【数学的帰納法】証明法を例題でわかりやすく(不等式など)

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東大塾長の山田です。
このページでは、数学Bの「数学的帰納法」について解説します

今回は数学的帰納法の考え方・解き方を,大学受験で頻出の問題(等式・倍数・不等式・漸化式)を通して具体的に超わかりやすく解説していきます
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 数学的帰納法とは?超わかりやすく説明

漸化式では

[1]\( a_1 = 1 \)

[2]\( a_{n+1} = a_n + n \)(\( n = 1, 2, 3, \cdots \))

[1]をもとにして,[2]において \( n = 1, 2, 3, \cdots \) とすると

\( a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2 \)

\( a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4 \)

\( a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7 \)

\( \cdots \cdots \cdots\)

となり,\( a_1, \ a_2, \cdots, a_n, \cdots \) の値が1通りに定まります。

つまり,「初項 \( a_1 \)」と「\( a_k \) から \( a_{k+1} \) を求める規則」が与えられれば,すべての自然数 \( n \) について,\( a_n \) を定めることができます。

 

これと同じような考え方で,

自然数 \( n \) に関する命題 \( P \) がすべての自然数 \( n \) について成り立つことを証明したいときに

[1]\( n = 1 \) のとき \( P \) が成り立つ。

[2]\( n = k \) のとき \( P \) が成り立つと仮定すると,\( n = k+1 \) のときにも \( P \) が成り立つ。

この[1],[2]を示すことによって

  1. [1]から \( n=1 \) のとき \( P \) は成り立つ。
  2. ①と[2]から \( n = 1+1=2 \) のときも \( P \) は成り立つ。
  3. さらに,②と[2]から \( n = 2+1=3 \) のときも \( P \) は成り立つ。
  4. 同様に \( n = 4, 5, 6, \cdots \) のときにも \( P \) は成り立ち,結局すべての自然数 \( n \) について \( P \) は成り立つ。

ことがいえます。

このような証明法を 数学的帰納法 といいます。

 

まだピンときていなくても,問題を見ていけばイメージが湧くはずです!
さっそくいってみましょう!

2. 数学的帰納法の等式の証明問題

まずは1番スタンダードな「等式の証明問題」です。

例題1

\( n \) が自然数のとき,数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。

\( \displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 \\
\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) \cdots ① \)

【証明】

[1\( n = 1 \) のとき

\( \displaystyle (左辺) = 1^1 = 1 \)

\( \displaystyle (右辺) = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (1+1) (2 \cdot 1 + 1) = 1 \)

よって,\( n = 1 \) のとき①は成り立つ。

[2]\( n = k \) のとき,①が成り立つと仮定すると

\( \displaystyle \color{magenta}{ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 } \\
\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ = \color{magenta}{ \frac{1}{6} k (k+1) (2k+1) } \cdots ② \)

\( n = k+1 \) のときを考えると,②から

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{magenta}{ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 } + (k+1)^2 \\
\\
& = \color{magenta}{ \frac{1}{6} k (k+1) (2k+1) } + (k+1)^2 \\
\\
& = \frac{1}{6} (k+1) \left\{ k (2k+1) + 6 (k+1) \right\} \\
\\
& = \frac{1}{6} (k+1) (2k^2 + 7k + 6) \\
\\
& = \frac{1}{6} (k+1) (k+2) (2k+3) \\
\\
& = \frac{1}{6} (k+1) \left\{ (k+1) + 1 \right\} \left\{ 2 (k+1) + 1 \right\}
\end{align} \)

よって,\( n = k+1 \) のときにも①は成り立つ。

[1],[2]から,すべての自然数 \( n \) について①は成り立つ。

Point
  1. [1]\( n = 1 \) のときを証明する。
  2. [2]\( n = k \) のときを仮定し,\( n = k+1 \) のときを証明する。

[2]の証明では,\( n = k \) のとき成り立つと仮定した式を使って,\( n = k+1 \) のときの式変形をしていくのが定石です。

また,上の解答の赤字部分は,数学的帰納法の決まり文句です。答案はこの通りにつくっていけばOKです!

 

3. 数学的帰納法の倍数の証明問題

次は「▲の倍数であることを証明」する問題です。

例題2

\( n \) を自然数とするとき,\( \displaystyle 7^n – 2n – 1 \) が4の倍数であることを証明せよ。

Point

「\( N \) が▲の倍数である」ことを証明するときは,「\( N = ▲m \)(\( m \) は整数)」とおく。

そこから,「\( N \) が \( n = k+1 \) のときも ▲×(整数)」となることを証明していきます。

【証明】

「\( \displaystyle 7^n – 2n – 1 \) が4の倍数である」を①とする。

[1]\( n = 1 \) のとき

\( \displaystyle 7^1 – 2 \cdot 1 – 1 = 4 \)

よって,①は成り立つ。

[2]\( n = k \) のとき,①が成り立つと仮定すると

\( \displaystyle \color{magenta}{ 7^k – 2k – 1 = 4m(mは整数)} \cdots ② \)

