東大塾長の山田です。
このページでは、「ベクトル方程式」について解説します。
今回は重要なベクトル方程式をまとめているのはもちろん，「ベクトル方程式とは何か？」という基本的なことから，それぞれのベクトル方程式を1つ1つ具体例をあげながら，超わかりやすく解説していきます。
ぜひ勉強の参考にしてください！
1. ベクトル方程式まとめ
まずは重要なベクトル方程式の公式をまとめておきます。
直線上に任意の点Pの位置ベクトルを \( \vec{ p } \) とし，\( s \) と \( t \) を実数の変数とする。
【定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，\( \vec{ d } \) に平行な直線】
\( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = a + t \vec{ d } } } \)
（\( \vec{ d } \) は直線の方向ベクトル）
【異なる2点 \( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \) を通る直線】（共線条件）
\( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = (1-t) \vec{ a } + t \vec{ b } } } \)
または \( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } } } \)，\( \large{ \color{red}{ s + t = 1 } } \)
【定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，ベクトル \( \vec{ n } \) に垂直な直線】
\( \large{ \color{red}{ \vec{ n } \cdot ( \vec{ p } – \vec{ a } ) = 0 } } \)
（\( \vec{ n } \) は直線の法線ベクトル）
\( \overrightarrow{ OA } = \vec{ a } \)，\( \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } \)，\( \overrightarrow{ OP } = \vec{ p } \) とし，\( \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } } \) とする（\( s \)，\( t \) は実数の変数）。
\( s \)，\( t \) に条件があると，次のような図形を表す。
【直線AB】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1
\end{cases} } \) は，「直線AB」を表す。
【線分AB】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「線分AB」を表す。
【△OABの周と内部】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s + t ≦ 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「△OABの周と内部」を表す。
【平行四辺形OACBの周と内部】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s ≦ 1 \\
0 ≦ t ≦ 1 \\
\end{cases} } \) は，「平行四辺形OACBの周と内部」を表す。
3つの定点を \( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \)，\( C(\vec{ c }) \) とし，円周上の任意の点を \( P(\vec{ p }) \) とする。
【中心C，半径rの円】
\( \large{ \color{red}{ |\vec{ p } – \vec{ c }| = r } } \)
（または \( \color{red}{ ( \vec{ p } – \vec{ c } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ c } ) = r^2 } \)）
【線分ABを直径とする円】
\( \large{ \color{red}{ ( \vec{ p } – \vec{ a } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ b } ) = 0 } } \)
以上がベクトル方程式の公式まとめです。
次の章からは，「ベクトル方程式とは何か？」という根本のところから解説します。
2. ベクトル方程式とは？
ベクトル方程式とは，「ある条件を満たす点を，ベクトルで表現した式」のことです。
数学では，直線は「点の集合」です。
例えば，直線 \( y = 2x+1 \) の式は，点 \( (x, \ y) \) が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になります。
これをベクトルで考えると，ベクトルでは，「点の位置」を表すのに便利な「位置ベクトル」というものがありましたね。
この位置ベクトルを利用して，「曲線上の点の位置ベクトル \( P(\vec{ p }) \) の満たす関係式を，その曲線の ベクトル方程式」といいます。
言葉ではピンとこないと思うので，次の章から具体的にベクトル方程式の例をみていきましょう。
3. 直線のベクトル方程式
まずは直線を表すベクトル方程式の解説です。
3.1 定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，\( \vec{ d } \) に平行な直線のベクトル方程式
点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，\( \vec{ 0 } \) でないベクトル \( \vec{ d } \) に平行な直線を \( g \) とします。
点 \( P(\vec{ p }) \) が直線 \( g \) 上にあるということは
\( \overrightarrow{ AP } = t \vec{ d } \)
と表すことができます。
\( \overrightarrow{ AP } = \vec{ p } – \vec{ a } \) なので
\( \vec{ p } – \vec{ a } = t \vec{ d } \)
∴ \( \color{red}{ \vec{ p } = \vec{ a } + t \vec{ d } } \)
と表すことができます。
このとき，\( \vec{ d } \) を直線 \( g \) の 方向ベクトル ，\( t \) を 媒介変数 といいます。
また，このベクトル方程式を，ベクトルの成分で表すことを考えます。
原点を \( O \)，点Aの座標を \( A (x_1, \ y_1) \)，直線 \( g \) 上の任意の点を \( P(x, \ y) \) とし，\( \vec{ d } = (l, \ m) \) とすると，ベクトル方程式は
\( \begin{align}
(x, \ y) & = (x_1, \ y_1) + t (l, \ m) \\
& = (x_1 + lt, \ y_1 + mt)
\end{align} \)
よって \( \displaystyle \begin{cases}
x = x_1 + lt \\
y = y_1 + mt
\end{cases} \)
媒介変数 \( t \) を用いて表されたこの連立方程式を，直線 \( g \) の 媒介変数表示 といいます。
この連立方程式から \( t \) を消去すると，次のことが成り立ちます。
