まずは双曲線の方程式と性質をまとめます。
双曲線 \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \) \( （a>0, b>0） \)［標準形］
- 中心：原点，頂点：2点 \( (a, \ 0)\)，\( (-a, \ 0) \)
- 焦点：\( F(c, \ 0) \)，\( F’(-c, \ 0) \)\( \displaystyle （c = \sqrt{a^2 + b^2}） \)
- 双曲線は \( x \) 軸，\( y \) 軸，原点に関して対称
- 漸近線：2直線 \( \displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0 \)，\( \displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \)
\( \displaystyle \left( あるいは \ \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right) \) - 双曲線の任意の点Pから2つの焦点までの距離の差は一定\( （|PF – PF’| = 2a） \)
上図のように，\( F(c, \ 0) \)，\( F’(-c, \ 0) \) を焦点とします。
双曲線上の点を \( P(x, \ y) \) とすると，\( |PF – PF’| = 2a \) より
\( PF – PF’ = \pm 2a \)
\( \displaystyle \sqrt{(x-c)^2 + y^2} – \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \pm 2a \)
\( \displaystyle ∴ \ \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \)
両辺を2乗して
\( \displaystyle (x-c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2 \)
これを整理すると
\( \displaystyle -a^2 – cx = \pm a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \)
さらに両辺を2乗して整理すると
\( \displaystyle (c^2 – a^2)x^2 – a^2 y^2 = a^2 (c^2 – a^2) \)
\( c>a>0 \) であるから，\( \displaystyle \sqrt{c^2 – a^2} = b \) とおくと
\( \displaystyle b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 \)
両辺を \( a^2 b^2 \) で割ると
\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \cdots ① \)
が導かれます。
この①式を，双曲線の方程式の 標準形 といいます。
双曲線①と \( x \) 軸との2つの交点 \( A(a, \ 0) \)，\( A’(-a, \ 0) \) を双曲線の 頂点 といい，直線AA’を 主軸 といいます。
また，\( \displaystyle \sqrt{c^2 – a^2} = b \) と \( c>0 \) より，\( \displaystyle \color{red}{ c = \sqrt{a^2 + b^2} } \) となります。
1.3 双曲線の漸近線
続いて，漸近線について詳しく解説していきます。
双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ① \) について，\( |x| \) の値が大きくなるときについて考えます。
第1象限に関して，①を \( y \) について解くと
\( \displaystyle y = \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \)
また
\( \displaystyle \frac{b}{a} x > \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \cdots ② \)
であるから，曲線は直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \) より下にあります。
②の左辺から右辺を引いた差を \( d \) とすると
\( \begin{align}
\displaystyle d & = \frac{b}{a} x \ – \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \\
\\
& = \frac{b}{a} \left( x \ – \sqrt{ x^2 – a^2 } \right) \\
\\
& = \frac{\left( x – \sqrt{ x^2 – a^2 } \right) \left( x + \sqrt{ x^2 – a^2 } \right)}{a \left( x + \sqrt{ x^2 – a^2 } \right)} \\
\\
& = \frac{ab}{x + \sqrt{ x^2 – a^2 }}
\end{align} \)
この \( x \) を限りなく大きくすると，分母は限りなく大きくなるため，\( d \) は限りなく \( 0 \) に近づきます。
したがって，第1象限の双曲線上の点 \( (x, \ y) \) は，原点から遠ざかるにつれ，限りなく直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \) に近づくことになります。
双曲線①の対称性から，第3象限第3象限上の点 \( (x, \ y) \) は，\( |x| \) が限りなく大きくすると，直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \) に限りなく近づきます。
第2，第4象限においては，直線 \( \displaystyle y = – \frac{b}{a} x \) に限りなく近づきます。
これらの2直線 \( \displaystyle \color{red}{ y = \frac{b}{a} x } \)，\( \displaystyle \color{red}{ y = – \frac{b}{a} x } \) を，双曲線①の 漸近線 といいます。
2直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \)，\( \displaystyle y = – \frac{b}{a} x \) を変形した式
\( \displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0 \)， \( \displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \)
で表す場合もあります。
双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の漸近線は
\( \displaystyle \color{red}{ y = \frac{b}{a} x } \)， \( \displaystyle \color{red}{ y = – \frac{b}{a} x } \)
\( \displaystyle \left( \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right) \)
1.4 双曲線の例題
ここで、ここまでの内容の確認として，双曲線の基本問題をやってみましょう。
双曲線 \( 9x^2 – 16y^2 = 144 \) の頂点と焦点，漸近線を求めよ。
【解答】
双曲線の式 \( 9x^2 – 16y^2 = 144 \) の両辺を144で割って，「＝1」の形（標準形）に直すと
