双曲線の知識まとめ(焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式)

東大塾長の山田です。
このページでは、双曲線」について解説します

今回は双曲線基本事項(焦点・方程式・漸近線)から接線の公式とその導出,媒介変数表示まですべて解説していきます
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 双曲線の定義と方程式

まずは双曲線の定義と方程式について解説していきます。

1.1 双曲線の定義

数学では,双曲線は次のように定義されています。

放物線の定義

「2定点F,Fからの距離のが一定である点Pの軌跡」を 双曲線 という。
また,点F,F’を 焦点 という。

楕円が「2焦点からの距離の」だったのに対し,双曲線は「2焦点からの距離の」となります。

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2019年3月9日

 

1.2 双曲線の方程式[標準形]

まずは双曲線の方程式と性質をまとめます。

双曲線の方程式と基本事項

双曲線 \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \) \( (a>0, b>0) \)[標準形]

  1. 中心:原点,頂点:2点 \( (a, \ 0)\),\( (-a, \ 0) \)
  2. 焦点:\( F(c, \ 0) \),\( F’(-c, \ 0) \)\( \displaystyle (c = \sqrt{a^2 + b^2}) \)
  3. 双曲線は \( x \) 軸,\( y \) 軸,原点に関して対称
  4. 漸近線:2直線 \( \displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0 \),\( \displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \)
    \( \displaystyle \left( あるいは \ \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right) \)
  5. 双曲線の任意の点Pから2つの焦点までの距離の差は一定\( (|PF – PF’| = 2a) \)

上図のように,\( F(c, \ 0) \),\( F’(-c, \ 0) \) を焦点とします。

双曲線上の点を \( P(x, \ y) \) とすると,\( |PF – PF’| = 2a \) より

\( PF – PF’ = \pm 2a \)

\( \displaystyle \sqrt{(x-c)^2 + y^2} – \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = \pm 2a \)

\( \displaystyle ∴ \ \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \)

両辺を2乗して

\( \displaystyle (x-c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + y^2 \)

これを整理すると

\( \displaystyle -a^2 – cx = \pm a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} \)

さらに両辺を2乗して整理すると

\( \displaystyle (c^2 – a^2)x^2 – a^2 y^2 = a^2 (c^2 – a^2) \)

\( c>a>0 \) であるから,\( \displaystyle \sqrt{c^2 – a^2} = b \) とおくと

\( \displaystyle b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2 \)

両辺を \( a^2 b^2 \) で割ると

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \cdots ① \)

が導かれます。

この①式を,双曲線の方程式の 標準形 といいます。

双曲線①と \( x \) 軸との2つの交点 \( A(a, \ 0) \),\( A’(-a, \ 0) \) を双曲線の 頂点 といい,直線AA’を 主軸 といいます。

また,\( \displaystyle \sqrt{c^2 – a^2} = b \) と \( c>0 \) より,\( \displaystyle \color{red}{ c = \sqrt{a^2 + b^2} } \) となります。

 

1.3 双曲線の漸近線

続いて,漸近線について詳しく解説していきます。

双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ① \) について,\( |x| \) の値が大きくなるときについて考えます。

第1象限に関して,①を \( y \) について解くと

\( \displaystyle y = \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \)

また

\( \displaystyle \frac{b}{a} x > \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \cdots ② \)

であるから,曲線は直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \) より下にあります。

②の左辺から右辺を引いた差を \( d \) とすると

\( \begin{align}
\displaystyle d & = \frac{b}{a} x \ – \frac{b}{a} \sqrt{ x^2 – a^2 } \\
\\
& = \frac{b}{a} \left( x \ – \sqrt{ x^2 – a^2 } \right) \\
\\
& = \frac{\left( x – \sqrt{ x^2 – a^2 } \right) \left( x + \sqrt{ x^2 – a^2 } \right)}{a \left( x + \sqrt{ x^2 – a^2 } \right)} \\
\\
& = \frac{ab}{x + \sqrt{ x^2 – a^2 }}
\end{align} \)

この \( x \) を限りなく大きくすると,分母は限りなく大きくなるため,\( d \) は限りなく \( 0 \) に近づきます。

したがって,第1象限の双曲線上の点 \( (x, \ y) \) は,原点から遠ざかるにつれ,限りなく直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \) に近づくことになります。

双曲線①の対称性から,第3象限第3象限上の点 \( (x, \ y) \) は,\( |x| \) が限りなく大きくすると,直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \) に限りなく近づきます。

第2,第4象限においては,直線 \( \displaystyle y = – \frac{b}{a} x \) に限りなく近づきます。

これらの2直線 \( \displaystyle \color{red}{ y = \frac{b}{a} x } \),\( \displaystyle \color{red}{ y = – \frac{b}{a} x } \) を,双曲線①の 漸近線 といいます。

2直線 \( \displaystyle y = \frac{b}{a} x \),\( \displaystyle y = – \frac{b}{a} x \) を変形した式

\( \displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0 \), \( \displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \)

