多項定理まとめ（公式・証明・問題例）

東大塾長の山田です。
このページでは、「多項定理」について解説します。

今回は多項定理の公式の意味（原理）から、例題で多項定理を利用する問題で頻出の「係数を求める問題」まで、超わかりやすく解説していきます！
ぜひ最後まで読んで、勉強の参考にしてください！

1. 多項定理とは？（公式）

それではさっそく多項定理の公式について解説していきます。

多項定理（3項の場合）

$(a+b+c)^n$ の展開式の一般項は

$\color{red}{ \large{ \frac{n!}{p!q!r!}a^p b^q c^r } }$

（ただし， $p+q+r=n$ ， $p≧0$ ， $q≧0$ ， $r≧0$ ）

多項定理は二項定理の拡張なので、原理は同じです。

$(a+b+c)^n = \underbrace{(a+b+c) (a+b+c) \cdots \cdots (a+b+c)}_{n個}$

$a^p b^q c^r$ の項の数は、 $n$ 個の(　　)のうちから、 $a$ を $p$ 個， $b$ を $q$ 個， $c$ を $r$ 個選ぶ順列の総数なので、 $a^p b^q c^r$ の項の係数は $\displaystyle \color{red}{ \frac{n!}{p!q!r!} }$ となります。

二項定理を忘れてしまった人、二項定理の考え方が曖昧な人は「二項定理を超わかりやすく解説（公式・証明・係数・問題）」の記事で詳しく解説しているので、ぜひ参考にしてください。

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ちなみに、多項定理は項がいくつあっても成り立ちます。

多項定理

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}$ の係数は

$\color{red}{ \large{ \frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!} } }$

（ただし， $k_1, k_2, \cdots , k_m≧0$ ， $k_1+k_2+ \cdots +k_m=n$ ）

公式の考え方は3項のときと同様です。

2. 多項定理の証明（二項定理を用いる方法）

すでに解説したのが多項定理の証明の1つですが、ここでは二項定理を用いた証明方法を紹介します。

$(a+b+c)^n$ の展開式における $a^p b^q c^r$ の項の係数について考えていきます。

証明

$\displaystyle (a+b+c)^n = \{ (a+b)+c \}^n$ として、二項定理より一般項は $\displaystyle {}_n \mathrm{C}_r (a+b)^{n-r} c^r$

また、二項定理より $(a+b)^{n-r}$ の一般項は $\displaystyle {}_{n-r} \mathrm{C}_q a^{n-r-q} b^q$

したがって、 $n-r-q=p$ とおくと、 $a^p b^q c^r$ の項の係数は

　 $\begin{align} & {}_n \mathrm{C}_r \times {}_{n-r} \mathrm{C}_q \\ & = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot \frac{(n-r)!}{q!(n-r-q)!} \\ & = \frac{n!}{ (n-r-q)!q!r!} \\ & = \large{ \color{red}{ \frac{n!}{ p!q!r!} } } \end{align}$

二項定理の計算を使うと、このように証明ができます。

3. 多項定理の使い方（係数を求める問題）

それでは、多項定理を利用する問題をやってみましょう。

3.1 例題1

例題1

$(x+2y+3z)^5$ の展開式における $x^2y^2z$ の係数を求めよ。

【解答】

$(x+2y+3z)^5$ の展開式の一般項は

　 $\displaystyle \color{red}{ \frac{5!}{p!q!r!} x^p (2y)^q (3z)^r } \\ \displaystyle = \left(\frac{5!}{p!q!r!} \cdot 2^q \cdot 3^r \right) x^p y^q z^r$

$x^2y^2z$ の項の係数は、 $p=2, \ q=2, \ r=1$ のときだから、

　 $\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!} \cdot 2^2 \cdot 3^1 = \color{red}{ 360 \ \cdots 【答】 }$

多項定理の使い方はわかってきましたか？
次は少しステップアップした問題をやってみましょう。

3.2 例題2

例題2

$(1-2x+x^2)^{10}$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

$(1-2x+x^2)^{10}$ の一般項は

　 $\displaystyle \color{red}{ \frac{10!}{p!q!r!} 1^p (-2x)^q (x^2)^r } \\ \\ \displaystyle = \left(\frac{10!}{p!q!r!} \cdot (-2)^q \right) x^{q+2r}$

$x^3$ の項は $q+2r=3$ となるときなので、
　 $(q, \ r) = (1, \ 1), \ (3, \ 0)$

$p+q+r=10$ なので、それぞれのときの $p$ の値も含めて考えると、
　 $(p, \ q, \ r) = (8, \ 1, \ 1), \ (7, \ 3, \ 0)$

よって、 $x^3$ の係数は

　 $\begin{align} & \frac{10!}{8!1!1!} \cdot (-2)^1 + \frac{10!}{7!3!0!} \cdot (-2)^3 \\ \\ & = -180 \ – 960 \\ \\ & = \color{red}{ -1140 \ \cdots 【答】 } \end{align}$

今回の例題2ように、求める項（今回は $x^3$ ）になる組み合わせが複数ある場合は、注意をしましょう！