\( \displaystyle \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \ \Leftrightarrow \ \color{red}{ \frac{x^2}{4^2} – \frac{y^2}{3^2} = 1 } \)
よって，頂点は \( (4, \ 0) , \ (-4, \ 0) \color{red}{ \cdots 【答】 } \)
\( \displaystyle \sqrt{ 4^2 + 3^2 } = 5 \) より，
焦点は \( (5, \ 0) , \ (-5, \ 0) \color{red}{ \cdots 【答】 } \)
漸近線は，2直線 \( \displaystyle y = \frac{3}{4} x, \ y = – \frac{3}{4} x \color{red}{ \cdots 【答】 } \)
（または，2直線 \( \displaystyle \frac{x}{4} – \frac{y}{3} = 0, \ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 0 \)）
【補足】
漸近線の答え方は，2直線 \( \displaystyle \color{red}{ y = \pm \frac{3}{4} x } \) \( \displaystyle \left( あるいは \ \color{red}{ \frac{x}{4} \pm \frac{y}{3} = 0 } \right) \) と答えてもOKです。
1.5 焦点がy軸上にある双曲線
ここまで解説してきた標準形の双曲線は，焦点が \( x \) 軸上にありました。
焦点が \( y \) 軸上にある双曲線の方程式についても，ここまでの解説と同様に考えると求めることができます。
焦点が \( y \) 軸上にある双曲線 \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 } \) \( （a>0, b>0） \)
- 中心：原点，頂点：2点 \( (0, \ b)\)，\( (0, \ -b) \)
- 焦点：\( F(0, \ c) \)，\( F’(0, \ -c) \)\( \displaystyle （c = \sqrt{a^2 + b^2}） \)
- 双曲線は \( x \) 軸，\( y \) 軸，原点に関して対称
- 漸近線：2直線 \( \displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0 \)，\( \displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \)
\( \displaystyle \left( あるいは \ \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right) \) - 双曲線の任意の点Pから2つの焦点までの距離の差は一定\( （|PF – PF’| = 2b） \)
焦点が \( y \) 軸上にある双曲線は，双曲線の標準形①式の \( x \) と \( y \) を入れ替えたものです。
2. 双曲線の接線
続いて，双曲線の接線の公式について解説していきます。
2.1 双曲線の接線の公式
双曲線上の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は
\( \displaystyle ① \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ \color{red}{ \rightarrow \ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)
\( \displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \ \color{red}{ \rightarrow \ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = -1 } \)
なぜこのような式になるのか，次のセクションで証明します。
証明は「判別式の利用」と「微分の利用（数Ⅲ）」の2通りで証明することができます。
（証明は①の場合のみやっていきます。②は符号が変わるだけです。）
2.2 双曲線の接線公式の証明①（判別式の利用）
双曲線と直線が接するということは，双曲線と直線の連立方程式から \( x \) だけの2次方程式を導き，その方程式の判別式が \( D = 0 \) となればよいわけです。
これを利用して，接線の方程式を導きます。
【証明】
双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ① \) の，傾き \( m \) の接線の方程式を
\( y = mx + n \cdots ② \)
とし，接点の座標を \( (x_1, \ y_1) \) とする。
②を①に代入して，\( x \) について整理すると
\( \displaystyle (b^2 – a^2 m^2) x^2 – 2a^2 mnx – ( a^2 n^2 + a^2 b^2 ) = 0 \cdots ③ \)
②の直線が①の放物線に接する条件は，③の2次方程式の判別式 \( D \) が \( D = 0 \) のときであるから
\( \displaystyle \frac{D}{4} = (a^2 mn)^2 + (b^2 – a^2 m^2) (a^2 n^2 + a^2 b^2) = 0 \)
\( \displaystyle ∴ \ a^2 b^4 – a^4 b^2 m^2 = – a^2 b^2 n^2 \)
両辺を \( a^2 b^2 \) で割って
\( b^2 – a^2 m^2 = – n^2 \cdots ④ \)
このとき，③の解（重解）は
\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{b^2 – a^2 m^2} \)
これに④を代入すると
\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{n^2} = – \frac{a^2 m}{n} \cdots ⑤ \)
⑤を②に代入すると
\( \begin{align}
\displaystyle y_1 & = mx_1 + n \\
\\
& = – \frac{a^2 m^2}{n} + n \\
\\
& = \frac{n^2 – a^2 m^2}{n}
\end{align} \)
これに④を代入すると
\( \displaystyle y_１＝- \frac{b^2}{n} \)
よって，\( y_1 \neq 0 \) のとき
\( \displaystyle n = – \frac{b^2}{y_1} \)
これを⑤に代入すると
\( \displaystyle x_1 = \frac{a^2 m y_1}{b^2} \)
\( \displaystyle ∴ \ m = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \)
\( \displaystyle m = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \)，\( \displaystyle n = – \frac{b^2}{y_1} \) を②に代入して
\( \displaystyle y = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} x – \frac{b^2}{y_1} \)
これを整理すると，接線の方程式は
\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)
さらに，\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = \pm a \) であり，接線の方程式は \( x = \pm a \) となるので，\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。