で表す場合もあります。

双曲線の漸近線

双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の漸近線は

\( \displaystyle \color{red}{ y = \frac{b}{a} x } \), \( \displaystyle \color{red}{ y = – \frac{b}{a} x } \)

\( \displaystyle \left( \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right) \)

 

1.4 双曲線の例題

ここで、ここまでの内容の確認として,双曲線の基本問題をやってみましょう。

例題

双曲線 \( 9x^2 – 16y^2 = 144 \) の頂点と焦点,漸近線を求めよ。

【解答】

双曲線の式 \( 9x^2 – 16y^2 = 144 \) の両辺を144で割って,「=1」の形(標準形)に直すと

\( \displaystyle \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \ \Leftrightarrow \ \color{red}{ \frac{x^2}{4^2} – \frac{y^2}{3^2} = 1 } \)

よって,頂点は \( (4, \ 0) , \ (-4, \ 0) \color{red}{ \cdots 【答】 } \)

\( \displaystyle \sqrt{ 4^2 + 3^2 } = 5 \) より,

焦点は \( (5, \ 0) , \ (-5, \ 0) \color{red}{ \cdots 【答】 } \)

漸近線は,2直線 \( \displaystyle y = \frac{3}{4} x, \ y = – \frac{3}{4} x \color{red}{ \cdots 【答】 } \)

(または,2直線 \( \displaystyle \frac{x}{4} – \frac{y}{3} = 0, \ \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 0 \))

【補足】

漸近線の答え方は,2直線 \( \displaystyle \color{red}{ y = \pm \frac{3}{4} x } \) \( \displaystyle \left( あるいは \ \color{red}{ \frac{x}{4} \pm \frac{y}{3} = 0 } \right) \) と答えてもOKです。

 

1.5 焦点がy軸上にある双曲線

ここまで解説してきた標準形の双曲線は,焦点が \( x \) 軸上にありました。

焦点が \( y \) 軸上にある双曲線の方程式についても,ここまでの解説と同様に考えると求めることができます。

焦点がy軸上にある双曲線

焦点が \( y \) 軸上にある双曲線 \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 } \) \( (a>0, b>0) \)

  1. 中心:原点,頂点:2点 \( (0, \ b)\),\( (0, \ -b) \)
  2. 焦点:\( F(0, \ c) \),\( F’(0, \ -c) \)\( \displaystyle (c = \sqrt{a^2 + b^2}) \)
  3. 双曲線は \( x \) 軸,\( y \) 軸,原点に関して対称
  4. 漸近線:2直線 \( \displaystyle \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0 \),\( \displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \)
    \( \displaystyle \left( あるいは \ \frac{x}{a} – \frac{y}{b} = 0, \ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \right) \)
  5. 双曲線の任意の点Pから2つの焦点までの距離の差は一定\( (|PF – PF’| = 2b) \)

焦点が \( y \) 軸上にある双曲線は,双曲線の標準形①式の \( x \) と \( y \) を入れ替えたものです。

 

2. 双曲線の接線

続いて,双曲線の接線の公式について解説していきます。

2.1 双曲線の接線の公式

双曲線の接線の方程式

双曲線上の点 \( x_1, \ y_1 \) における接線の方程式は

\( \displaystyle ① \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ \color{red}{ \rightarrow \ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)

\( \displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \ \color{red}{ \rightarrow \ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = -1 } \)

なぜこのような式になるのか,次のセクションで証明します。
証明は「判別式の利用」「微分の利用(数Ⅲ)」の2通りで証明することができます。
(証明は①の場合のみやっていきます。②は符号が変わるだけです。)

 

2.2 双曲線の接線公式の証明①(判別式の利用)

双曲線と直線が接するということは,双曲線と直線の連立方程式から \( x \) だけの2次方程式を導き,その方程式の判別式が \( D = 0 \) となればよいわけです
これを利用して,接線の方程式を導きます。

【証明】

双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \cdots ① \) の,傾き \( m \) の接線の方程式を

\( y = mx + n \cdots ② \)

とし,接点の座標を \( (x_1, \ y_1) \) とする。

②を①に代入して,\( x \) について整理すると

\( \displaystyle (b^2 – a^2 m^2) x^2 – 2a^2 mnx – ( a^2 n^2 + a^2 b^2 ) = 0 \cdots ③ \)

②の直線が①の放物線に接する条件は,③の2次方程式の判別式 \( D \) が \( D = 0 \) のときであるから

\( \displaystyle \frac{D}{4} = (a^2 mn)^2 + (b^2 – a^2 m^2) (a^2 n^2 + a^2 b^2) = 0 \)

\( \displaystyle ∴ \ a^2 b^4 – a^4 b^2 m^2 = – a^2 b^2 n^2 \)

両辺を \( a^2 b^2 \) で割って

\( b^2 – a^2 m^2 = – n^2 \cdots ④ \)

このとき,③の解(重解)は

\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{b^2 – a^2 m^2} \)

これに④を代入すると

\( \displaystyle x_1 = – \frac{a^2 mn}{n^2} = – \frac{a^2 m}{n} \cdots ⑤ \)

