微分係数と導関数(定義・求め方・違い)

【勉強法はこちら】

東大塾長の山田です。
このページでは、「微分係数と導関数」について解説します

微分係数と導関数の定義や求め方を、はじめから丁寧に解説しています
また、微分係数と導関数の違いについても解説しているので、ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 微分係数

まずは微分係数について解説していきます。

1.1 微分係数とは?

関数 \( y = f (x) \) の \( x \) が \( a \) から \( a + h \) まで変わるときの平均変化率

\( \displaystyle \frac{f (a+h) \ – f (a)}{h} \)

において,\( h \) を限りなく0に近づけたときの値(極限値)を

関数 \( y = f (x) \) の \( x = a \) における微分係数

といいます。

このときの微分係数を \( \color{red}{ f’ (a) } \) で表します。

 

1.2 微分係数の定義

関数 \( y = f (x) \) の \( x = a \) における微分係数の定義は,\( \lim \) を用いて次のように表します。

微分係数の定義

関数 \( y = f (x) \) の \( x = a \) における微分係数は

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (a) = \lim_{ h \to 0 } \frac{f (a + h) \ – f (a)}{h} } \)

補足

微分係数 \( f’ (a) \) は,曲線 \( y = f (x) \) 上の点 \( ( a, \ f (a) ) \) における接線の傾きに等しい。

 

1.3 微分係数の定義による求め方(問題)

実際に、定義にしたがって微分係数を求める問題をやってみましょう。

例題1

微分係数の定義にしたがって,次の関数の,与えられた \( x \) の値における微分係数を求めよ。
 (1) \( \displaystyle f (x) = \ – x^2 + 3x \ – 5 \) (\( x = \ – 1 \))
 (2) \( \displaystyle f (x) = x^3 \ – 2x \) (\( x = 2 \))

【解答】

(1) \( \displaystyle f’ (-1) = \color{red}{ \lim_{h \to 0} \frac{f (-1 + h) \ – f (-1)}{h} } \)

 \( \begin{align}
f (-1 + h) & = \ – (-1 + h)^2 + 3 (-1 + h) \ – 5 \\
\\
& = \ – h^2 + 5h \ – 9
\end{align} \)

 \( \begin{align}
f (-1) & = \ -(-1)^2 + 3(-1) \ – 5 \\
\\
& = \ -9
\end{align} \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ f’ (-1) } & = \lim_{h \to 0} \frac{(- h^2 + 5h \ – 9) \ – (-9)}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{-h^2 + 5h}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} (-h + 5) \\
\\
& \color{red}{ = 5 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( \displaystyle f’ (2) = \color{red}{ \lim_{h \to 0} \frac{f (2+h) \ – f (2)}{h} } \)

 \( \begin{align}
f (2+h) & = (2+h)^3 \ – 2 (2+h) \\
\\
& = h^3 + 6h^2 + 10h + 4
\end{align} \)

 \( \begin{align}
f (2) & = 2^3 \ – 2 \cdot 2 \\
\\
& = 4
\end{align} \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ f’ (2) } & = \lim_{h \to 0} \frac{( h^3 + 6h^2 + 10h + 4) \ – 4}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{ h^3 + 6h^2 + 10h }{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} (h^2 + 6h + 10h) \\
\\
& \color{red}{ = 10 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

2. 導関数

次は、導関数について解説していきます。

2.1 導関数とは?

関数 \( y = f (x) \) において,\( x \) の各値 \( a \) に微分係数 \( f’ (a) \) を対応させると,1つの新しい関数が得られます。

これを関数 \( y = f (x) \) の導関数といい,\( \color{red}{ f’ (x) } \) で表します。

 

具体例でみていきましょう。

【例】 \( f (x) = x^2 \)

関数 \( f (x) = x^2 \) の \( x = a \) における微分係数 \( f’ (a) \) の対応は次の表のようになる。

よって、微分係数 \( f’ (a) \) は

\( f’ (a) = 2a \)

となる。

ここで、文字 \( a \) を文字 \( x \) に置き換えて得られる関数 \( f’ (x) = 2x \) が,関数 \( f (x) = x^2 \) の導関数となる。

 

2.2 導関数の定義

関数 \( f (x) = x^2 \) の導関数 \( f’(x) \) は次の式で定義されます。

導関数の定義①

関数 \( f (x) \) の導関数 \( f’(x) \) は

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \ – f(x)}{h} } \)

 

上の導関数の定義の式において,\( h \) は \( x \) の変化量を表し,\( f(x+h) \ – f(x) \) はそれにともなう変化量を表しています。

