位置ベクトルを超わかりやすく解説した(内分・外分・重心)

東大塾長の山田です。
このページでは、「位置ベクトル」について解説します

今回は「位置ベクトルとは何か?」という基本的なことから,「内分点・外分点・三角形の重心の位置ベクトルの公式」について,問題を解きながら具体的に超わかりやすく解説しています。
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 位置ベクトルとは?

平面上で1点 \( O \) を固定して考えると,任意の点 \( P \) の位置は,ベクトル \( \vec{ p } = \overrightarrow{ OP } \) となります。

このとき

\( \vec{ p } \) は点 \( O \) に関する点 \( P \) の位置ベクトル

といい,\( \color{red}{ P ( \vec{ p } ) } \) と表します。

補足

位置ベクトルにおける点 \( O \) は,平面上のどこに定めてもOKです。

これ以降の解説は,特に断りがない限り,点 \( O \) に関する位置ベクトルとします。

 

また,2点 \( A ( \vec{ a } ) \),\( B ( \vec{ b } ) \) に関して,ベクトル \( \overrightarrow{ AB } \) は

\( \large{ \color{red}{ \overrightarrow{ AB } = \vec{ b } – \vec{ a } } } \)

と表します。

 

ベクトルは「向きと大きさ」をもつ量で,位置については考えません。

そこで,位置ベクトルを定義することで,特定の性質をもった点の位置を表すことができます。
(特定の性質をもった点とは、次から解説する「内分点・外分点・重心などの五心」などのことです。)

 

2. 内分点の位置ベクトル

位置ベクトルの定義がわかったところで,次は内分点の位置ベクトルについて解説していきます。

2.1 内分点の位置ベクトルの公式と証明

内分点の位置ベクトル

2点 \( A(\vec{ a }), \ B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABを \( m : n \) に内分する点Pの位置ベクトルを \( \vec{ p } \) とすると

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \vec{ p } = \frac{ n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m + n } } } \)

【証明】

\( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \),\( P(\vec{ p }) \) とする。

線分ABを \( m : n \) に内分する点をPとすると

\( \displaystyle \overrightarrow{ AP } = \frac{m}{m+n} \overrightarrow{ AB } \)

よって

\( \displaystyle \vec{ p } – \vec{ a } = \frac{m}{m+n} ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \)

ゆえに

\( \displaystyle \vec{ p } = \left( 1 – \frac{m}{m+n} \right) \vec{ a } + \frac{m}{m+n} \vec{ b } \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ p } = \frac{ n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m + n } } \)

数学Ⅱで学習する内分点の公式と同じですね!

「(たすき掛けのように)斜めにかける」ということを覚えておきましょう。

 

2.2 内分点の位置ベクトルの問題

内分点の位置ベクトルの公式を使って,問題を解いてみましょう。

例題1

2点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABについて,次のような点Pの位置ベクトル \( P( \vec{ p } ) \) を \( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \) を用いて表せ。
 (1) 2:1に内分する点P
 (2) 3:5に内分する点P

公式に当てはめるだけです!

【解答】

(1) 線分ABを2:1に内分する点P

 \( \begin{align}
\displaystyle \vec{ p } & = \frac{ \vec{ a } + 2 \vec{ b } }{2+1} \\
\\
& = \color{red}{ \frac{1}{3} \vec{ a } + \frac{2}{3} \vec{ b } \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) 線分ABを3:5に内分する点P

 \( \begin{align}
\displaystyle \vec{ p } & = \frac{ 5 \vec{ a } + 3  \vec{ b } }{3+5} \\
\\
& = \color{red}{ \frac{5}{8} \vec{ a } + \frac{3}{8} \vec{ b } \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

3. 外分点の位置ベクトル

次は外分点の位置ベクトルについて解説していきます。

3.1 外分点の位置ベクトルの公式と証明

外分点の位置ベクトル

2点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABを \( m : n \) に外分する点Qの位置ベクトルを \( \vec{ q } \) とすると

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } } \)

【証明】

\( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \),\( Q(\vec{ q }) \) とする。

\( m>n \) のとき,線分ABを \( m : n \) に外分する点をQとすると

\( \displaystyle \overrightarrow{ AQ } = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{ AB } \)

よって

\( \displaystyle \vec{ q } – \vec{ a } = \frac{m}{m-n} ( \vec{ b } – \vec{ a } ) \)

ゆえに

\( \displaystyle \vec{ p } = \left( 1 – \frac{m}{m-n} \right) \vec{ a } + \frac{m}{m-n} \vec{ b } \)

よって

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } \)

 

\( m<n \) のとき,線分ABを \( m : n \) に外分する点をQとすると

\( \displaystyle \overrightarrow{ AQ } = \frac{m}{n-m} \overrightarrow{ BA } = \frac{m}{m-n} \overrightarrow{ AB } \)

ゆえに,\( m>n \) のときと同様に示される。

 

したがって

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } \)

これも,数学Ⅱで学習する外分点の公式と同じです。

外分も「\( m : -n \) に内分する点」と考えると,内分点の位置ベクトルの公式と同じものとみなすことができます!

 

3.2 外分点の位置ベクトルの問題

外分点の位置ベクトルの公式を使って,問題を解いてみましょう。

例題2

2点 \( A(\vec{ a }), \ B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABについて,次のような点Qの位置ベクトル \( Q( \vec{ q } ) \) を \( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \) を用いて表せ。
 (1) 1:3に外分する点Q
 (2) 5:2に外分する点Q

これも公式に当てはめて求めましょう!