⑤を②に代入すると

\( \begin{align}
\displaystyle y_1 & = mx_1 + n \\
\\
& = – \frac{a^2 m^2}{n} + n \\
\\
& = \frac{n^2 – a^2 m^2}{n}
\end{align} \)

これに④を代入すると

\( \displaystyle y_1=- \frac{b^2}{n} \)

よって,\( y_1 \neq 0 \) のとき

\( \displaystyle n = – \frac{b^2}{y_1} \)

これを⑤に代入すると

\( \displaystyle x_1 = \frac{a^2 m y_1}{b^2} \)

\( \displaystyle ∴ \ m = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \)

\( \displaystyle m = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} \),\( \displaystyle n = – \frac{b^2}{y_1} \) を②に代入して

\( \displaystyle y = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} x – \frac{b^2}{y_1} \)

これを整理すると,接線の方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)

さらに,\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = \pm a \) であり,接線の方程式は \( x = \pm a \) となるので,\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。

双曲線の式が \( \displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \) の場合についても,同様に証明することができます。

 

2.3 双曲線の接線公式の証明②(微分の利用)

接線の公式は,数Ⅲで学習する微分を利用しても証明することができます。

【証明】

双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式を求める。

この接線の方程式は

\( \color{red}{ y \ – y_1 = y’ (x \ – x_1) } \)

\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の両辺を \( x \) について微分すると

\( \displaystyle \frac{2x}{a^2} – \frac{2y}{b^2} \cdot y’ = 0 \)

ゆえに,\( y \neq 0 \) のとき \( \displaystyle y’ = \frac{b^2 x}{a^2 y} \)

よって,点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は,\( y_1 \neq 0 \) のとき

\( \displaystyle \color{red}{ y \ – y_1 = \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x \ – x_1) } \)

両辺に \( \displaystyle \frac{y_1}{b^2} \) を掛けて

\( \displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{{x_1}^2}{a^2} – \frac{{y_1}^2}{b^2} \cdots ①\)

点 \( (x_1, \ y_1) \) は双曲線上の点であるから

\( \displaystyle \frac{{x_1}^2}{a^2} – \frac{{y_1}^2}{b^2} = 1 \cdots ② \)

よって,①に②を代入して,接線の方程式は

\( \displaystyle \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 \)

さらに,\( y_1 = 0 \) のとき \( x_1 = \pm a \) であり,接線の方程式は \( x = \pm a \) となるので,\( y_1 = 0 \) のときも成り立つ。

したがって,双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の点 \( (x_1, \ y_1) \) における接線の方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)

双曲線の式が \( \displaystyle ② \ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \) の場合についても,同様に証明することができます。

 

3. 双曲線の媒介変数表示

双曲線の媒介変数表示

双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) の媒介変数表示は

\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x = \frac{a}{\cos \theta} \\
\\
\displaystyle y = b \tan \theta
\end{cases} } \)

双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 \) の媒介変数表示は

\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x =a \tan \theta \\
\displaystyle y = \frac{b}{\cos \theta}
\end{cases} } \)

三角関数の相互関係より \( \displaystyle \tan ^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos ^2 \theta} \)

\( \displaystyle ∴ \ \frac{1}{\cos ^2 \theta} – \tan ^2 \theta = 1 \)

この式に着目して,\( \displaystyle \frac{1}{\cos \theta} = x \),\( \displaystyle \frac{y}{b} = \tan \theta \) とおくと,点 \( \displaystyle P \left( \frac{a}{\cos \theta}, \ b \tan \theta \right) \) は双曲線 \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 上を動く点を表すことがわかります。

【数学Ⅱ】三角関数の公式まとめ(加法定理・変換・合成)

2019年1月15日

ちなみに,\( \theta \) は,下の図のように,双曲線上の点を \( P(x, \ y) \) から,\( x \) 軸に垂線PHを下ろし,このHから,Oを中心・半径を \( a \) とする円に接線を引いたときの接点をTとし,この動径OTの表す角が \( \theta \) となります。

補足

ある曲線の式の \( x \) と \( y \) を,それぞれ変数 \( t \) の関数として表すことを 媒介変数表示(またはパラメータ表示)といいます。

また,\( t \) を 媒介変数(またはパラメータ)といいます。

 

4. 双曲線の知識まとめ

さいごに,今回の内容をもう一度整理します。

双曲線の知識まとめ

【焦点が \( x \) 軸上にある双曲線】

方程式:    \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 } \)

接線公式:   \( \displaystyle \ \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 } \)

媒介変数表示:\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x = \frac{a}{\cos \theta} \\
\\
\displaystyle y = b \tan \theta
\end{cases} } \)

【焦点が \( y \) 軸上にある双曲線】

方程式:    \( \displaystyle \color{red}{ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = -1 } \)

接線公式:   \( \displaystyle \ \color{red}{ \frac{x_1 x}{a^2} – \frac{y_1 y}{b^2} = -1 } \)

媒介変数表示:\( \color{red}{ \begin{cases}
\displaystyle x =a \tan \theta \\
\displaystyle y = \frac{b}{\cos \theta}
\end{cases} } \)

以上が双曲線の解説です!

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