ベクトルの公式一覧(計算・内積・三角形の面積・共線条件)

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東大塾長の山田です。
このページでは、数学Bの「ベクトルの公式」を一覧にしています

ベクトルの基本的な計算法則から,内積・三角形の面積公式・位置ベクトル・ベクトル方程式の公式をすべてまとめているので,ぜひ勉強の参考にしてください!

1. ベクトルの計算法則の公式一覧

ベクトルの加法

ベクトルの加法

【交換法則】 \( \vec{ a } + \vec{ b } = \vec{ b } + \vec{ a } \)

【結合法則】 \( ( \vec{ a } + \vec{ b } ) + \vec{ c } = \vec{ a } + ( \vec{ b } + \vec{ c } ) \)

逆ベクトルと零ベクトル

逆ベクトルと零ベクトル

  \( \vec{ a } + ( – \vec{ a } ) = \vec{ 0 } \)

 ② \( \vec{ a } + \vec{ 0 } = \vec{ a } \)

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍

\( k, \ l \) を実数とするとき

 ① \( k ( l \vec{ a } ) = ( kl ) \vec{ a } \)

 ② \( ( k+l ) \vec{ a } = k \vec{ a } + l \vec{ a } \)

 ③ \( l ( \vec{ a } + \vec{ b } ) = k \vec{ a } + + k \vec{ b } \)

ベクトルの平行条件

ベクトルの平行条件

\( \vec{ a } \neq \vec{ 0 } \),\( \vec{ b } \neq \vec{ 0 } \) のとき

\( \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \vec{ b } = k \vec{ a } \) となる実数 \( k \) がある

ベクトルの分解

ベクトルの分解

\( s, \ t, \ s’, \ t’ \) は実数とする。2つのベクトル \( \vec{ a } \),\( \vec{ b } \) は \( \vec{ 0 } \) ではなく,また平行ではないとき,任意のベクトル \( \vec{ p } \) は,次の形にただ1通りに表すことができる。

\( \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \)

また

\( s \vec{ a } + t \vec{ b } = s’ \vec{ a } + t’ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ s = s’, \ t = t’ \)

特に \( s \vec{ a } + t \vec{ b } = 0 \ \Longleftrightarrow \ s = t = 0 \)

 

2. ベクトルの成分の公式一覧

成分によるベクトルの演算

成分によるベクトルの演算

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

【和】

\( \begin{align}
\vec{ a } + \vec{ b } & = (a_1, \ a_2) + (b_1, \ b_2) \\
& = (a_1 + b_1, \ a_2 + b_2)
\end{align} \)

【差】

\( \begin{align}
\vec{ a } – \vec{ b } & = (a_1, \ a_2) – (b_1, \ b_2) \\
& = (a_1 – b_1, \ a_2 – b_2)
\end{align} \)

【実数倍】

\( k \vec{ a } = k (a_1, \ a_2) = (k a_1, \ k a_2) \)

ベクトルの成分と大きさ

ベクトルの成分と大きさ

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \) のとき

\( \color{red}{ |\vec{ a }| = \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } } \)

 

2点 \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) について

\( \displaystyle \overrightarrow{ AB } = ( b_1 – a_1, \ b_2 – a_2 ) \)

\( \displaystyle \color{red}{ |\overrightarrow{ AB }| = \sqrt{ (b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2 } } \)

ベクトルの平行条件

ベクトルの平行条件

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } \),\( \vec{ b } \) について

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } } \ & \Longleftrightarrow \ \vec{ b } = k \vec{ a } となる実数 k がある \\
& \color{red}{ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 }
\end{align} \)

 

3. ベクトルの内積の公式一覧

内積については「ベクトルの内積の全てを超わかりやすくまとめた(意味・公式・成分計算)」の記事で詳しく解説しているので,ぜひチェックしてください。

ベクトルの内積の全てを超わかりやすくまとめた(意味・公式・成分計算)

2019年1月29日

ベクトルの内積の定義

ベクトルの内積の定義

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a }, \ \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とすると,\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) の内積は

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta } } \)

内積と成分

内積と成分

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 } } \)

ベクトルのなす角

ベクトルのなす角の公式

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \ \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

内積と平行・垂直条件

内積と平行・垂直条件

\( \vec{ a } \neq 0 \),\( \vec{ b } \neq 0 \) で,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

【平行条件】

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0
\end{align} } \)

【垂直条件】

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\end{align} } \)

内積の性質

内積の性質

\( k \) は実数とする。

【内積の演算法則】

  \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a } \)

  \( \begin{cases}
\displaystyle ( \vec{ a } + \vec{ b } ) \cdot \vec{ c } = \vec{ a } \cdot \vec{ c } + \vec{ b } \cdot \vec{ c } \\
\vec{ a } \cdot ( \vec{ b } + \vec{ c } ) = \vec{ a } \cdot \vec{ b } + \vec{ a } \cdot \vec{ c }
\end{cases} \)

  \( \displaystyle \left( k \vec{ a } \right) \cdot \vec{ b } = \vec{ a } \cdot ( k \vec{ b } ) = k ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } ) \)

 

【ベクトルの大きさと内積】

  \( \displaystyle \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 \)

  \( \displaystyle \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } \)