点 \( (x_1, \ y_1) \) を通り，\( \vec{ d } = (l, \ m) \) が方向ベクトルである直線の方程式は
\( m ( x – x_1 ) – l ( y – y_1 ) = 0 \)
3.2 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）
異なる2点 \( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \) を通る直線のベクトル方程式は
\( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = (1-t) \vec{ a } + t \vec{ b } } } \)
または \( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b }, \ s + t = 1 } } \)
平面上の異なる2点 \( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \) を通る直線上に，点 \( P(\vec{ p }) \) があることを考えます。
すると \( \overrightarrow{ OP } = \overrightarrow{ OA } + t \overrightarrow{ AB } \) と表されるので
\( \begin{align}
\color{red}{ \vec{ p } } & = \vec{ a } + t ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \\
& \color{red}{ = (1-t) \vec{ a } + t \vec{ b } }
\end{align} \)
と表すことができます。
この方程式において，\( 1-t = s \) とおくと
\( \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } } \)，\( \color{red}{ s + t = 1 } \)
とも表すことができます。
ベクトル方程式ではピンとこない人もいると思うので，具体例で考えてみましょう。
例えば，A(2，1)，B(3，3)のとき，直線ABの式は
\( \mathrm{ AB } : \color{blue}{ y = 2x-3 } \)
\( P(x, \ y) \) として，ベクトルで考えると
\( \begin{align}
\vec{ p } & = \overrightarrow{ OA } + t \overrightarrow{ AB } \\
\\
\displaystyle (x, \ y) & = \vec{ a } + t ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \\
\\
& = (2, \ 1) + t (1, \ 2) \\
\\
& = (t+2, \ 2t+1)
\end{align} \)
よって
\( \displaystyle \color{red}{ \begin{cases}
x =t+2 \\
y = 2t+1
\end{cases} } \)
と媒介変数表示で表すことができます。
この連立方程式から \( t \) を消去すると，直線の式「\( \color{blue}{ y = 2x-3 } \)」が成り立つことがわかりますね！
3.3 定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，ベクトル \( \vec{ n } \) に垂直な直線のベクトル方程式
定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，\( \vec{ 0 } \) でないベクトル \( \vec{ n } \) に垂直な直線のベクトル方程式は
\( \large{ \color{red}{ \vec{ n } \cdot ( \vec{ p } – \vec{ a } ) = 0 } } \)
（\( \vec{ n } \) は直線の法線ベクトル）
定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，ベクトル \( \vec{ n } \) に垂直な直線は，次の図のようになります。
点 \( P(\vec{ p }) \) がこの直線上にあるということは
\( \vec{ n } \perp \overrightarrow{ AP } \)
ということだから，内積を用いて表すと
\( \vec{ n } \cdot \overrightarrow{ AP } = 0 \)
∴ \( \color{red}{ \vec{ n } \cdot ( \vec{ p } – \vec{ a } ) = 0 } \)
このベクトル方程式についても，ベクトル方程式ではピンとこない人もいると思うので，具体例で考えてみましょう。
先ほどの例と同様な点A，Bとすると「AB：\( y = 2x-3 \)」，この直線に垂直な直線の式を計算で求めると
\( \color{blue}{ \displaystyle y = – \frac{1}{2} x + 2 } \)
\( P(x, \ y) \) として，ベクトルで考えると
\( \overrightarrow{ AP } \cdot \overrightarrow{ AB } = 0 \)
\( \left( \begin{array}{c}
x-2 \\
y-1
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
2
\end{array} \right) = 0 \)
\( 1 \cdot (x-2) + 2 \cdot (y-1) = 0 \)
\( x+2y-4=0 \)
∴ \( \displaystyle \color{blue}{ y = – \frac{1}{2} x + 2 } \)
よって，ベクトル方程式 \( \vec{ n } \cdot ( \vec{ p } – \vec{ a } ) \) は，定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，ベクトル \( \vec{ n } \) に垂直な直線を表すことが確認できました。
4. ベクトルの終点の存在範囲
次は「ベクトルの終点の存在範囲」について解説していきます。
\( \overrightarrow{ OA } = \vec{ a } \)，\( \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } \)，\( \overrightarrow{ OP } = \vec{ p } \) とし，\( \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } } \) とする（\( s \)，\( t \) は実数の変数）。
\( s \)，\( t \) に条件があると，次のような図形を表す。
【直線AB】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1
\end{cases} } \) は，「直線AB」を表す。
【線分AB】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「線分AB」を表す。
【△OABの周と内部】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s + t ≦ 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「△OABの周と内部」を表す。
【平行四辺形OACBの周と内部】
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s ≦ 1 \\
0 ≦ t ≦ 1 \\