これらをそれぞれ \( x \) の増分,\( y \) の増分といい,それぞれ \( \Delta x \),\( \Delta y \) で表します。
(\( \Delta \) はギリシャ文字で,デルタと読みます。)

よって

\( \Delta x = h, \ \ \Delta y = f(x+ \Delta x ) \ – f(x) \)

\( \Delta x \),\( \Delta y \) を用いると,導関数は次のように表します。

導関数の定義②

関数 \( f (x) \) の導関数 \( f’(x) \) は

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+ \Delta x ) \ – f(x)}{\Delta x} } \)

 

導関数を表すには,\( f’ (x) \) の他に,\( y’ \),\( \displaystyle \frac{ dy }{ dx } \),\( \displaystyle \frac{ d }{ dx } f (x) \) なども用いられる。

また,関数 \( f (x) \) から導関数 \( f’(x) \) を求めることを,\( f (x) \) を 微分する(または \( x \) で微分する)といいます。

 

2.3 導関数の定義による求め方(問題)

ここでは,定義にしたがって導関数を求める問題を解説します。

例題2

導関数の定義にしたがって,次の関数を微分せよ。
 (1) \( f (x) = 2x+5 \)
 (2) \( f (x) = \ – x^3 \)

【解答】

(1) \( f (x) = 2x+5 \)

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ f’ (x) } & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \ – f(x)}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{ \left\{ 2(x+h) + 5 \right\} \ – (2x+5) }{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} 2 \\
\\
& \color{red}{ = 2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( f (x) = \ – x^3 \)

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ f’ (x) } & = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \ – f(x)}{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{ \left\{ – (x+h)^3 \right\} \ – (- x^3) }{h} \\
\\
\displaystyle & = \lim_{h \to 0} \frac{-3x^2 h \ – 3xh^2 \ -h^3}{h} \\
\\
& = \lim_{h \to 0} (-3x^2 \ -3xh \ -h^2) \\
\\
& \color{red}{ = -3x^2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3. 微分係数と導関数の違い

ここまで微分係数導関数の定義と求め方を解説してきましたが,微分係数と導関数の違いは理解できていますか?

 

これらの違いは,次のようになります。

  • 微分係数 \( \color{red}{ f’ (a) } \) は定数であり,関数 \( y = f(x) \) 上の特定の点(\( x = a \) の接点)における接線の傾き
  • 導関数 \( \color{red}{ f’ (x) } \) は関数であり,関数 \( y = f(x) \) 上のすべての点における接線の傾きを \( x \) の関数で表したもの。

つまり、\( x = a \) における微分係数を求めたければ、\( f (x) \) を微分してから、それに \( x = a \) を代入すれば求まります

 

今回は、微分係数と導関数の定義をしっかり理解するために、定義にしたがった微分係数の求め方を解説しましたが、導関数 \( f’(x) \) を求めてから \( x = a \) を代入して求めたほうが計算は楽です。

 

先ほどの例題1(1)「\( \displaystyle f (x) = \ – x^2 + 3x \ – 5 \) の \( x = \ – 1 \) における微分係数」を、この方法で求めてみると次のようになります。

【例】 \( \displaystyle f (x) = \ – x^2 + 3x \ – 5 \) (\( x = \ – 1 \))

\( \displaystyle f (x) = \ – x^2 + 3x \ – 5 \) を微分すると

\( f’(x) = \ -2x + 3 \)

したがって、\( x = \ – 1 \) における微分係数 \( f’(-1) \) は

\( \begin{align}
\color{red}{ f’(-1) } & = \ -2 \cdot (-1) + 3 \\
\\
& \color{red}{ = 5 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

4. 微分係数と導関数まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

微分係数と導関数まとめ

関数 \( y = f (x) \) の \( x = a \) における微分係数は

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (a) = \lim_{ h \to 0 } \frac{f (a + h) \ – f (a)}{h} } \)

 

関数 \( f (x) \) の導関数 \( f’(x) \) は

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \ – f(x)}{h} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ f’ (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+ \Delta x ) \ – f(x)}{\Delta x} } \)

 

導関数を表すには,\( f’ (x) \) の他に,\( y’ \),\( \displaystyle \frac{ dy }{ dx } \),\( \displaystyle \frac{ d }{ dx } f (x) \) なども用いられる。

 

  • 微分係数は,導関数 \( f’(x) \) に \( x = a \) を代入すれば求められる

微分係数と導関数は、微分の学習の基礎となるので、定義と求め方をしっかりと理解しておきましょう!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です