  \( \displaystyle – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

空間のベクトルの内積の公式

空間のベクトルの内積

【内積の定義】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a }, \ \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とすると

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta } } \)

 

【内積と成分】

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2, \ a_3) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2, \ b_3) \) のとき

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 } } \)

 

【ベクトルのなす角の公式】

\( \large{ \color{red}{ \displaystyle \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } } } \)

\( \color{red}{ \displaystyle = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

 

【垂直条件】

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0
\end{align} } \)

 

4. ベクトルの三角形の面積公式

ベクトルの三角形の面積公式については「ベクトルの三角形の面積公式を超わかりやすく説明した」の記事で詳しく解説しているので,ぜひチェックしてください。

ベクトルの三角形の面積公式を超わかりやすく説明した

2019年1月29日
ベクトルの三角形の面積公式

\( \triangle OAB \) で,\( \overrightarrow{ OA } = \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) とすると,面積 \( S \) は

【ベクトル表示Ver.

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{ a } \right|^2 |\vec{ b }|^2 – ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 } } } \)

 

【成分表示Ver.

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ S = \frac{1}{2} |a_1 b_2 – a_2 b_1| } } \)

 

5. 位置ベクトルの公式一覧

位置ベクトルについては「位置ベクトルを超わかりやすく解説した(内分・外分・重心)」の記事で詳しく解説しているので,ぜひチェックしてください。

位置ベクトルを超わかりやすく解説した(内分・外分・重心)

2019年1月31日

内分点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトル

2点 \( A(\vec{ a }), \ B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABを \( m : n \) に内分する点Pの位置ベクトルを \( \vec{ p } \) とすると

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \vec{ p } = \frac{ n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m + n } } } \)

外分点の位置ベクトル

外分点の位置ベクトル

2点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \) を結ぶ線分ABを \( m : n \) に外分する点Qの位置ベクトルを \( \vec{ q } \) とすると

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \vec{ q } = \frac{ -n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ m – n } } } \)

 

三角形の重心の位置ベクトル

外分点の位置ベクトル

3点 \( A(\vec{ a }) \),\( B( \vec{ b } ) \),\( C( \vec{ c } ) \) を頂点とする△ABCの重心Gの位置ベクトル \( \vec{ g } \) は

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \vec{ g } = \frac{ \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }{ 3 } } } \)

 

6. ベクトル方程式の公式一覧

ベクトル方程式については「ベクトル方程式を超わかりやすく解説した」の記事で詳しく解説しているので,ぜひチェックしてください。

ベクトル方程式を超わかりやすく解説した

2019年2月4日

直線のベクトル方程式(共線条件)

直線のベクトル方程式の公式

直線上に任意の点Pの位置ベクトルを \( \vec{ p } \) とし,\( s \) と \( t \) を実数の変数とする。

【定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り,\( \vec{ d } \) に平行な直線】

\( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = a + t \vec{ d } } } \)

(\( \vec{ d } \) は直線の方向ベクトル)

 

 【異なる2点 \( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \) を通る直線】(共線条件)

\( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = (1-t) \vec{ a } + t \vec{ b } } } \)

または \( \large{ \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } } } \),\( \large{ \color{red}{ s + t = 1 } } \)

 

 【定点 \( A(\vec{ a }) \) を通り,ベクトル \( \vec{ n } \) に垂直な直線】

\( \large{ \color{red}{ \vec{ n } \cdot ( \vec{ p } – \vec{ a } ) = 0 } } \)

(\( \vec{ n } \) は直線の法線ベクトル)

ベクトルの終点の存在範囲

ベクトルの終点の存在範囲

\( \overrightarrow{ OA } = \vec{ a } \),\( \overrightarrow{ OB } = \vec{ b } \),\( \overrightarrow{ OP } = \vec{ p } \) とし,\( \color{red}{ \vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } } \) とする(\( s \),\( t \) は実数の変数)。
\( s \),\( t \) に条件があると,次のような図形を表す。

【直線AB

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s + t = 1
\end{cases} } \) は,直線ABを表す。

 

 【線分AB

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は,線分ABを表す。

 

 △OABの周と内部】

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s + t ≦ 1 \\
s ≧ 0 \\
t ≧ 0 \\
\end{cases} } \) は,△OABの周と内部を表す。

 

 【平行四辺形OACBの周と内部】

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ p } = s \vec{ a } + t \vec{ b } \\
0 ≦ s ≦ 1 \\
0 ≦ t ≦ 1 \\
\end{cases} } \) は,平行四辺形OACBの周と内部を表す。

円のベクトル方程式

円のベクトル方程式の公式

3つの定点を \( A(\vec{ a }) \),\( B(\vec{ b }) \),\( C(\vec{ c }) \) とし,円周上の任意の点を \( P(\vec{ p }) \) とする。

【中心C,半径rの円】

\( \large{ \color{red}{ |\vec{ p } – \vec{ c }| = r } } \)

(または \( \color{red}{ ( \vec{ p } – \vec{ c } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ c } ) = r^2 } \))

 

 【線分ABを直径とする円】

\( \large{ \color{red}{ ( \vec{ p } – \vec{ a } ) \cdot ( \vec{ p } – \vec{ b } ) = 0 } } \)

 

以上が数学Bのベクトルで学習する公式すべてです!

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