\end{cases} } \) は，「平行四辺形OACBの周と内部」を表す。
4.1 直線ABと線分AB
「3.2 異なる2点を通る直線のベクトル方程式」で解説した通り，点 \( P(\vec{ p }) \) が
\( \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1
\end{cases} \) \( \cdots ① \)
を満たしながら動くとき，点 \( P(\vec{ p }) \) の存在範囲は直線ABです。
では，点 \( P(\vec{ p }) \) の存在範囲を線分AB上に限定するように考えてみましょう。
- \( t = 0 \ (s=1) \) のとき，点 \( P(\vec{ p }) \) は点 \( A(\vec{ a }) \) と一致する。
- \( t = 0.5 \ (s=0.5) \) のとき，点 \( P(\vec{ p }) \) は線分ABの中点に位置する。
- \( t = 1 \ (s=0)\) のとき，点 \( P(\vec{ p }) \) は点 \( B(\vec{ b }) \) と一致する。
つまり，①で「\( 0 ≦ t ≦ 1 \)（\(0 ≦ s ≦ 1 \)）」のとき，線分ABを表すことになります。
これを整理して，
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「線分AB」を表します。
4.2 △OAB
次に，
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s + t ≦ 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「△OABの周と内部」を表す。
について考えてみましょう。
例えば，\( s + t = 0.5 \) のとき
\( \begin{align}
\vec{ p } & = (0.5 – t) \vec{ a } + t \vec{ b } \\
& = 0.5 \vec{ a } + t ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \\
& = 0.5 \overrightarrow{ OA } + t \overrightarrow{ AB }
\end{align} \)
となり，\( t \) を \( 0 ≦ t ≦ 0.5 \) の範囲で変化させると，点Pは下の図の線分ABに平行な線分A’B’上を動きます。
そして，\( s + t \) を，「\( 0 ≦ s + t ≦1 \)」の範囲で変化させると，線分A’B’は△OAB上全体を動くことになります。
よって
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s + t ≦ 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は，「△OABの周と内部」を表します。
4.3 平行四辺形OACB
さいごに
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s ≦ 1 \\
0 ≦ t ≦ 1 \\
\end{cases} } \) は，「平行四辺形OACBの周と内部」を表す。
について考えてみます。
例えば，\( s = 0.5 \) のとき
\( \vec{ p } = 0.5 \overrightarrow{ OA } + t \overrightarrow{ OB } \)
となり，\( t \) を \( 0 ≦ t ≦ 1 \) の範囲で変化させると，点Pは下の図の線分OBに平行な線分A’C’上を動きます。
そして，\( s \) を，「\( 0 ≦ s ≦1 \)」の範囲で変化させると，線分A’C’は線分OBから線分ACまで平行に動くことになります。
よって
\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s ≦ 1 \\
0 ≦ t ≦ 1 \\
\end{cases} } \) は，「平行四辺形OACBの周と内部」を表します。
5. 円のベクトル方程式
さいごは「円のベクトル方程式」について解説していきます。
円のベクトル方程式は簡単ですよ！
5.1 中心がC，半径がrの円のベクトル方程式
3つの定点を \( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \)，\( C(\vec{ c }) \) とし，円周上の任意の点を \( P(\vec{ p }) \) とすると
【中心C，半径rの円】
\( \large{ \color{red}{ |\vec{ p } – \vec{ c }| = r } } \)
（または \( \color{red}{ ( \vec{ p } – \vec{ c } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ c } ) = r^2 } \)）
中心C，半径rの円上にある点Pについて考えます。
円の定義は「Cからの距離がrである点の集まり」なので
\( CP = r \)
これをベクトルで表すと
\( | \overrightarrow{ CP } | = r \)
よって \( \color{red}{ | \vec{ p } – \vec{ c } | = r } \)
ゆえに \( | \vec{ p } – \vec{ c } |^2 = r^2 \)
したがって \( ( \vec{ p } – \vec{ c } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ c } ) = r^2 \)
また，\( C(a, \ b) \)，\( P(x, \ y) \) として成分で表すと
\( \color{red}{ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 } \)
これは数学Ⅱで学習する円の方程式ですね！
5.2 直径がABの円のベクトル方程式
3つの定点を \( A(\vec{ a }) \)，\( B(\vec{ b }) \)，\( C(\vec{ c }) \) とし，円周上の任意の点を \( P(\vec{ p }) \) とすると
【線分ABを直径とする円】
\( \large{ \color{red}{ ( \vec{ p } – \vec{ a } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ b } ) = 0 } } \)
直径がABの円周上の点Pについて考えます。
直径に対する円周角は直角であるから \( AP \perp BP \)
ゆえに \( \overrightarrow{ AP } \cdot \overrightarrow{ BP } = 0 \)
よって \( ( \overrightarrow{ OP } – \overrightarrow{ OA } ) \cdot ( \overrightarrow{ OP } – \overrightarrow{ OB } ) = 0 \)
∴ \( \color{red}{ (\vec{ p } – \vec{ a } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ b } ) = 0 } \)
以上がベクトル方程式の解説すべてです！
定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り，\( \vec{ 0 } \) でないベクトル \( \vec{ d } \) に平行な直線のベクトル方程式は
\( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = \vec{ a } + t \vec{ d } } } \)