双曲線の式が \( \displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \) の場合についても，同様に証明することができます。
2.3 双曲線の接線公式の証明②（微分の利用）
接線の公式は，数Ⅲで学習する微分を利用しても証明することができます。
【証明】
双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式を求める。
この接線の方程式は
\( \color{red}{ y \ – y_1 = y’ (x \ – x_1) } \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の両辺を \( x \) について微分すると
\( \displaystyle \frac{2x}{a^2} – \frac{2y}{b^2} \cdot y’ = 0 \)
ゆえに，\( y \neq 0 \) のとき \( \displaystyle y’ = \frac{b^2 x}{a^2 y} \)
よって，点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は，\( y_1 \neq 0 \) のとき
\( \displaystyle \color{red}{ y \ – y_1 = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x \ – x_1) } \)
両辺に \( \displaystyle \frac{y_1}{b^2} \) を掛けて
\( \displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{{x_1}^2}{a^2} – \frac{{y_1}^2}{b^2} \cdots ①\)
点 \( (x_1, \ y_1) \) は双曲線上の点であるから
\( \displaystyle \frac{{x_1}^2}{a^2} – \frac{{y_1}^2}{b^2} = 1 \cdots ② \)
よって，①に②を代入して，接線の方程式は
\( \displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 \)
さらに，\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = \pm a \) であり，接線の方程式は \( x = \pm a \) となるので，\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。
したがって，双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は
\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)
双曲線の式が \( \displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \) の場合についても，同様に証明することができます。
3. 双曲線の媒介変数表示
双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の媒介変数表示は
\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x = \frac{a}{\cos \theta} \\
\\
\displaystyle y = b \tan \theta
\end{cases} } \)
双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \) の媒介変数表示は
\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x =a \tan \theta \\
\displaystyle y = \frac{b}{\cos \theta}
\end{cases} } \)
三角関数の相互関係より \( \displaystyle \tan ^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \)
\( \displaystyle ∴ \ \frac{1}{\cos ^2 \theta} – \tan ^2 \theta = 1 \)
この式に着目して，\( \displaystyle \frac{1}{\cos \theta} = x \)，\( \displaystyle \frac{y}{b} = \tan \theta \) とおくと，点 \( \displaystyle P \left( \frac{a}{\cos \theta}, \ b \tan \theta \right) \) は双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 上を動く点を表すことがわかります。
ちなみに，\( \theta \) は，下の図のように，双曲線上の点を \( P(x, \ y) \) から，\( x \) 軸に垂線PHを下ろし，このHから，Oを中心・半径を \( a \) とする円に接線を引いたときの接点をTとし，この動径OTの表す角が \( \theta \) となります。
ある曲線の式の \( x \) と \( y \) を，それぞれ変数 \( t \) の関数として表すことを 媒介変数表示（またはパラメータ表示）といいます。
また，\( t \) を 媒介変数（またはパラメータ）といいます。
4. 双曲線の知識まとめ
さいごに，今回の内容をもう一度整理します。
【焦点が \( x \) 軸上にある双曲線】
・方程式： \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \)
・接線公式： \( \displaystyle \ \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)
・媒介変数表示：\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x = \frac{a}{\cos \theta} \\
\\
\displaystyle y = b \tan \theta
\end{cases} } \)
【焦点が \( y \) 軸上にある双曲線】
・方程式： \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 } \)
・接線公式： \( \displaystyle \ \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = -1 } \)
・媒介変数表示：\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x =a \tan \theta \\
\displaystyle y = \frac{b}{\cos \theta}
\end{cases} } \)
以上が双曲線の解説です！
双曲線の媒介変数表示ですが 図形におけるｂはどの部分になるのでしょうか ？
直線x=aと双曲線の漸近線の第1象限での交点のy座標です.
イメージとしては、4点(±a,±b)(複号任意)を頂点とする長方形があり、この長方形の対角線を延ばした直線が漸近線で２頂点がちょうど(±a,0)で長方形に接するような双曲線が(x/a)²-(y/b)²=1…(※)と認識しておくといいと思います.(絵を描いてみるとわかりやすい)
また、(※)は直角双曲線x²-y²=1…(※※)(a=b=1の場合)をx軸方向にa倍、y軸方向にb 倍に拡大または縮小(操作P)したものですので、(※※)における媒介変数表示を図形的に考えて(1/cos θ,tanθ)の対応を理解しておけば、あとはそれを操作Pにより拡大または縮小するだけで(※)は得られますのでイメージし易いかと思います.
双曲線の知識まとめ
【焦点が 軸上にある双曲線】のところで、接線公式に誤記があるようです。
＋ → −