Σシグマの公式まとめと計算方法(数列の和の公式)

東大塾長の山田です。
このページでは、数学B数列の「シグマ記号(Σ)」について解説します

和の記号であるΣ(シグマ)の公式と性質(計算方法)を具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます
ぜひ勉強の参考にしてください!

Σシグマの定義

\( \displaystyle \large{ \sum_{k=1}^{n} a_k = \underbrace{ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}_{1からnまで} } \)

1. Σシグマの公式まとめ(数列の和の公式)

まずは,覚えておくべきΣシグマの公式5つをまとめます。

Σシグマの公式(数列の和の公式)

\( \displaystyle 1. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a = na } } \)

\( \displaystyle 2. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) } } \)

\( \displaystyle 3. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } } \)

\( \displaystyle 4. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } } \)

\( \displaystyle 5. \ \large{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } } \)

(公式の証明はこのあとの「4. Σシグマの公式の証明(数列の和の公式の証明)」で解説しています。)

 

2. Σシグマの性質(計算方法)

和の記号Σの性質

\( p \),\( q \) は \( k \) に無関係な定数とする。

\( \displaystyle 1. \ \large{ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k } \)

\( \displaystyle 2. \ \large{ \sum_{k=1}^{n} p a_k = p \sum_{k=1}^{n} a_k } \)

特に \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (p a_k + q b_k) = p \sum_{k=1}^{n} a_k + q \sum_{k=1}^{n} b_k \)

これらの性質が成り立つこのは簡単に確認できます。

【性質①の証明】

2つの数列 \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \) に対して

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) } \\
\\
& = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \cdots + (a_n + b_n) \\
\\
& = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n) \\
\\
& \color{red}{ = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k }
\end{align} \)

【性質②の証明】

数列 \( \left\{ a_n \right\} \) と定数 \( p \) に対して

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} p a_k } \\
\\
& = pa_1 + pa_2 + \cdots + pa_n \\
\\
& = p ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n ) \\
\\
& \color{red}{ = p \sum_{k=1}^{n} a_k }
\end{align} \)

以上のΣの性質と和の公式を利用すると,いろいろな数列の和が求められるようになります!
次で実際に問題を解きながら解説していきます。

 

3. Σシグマの計算問題

3.1 Σシグマの計算の基本問題

例題

次の和を求めよ。

 (1) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k+3) \)

 (2) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) \)

(1)は,Σの公式と性質を利用して一発です。
(2)は,まず \( (k+3)(k-2) \) を展開して計算をしていきましょう。

【解答】

(1) \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (4k+3) } \)

\( \begin{align}
\displaystyle & = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 \\
\\
& = 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + 3n \\
\\
& = 2n^2 + 2n + 3n \\
\\
& \color{red}{ = 2n^2 + 5n \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} (k+3)(k-2) } \)

\( \begin{align}
\displaystyle & = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k – 6) \\
\\
& = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k – \sum_{k=1}^{n} 6 \\
\\
& = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) – 6n \\
\\
& = \frac{1}{6} n \left\{ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) – 36 \right\} \\
\\
& = \frac{1}{6} n ( 2n^2 + 6n – 32 ) \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{3} n (n^2 + 3n – 16) \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.2 一般項を求めてから和を求める問題

例題2

次の数列の初項から第 \( n \) 項までの和を求めよ。

 (1) 1, 1+2, 1+2+3, …, 1+2+3+…, …

 (2) \( 1, \ 1+2, \ 1+2+2^2, \ \cdots \)

今回は数列の一般項が与えられていません
Σで和を求めるには一般項がわからないとダメなので,まずは一般項を求めます!

【解答】

与えられた数列の第 \( k \) 項を \( a_k \) とし,求める和を \( S_n \) とする。

(1) 1, 1+2, 1+2+3, …, 1+2+3+…,…

\( a_k = 1+2+ \cdots + k \) となる。

つまり,\( a_k \) は1から \( k \) までの自然数の和であるから

\( \displaystyle \color{red}{ a_k } = \sum_{i=1}^{k} i \color{red}{ = \frac{1}{2} k (k+1) } \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} k (k+1) \\
\\
& = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) \\
\\
& = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right) \\
\\
& = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + \frac{1}{2} n (n+1) \right\} \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) \left\{ (2n+1) + 3 \right\} \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+4) \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{6} n (n+1) (n+2) \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) \( 1, \ 1+2, \ 1+2+2^2, \ \cdots \)

