方べきの定理まとめ(証明・逆の証明)

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東大塾長の山田です。
このページでは、「方べきの定理」について解説します

方べきの定理とその証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます
ぜひ参考にしてください!

1. 方べきの定理とは?

まずは方べきの定理とは何か説明します。

方べきの定理Ⅰ・Ⅱ

円の2つの弦\( \mathrm{ AB, CD } \)の交点(パターンⅠ),またはその延長の交点(パターンⅡ)を\( \mathrm{ P } \)とすると

\[ \large{ \color{red}{ PA \cdot PB = PC \cdot PD } } \]

方べきの定理Ⅲ

円の外部の点\( \mathrm{ P } \)から円に引いた接線の接点を\( T \)とする。また\( \mathrm{ P } \)から円に引いた直線の2つの交点を\( \mathrm{ A, B } \)とすると

\[ \large{ \color{red}{ PA \cdot PB = PT^2 } } \]

これら3つすべてまとめて「方べきの定理」といいます。

 

2. 方べきの定理の証明

それでは、なぜ方べきの定理が成り立つのか?証明をしていきます。

パターンⅠ・Ⅱ・Ⅲそれぞれの場合の証明をしていきます。

2.1 方べきの定理Ⅰの証明

パターンⅠは、点\( \mathrm{ P } \)が弦\( \mathrm{ AB, CD } \)の交点の場合です。

\( \mathrm{ \triangle PAC } \)と\( \mathrm{ \triangle PDB } \)において

対頂角だから \( \angle APC = \angle DPB \ \cdots ① \)

円周角の定理より \( \angle CAP = \angle BDP \ \cdots ② \)

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
 \( \mathrm{ \triangle PAC } \) ∽ \( \mathrm{ \triangle PDB } \)

よって \( PA:PD = PC:PB \)

 \( \displaystyle ∴ \ \large{ \color{red}{ PA \cdot PB = PC \cdot PD } } \)

となり、方べきの定理パターンⅠが成り立つことが証明できました。

 

2.2 方べきの定理Ⅱの証明

パターンⅡは、点\( \mathrm{ P } \)が弦\( \mathrm{ AB, CD } \)の延長の交点の場合です。

\( \mathrm{ \triangle PAC } \)と\( \mathrm{ \triangle PDB } \)において

共通な角だから \( \angle APC = \angle DPB \ \cdots ① \)

円に内接する四角形の内角は,その対角の外角に等しいから
 \( \angle PAC = \angle PDB \ \cdots ② \)

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
 \( \mathrm{ \triangle PAC } \) ∽ \( \mathrm{ \triangle PDB } \)

よって \( PA:PD = PC:PB \)

 \( \displaystyle ∴ \ \large{ \color{red}{ PA \cdot PB = PC \cdot PD } } \)

となり、方べきの定理パターンⅡが成り立つことが証明できました。

 

2.3 方べきの定理Ⅲの証明

パターンⅢは、パターンⅡの\( \mathrm{ C, D } \)が一致しているパターンです。

\( \mathrm{ \triangle PTA } \)と\( \mathrm{ \triangle PBT } \)において

共通な角だから \( \angle TPA = \angle BPT \ \cdots ① \)

接弦定理より \( \angle PTA = \angle PBT \ \cdots ② \)

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
 \( \mathrm{ \triangle PTA } \) ∽ \( \mathrm{ \triangle PBT } \)

よって \( PT:PB = PA:PT \)

 \( \displaystyle ∴ \ \large{ \color{red}{ PA \cdot PB = PT^2 } } \)

となり、方べきの定理パターンⅢが成り立つことが証明できました。

補足

接弦定理については「接弦定理まとめ(証明・逆の証明)」の記事で詳しく解説しています。接弦定理を忘れてしまった人は確認しておきましょう。

接弦定理まとめ(証明・逆の証明)

2018年12月13日

 

3. 方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆とその証明

方べきの定理Ⅰ・Ⅱは、その逆も成り立ちます。

3.1 方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆

方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆

2つの線分\( \mathrm{ AB } \)と\( \mathrm{ CD } \),または\( \mathrm{ AB } \)の延長と\( \mathrm{ CD } \)の延長が\( P \)で交わるとき,

\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)が成り立つならば,4点\( A, B, C, D \)は1つの円周上にある。

3.2 方べきの定理Ⅰ・Ⅱの逆の証明

下図の,「【Ⅰ】点\( P \)が線分\( \mathrm{ AB } \)と\( \mathrm{ CD } \)の交点の場合」,「【Ⅱ】点\( P \)が線分\( \mathrm{ AB, CD } \)の延長の交点の場合」,いずれの場合も証明は同様です。

\( \mathrm{ \triangle PAC } \)と\( \mathrm{ \triangle PDB } \)において

仮定 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)より
 \( PA:PD = PC:PB \ \cdots ① \)

[【Ⅰ】対頂角],[【Ⅱ】共通な角]だから
 \( \angle APC = \angle DPB \ \cdots ② \)

①,②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
 \( \mathrm{ \triangle PAC } \) ∽ \( \mathrm{ \triangle PDB } \)

 \( ∴ \ \angle PAC = \angle PDB \)

よって,[【Ⅰ】円周角の定理の逆],[【Ⅱ】円に内接する四角形の性質]より,4点\( A, B, C, D \)は1つの円周上にあるといえます。

したがって,\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)が成り立つならば,4点\( A, B, C, D \)は1つの円周上にあることが証明できました

 

4. 方べきの定理Ⅲの逆とその証明

方べきの定理Ⅲについても、その逆が成り立ちます。

4.1 方べきの定理Ⅲの逆

方べきの定理Ⅲの逆

線分\( \mathrm{ AB } \)の延長上に点\( \mathrm{ P } \)があり,直線\( \mathrm{ AB } \)上にない点\( \mathrm{ T } \)に対し,

\( PA \cdot PB = PT^2 \)が成り立つならば,\( PT \)は\( \triangle TAB \)の外接円に接する。

4.2 方べきの定理Ⅲの逆の証明

\( \mathrm{ \triangle PTA } \)と\( \mathrm{ \triangle PBT } \)において

仮定 \( PA \cdot PB = PT^2 \)より
 \( PA:PT = PT:PB \ \cdots ① \)

共通な角だから \( \angle TPA = \angle BPT \ \cdots ② \)

①,②より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
 \( \mathrm{ \triangle PTA } \) ∽ \( \mathrm{ \triangle PBT } \)

 \( ∴ \ \angle PTA = \angle PBT \)

よって,接弦定理の逆より, \( PT \)は\( \triangle TAB \)の外接円に点\( T \)で接するといえます。

したがって,\( PA \cdot PB = PT^2 \)が成り立つならば,\( PT \)は\( \triangle TAB \)の外接円に接することが証明できました

補足

接弦定理については「接弦定理まとめ(証明・逆の証明)」の記事で詳しく解説しています。接弦定理を忘れてしまった人は確認しておきましょう。

接弦定理まとめ(証明・逆の証明)

2018年12月13日

 

5. 方べきの定理のまとめ

以上が方べきの定理の解説です。しっかり理解できましたか?

方べきの定理はとても便利であり、超重要公式の1つです。

必ず覚えておきましょうね!

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