【解答】

(1) 線分ABを1:3に外分する点Q

 \( \begin{align}
\displaystyle \vec{ q } & = \frac{ -3 \vec{ a } + 1 \vec{ b } }{1-3} \\
\\
& = \color{red}{ \frac{3}{2} \vec{ a } – \frac{1}{2} \vec{ b } \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

(2) 線分ABを5:2に外分する点Q

 \( \begin{align}
\displaystyle \vec{ q } & = \frac{ -2 \vec{ a } + 5 \vec{ b } }{5-2} \\
\\
& = \color{red}{ – \frac{2}{3} \vec{ a } + \frac{5}{3} \vec{ b } \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

4. 三角形の重心の位置ベクトル

もうひとつ,三角形の重心の位置ベクトルについて解説していきます。

4.1 三角形の重心の位置ベクトルの公式と証明

外分点の位置ベクトル

3点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \),\( C( \vec{ c } ) \) を頂点とする△ABCの重心Gの位置ベクトル \( \vec{ g } \) は

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } } \)

【証明】

\( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \), \( C(\vec{ c }) \),\( G(\vec{ g }) \) とする。

MはBCの中点だから

\( \displaystyle \overrightarrow{ OM } = \frac{ \overrightarrow{ OB } + \overrightarrow{ OC } }{2} \)

∴ \( \color{blue}{ 2 \overrightarrow{ OM } = \overrightarrow{ OB } + \overrightarrow{ OC } } \cdots ① \)

重心Gは,中線AMを2:1に内分する点だから

\( \displaystyle \overrightarrow{ OG } = \frac{ \overrightarrow{ OA } + \color{blue}{ 2 \overrightarrow{ OM } } }{2+1} \)

①を代入すると

\( \displaystyle \displaystyle \overrightarrow{ OG } = \frac{ \overrightarrow{ OA } + \color{blue}{ \overrightarrow{ OB } + \overrightarrow{ OC } } }{3} \)

ゆえに

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \)

復習(重心の定理)

重心とは,三角形の3辺の中線の交点のことで,重心は3つの中線それぞれを2:1に内分します。

重心の知識が曖昧な人は,「三角形の重心について知っておきたい知識まとめ」の記事で詳しく解説しているので,参考にしてください。

三角形の重心について知っておきたい知識まとめ

2018年12月4日

 

4.2 三角形の重心の位置ベクトルの問題

重心の位置ベクトルに関する,「点の一致の証明問題」をやってみましょう。

例題3

△ABCの辺BC,CA,ABをそれぞれ1:2に内分する点をP,Q,Rとする。また,△ABCの重心をG,△PQRの重心をHとする。
このとき,GとHは一致することを示せ。

「2点G,Hが一致 \( \Longleftrightarrow \) 2点G,Hの位置ベクトルが一致」となります。

それぞれの位置ベクトルを表し,一致することを示していきます。

【解答】

A,B,C,Gの位置ベクトルを,それぞれ \( \vec{ a } \),\( \vec{ b } \),\( \vec{ c } \),\( \vec{ g } \) とし,P,Q,R,Hの位置ベクトルを,それぞれ \( \vec{ p } \),\( \vec{ q } \),\( \vec{ r } \),\( \vec{ h } \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \cdots ① \)

 

また

\( \displaystyle \color{blue}{ \vec{ p } = \frac{ 2\vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \),\( \displaystyle \color{blue}{ \vec{ q } = \frac{ 2\vec{ c } + \vec{ a } }{ 3 } } \),\( \displaystyle \color{blue}{ \vec{ r } = \frac{ 2\vec{ a } + \vec{ b } }{ 3 } } \)

ゆえに

 \( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \vec{ h } } & = \frac{ \color{blue}{ \vec{ p } } + \color{blue}{ \vec{ q } } + \color{blue}{ \vec{ r } } }{3}  \\
\\
& = \frac{1}{3} \left( \color{blue}{ \frac{ 2\vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } + \color{blue}{ \frac{ 2\vec{ c } + \vec{ a } }{ 3 } } + \color{blue}{ \frac{ 2\vec{ a } + \vec{ b } }{ 3 } } \right) \\
\\
& = \frac{1}{3} \cdot \frac{ 3 ( \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } ) }{3} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \cdots ②
\end{align} \)

 

①,②から \( \color{red}{ \vec{ g } = \vec{ h } } \)

よって,点Gと点Hは一致するから,△ABCと△PQRの重心は一致する。

 

5. 位置ベクトルまとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

位置ベクトルまとめ

【内分点・外分点の位置ベクトル】

2点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABを \( m : n \) に内分する点P,外分する点Qの位置ベクトルをそれぞれ \( \vec{ p } \),\( \vec{ q } \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ p } = \frac{ n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m + n } } \) , \( \displaystyle \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } \)

 

【三角形の重心の位置ベクトル】

3点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \),\( C( \vec{ c } ) \) を頂点とする△ABCの重心Gの位置ベクトルを \( \vec{ g } \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } \)

以上が位置ベクトルの解説です。位置ベクトルの使い方や問題の解き方は理解できましたか?

今回解説した「内分点・外分点・三角形の重心の位置ベクトル」は,空間内でもまったく同様に表されます

どんどん練習問題に取り組んで,位置ベクトルをマスターしてください!

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