\( a_k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{k-1} \) となる。

つまり,\( a_k \) は初項1,公比2,項数 \( k \) の等比数列の和であるから

\( \displaystyle \color{red}{ a_k } = \frac{1 \cdot (2^k – 1)}{2-1} \color{red}{ = 2^k – 1 } \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S_n } & = \sum_{k=1}^{n} (2^k – 1) \\
\\
& = \sum_{k=1}^{n} 2^k – \sum_{k=1}^{n} 1 \\
\\
& = \frac{2(2^n – 1)}{2-1} – n \\
\\
& \color{red}{ = 2^{n+1} – n – 2 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3.3 【応用】階差数列と分数の数列(部分分数分解)

もうひとつ,シグマを利用する応用の頻出の問題として,「階差数列」と「分数の数列(部分分数分解)」の問題があります。

これらの詳しい解説は「階差数列の全てをわかりやすくまとめた」の記事でしているので,ぜひチェックしてください。

 

4. Σシグマの公式の証明(数列の和の公式の証明)

Σシグマの公式の証明をしていきます。

Σシグマの公式の証明は入試問題で出題されることもあるので、ぜひ理解しておきましょう。

【証明①】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a = na } \)」

数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において,\( a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n = a \) のときは

\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} a } = \underbrace{a+a+ \cdots + a }_{n個} \color{red}{ = na } \)

【証明②】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) } \)」

これは,等差数列の和の公式通りですので,さらっといきます。

初項1,末項 \( n \),公差1,項数 \( n \) の等差数列の和を考えるので

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k } & = 1+2+3+ \cdots + n \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{2} n (n+1) }
\end{align} \)

【証明③】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } \)」

恒等式

\( (k+1)^3 – k^3 = 3k^2 + 3k + 1 \cdots ① \)

を利用して,証明をします。

①で \( k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n \) を代入すると

これら式の辺々を加えると

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) \) を代入して整理すると

\( \displaystyle (n+1)^3 – 1^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + n \)

ゆえに

\( \begin{align}
\displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 & = (n+1)^3 – 1 – \frac{3}{2} n (n+1) – n \\
\\
& = n^3 + 3n^2 + 3n – \frac{3}{2}n^2 – \frac{5}{2} n \\
\\
& = n^3 + \frac{3}{2} n^2 + \frac{1}{2}n \\
\\
& = \frac{1}{2} n (2n^2 + 3n + 1) \\
\\
& = \frac{1}{2} n (n+1) (2n+1)
\end{align} \)

∴ \( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) } \)

【証明④】「\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } \)」

恒等式

\( (k+1)^4 – k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 \cdots ② \)

を利用して,証明をします。

②で \( k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n \) を代入すると

これら式の辺々を加えると

\( \displaystyle ∴ \ (n+1)^4 – 1 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \cdot \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) + 4 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + n \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 \) について解くと

\( \displaystyle \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n (n+1) \right\}^2 } \)

【証明⑤】「\( \displaystyle \small{ \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } } \)」

これは,等比数列の和の公式そのものですので,さらっといきます。

初項 \( a \),公比 \( r \),項数 \( n \) の等比数列の和を \( S_n \) とすると

∴ \( (1-r) S_n = a ( 1 – r^n ) \)

よって,\( r \neq 1 \) のとき

\( \displaystyle S_n = \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1} } \)

 

以上がΣシグマの解説です!

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11件のコメント

3-2の項目で1/2n(n+1)が何故3になるのでしょうか?

テニスコートでボールの回収時三角錐状にボールを重ねており、
この計算式を見つけました。有難うございます。70歳男性より。

n連続自然数の積の和において、(k=1→n)
Σk(k+1)=1/3×n(n+1)(n+2)
Σk(k+1)…(k-1)=1/(n+1)×n(n+1)…(n-1)n
のように2連続だったら3番目の数をかけて3で割る
n連続だったら(n+1)番目の数をかけて(n+1)で割る
というのを一発公式として習いました
これは常に成り立ちますか?

1/2n(n+1)=3×1/6n(n+1)なので、1/6n(n+1)×(2n+1)+1/6n(n+1)×3=1/6n(n+1)(2n+1+3)だからですね

Σ2^(k+1) なのでしたら
4Σ2^(k-1) ですし、

Σ{(2^k)+1} なのでしたら
2Σ2^(k-1) ですね。

すみません上記のものはミスです。
Σ2^(k+1) なのでしたら
4Σ2^(k-1) で

Σ{(2^k)+1} なのでしたら
{2Σ2^(k-1)}+Σ1 ですね。

すごくわかりやすいです!!
授業、問題集を解く前などにこれで勉強してからやるとすごく意味がわかります。
(LUSも利用していてお世話になってます……!)

なのでお願いです……数学Ⅱの図形と方程式の分野も記事を出して欲しいです泣

Σの下についているkが1でなく2の時はないのですか?
もしあったら解き方を教えてください

上式は kが1からnまでの和という意味なので
k=2の答えがほしければ
上式にn=1をいれてkが1の値を求め
上式からひいてやればいいです。

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