\( n = k+1 \) のときを考えると,②から

\( \begin{align}
& \color{red}{ 7^{k+1} – 2(k+1) – 1 } \\
\\
& = 7 \cdot \color{magenta}{ 7^k } – 2(k+1) – 1 \\
\\
& = 7 ( \color{magenta}{ 4m + 2k + 1 } ) – 2(k+1) – 1 \\
\\
& = 28m + 12k + 4 \\
\\
& = \color{red}{ 4 ( 7m + 3k + 1 ) }
\end{align} \)

\( 7m + 3k + 1 \) は整数だから,\( 4 ( 7m + 3k + 1 ) \) は4の倍数である。
よって,\( n = k+1 \) のときにも①は成り立つ。

以上[1],[2]から,題意は示された。

 

4. 数学的帰納法の不等式の証明問題(入試問題)

続いて「不等式の証明問題」です。これは入試でも頻出です!
今回は2次関数とも絡めた入試実践レベルの問題を解説します。

例題3

\( n≧5 \) を満たす自然数 \( n \) に対して,次の不等式が成り立つことを証明せよ。

\( n^2 < 2^n \cdots ① \)

[2010 津田塾大]

Point

今回の問題のような大小関係 「\( N > M \) を証明する問題」では,差をつくり「\( N – M > 0 \)」を示せばよい

【証明】

[1]\( n = 5 \) のとき

\( \displaystyle (左辺) = 5^2 = 25 \)

\( \displaystyle (右辺) = 2^5 = 32 \)

よって,①は成り立つ。

[2\(  n = k (k≧5) \) のとき,①が成り立つと仮定すると

\( \color{magenta}{ k^2 < 2^k } \cdots ② \)

\( n = k+1 \) のときを考えると,②から

\( \begin{align}
2^{k+1} – (k+1)^2 & = 2 \cdot \color{magenta}{ 2^k } – (k+1)^2 \\
\\
& > 2 \cdot \color{magenta}{ k^2 } – (k+1)^2 \\
\\
& = k^2 – 2k – 1
\end{align} \)

\( (k+1)^2 < 2^{k+1} \)\( \ \Leftrightarrow \ 2^{k+1} – (k+1)^2 > k^2 – 2k – 1 > 0 \) を示したい。

ここで

\( \begin{align}
y & = k^2 – 2k – 1 (k≧5) \\
& = (k-1)^2 – 2(k≧5)
\end{align} \)

として考えると

上図より,\( k ≧ 5 \) のとき

\( k^2 – 2k – 1 ≧ 14 > 0 \)

よって

\( 2^{k+1} – (k+1)^2 > k^2 – 2k – 1 > 0 \)

\( ∴ \ 2^{k+1} > (k+1)^2 \)

よって,\( n = k+1 \) のときにも①は成り立つ。

[1],[2]から,\( n≧5 \) を満たすすべての自然数 \( n \) について①は成り立つ。

 

5. 数学的帰納法の漸化式の問題(入試問題)

さいごは,「漸化式から一般項を推測」→「数学的帰納法で証明する」問題です。
このパターンの問題はセンター試験でも頻出の重要な問題です!

例題4

数列 \( \left\{ a_n \right\} \) を,\( a_1 = 1 \),\( \displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n} (n = 1, 2, 3, \cdots)\)  により定める。

(1) \( a_2, \ a_3, \ a_4 \) をそれぞれ求めよ。

(2) 一般項 \( a_n \) を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。

[2012 愛知大]

【解答】

(1) \( \displaystyle \color{red}{ a_2 } = \frac{a_1}{1 + 3a_1} = \frac{1}{1 + 3 \cdot 1} \color{red}{ = \frac{1}{4} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ a_3 } = \frac{a_2}{1 + 3a_2} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + 3 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{4 + 3} \color{red}{ = \frac{1}{7} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ a_4 } = \frac{a_3}{1 + 3a_3} = \frac{\frac{1}{7}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{7}} = \frac{1}{7 + 3} \color{red}{ = \frac{1}{10} } \)

 

(2) \( \displaystyle \left\{ a_n \right\}:\frac{1}{1}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{7}, \ \frac{1}{10}, \cdots \)

より,分子は1,分母が初項1,公差3の等差数列となっているので

\( \displaystyle a_n = \frac{1}{1 + 3(n-1)} = \frac{1}{3n – 2} \cdots ① \)

と推測できる。

[1]\( n = 1 \) のとき

\( \displaystyle a_1 = \frac{1}{3 \cdot 1 – 2} = 1 \) より,①は成り立つ。

[2]\( n = k \) のとき,①が成り立つと仮定すると

\( \displaystyle \color{magenta}{ a_k = \frac{1}{3k – 2} } \cdots ② \)

\( n = k+1 \) のときを考えると,②から

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ a_{k+1} } & = \frac{\color{magenta}{ a_k }}{1 + \color{magenta}{ a_k }} \\
\\
& = \frac{\color{magenta}{ \frac{1}{3k – 2} }}{1 + 3 \cdot \color{magenta}{ \frac{1}{3k – 2} }} \\
\\
& = \frac{1}{(3k-2) + 3} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{3 (k+1) – 2} }
\end{align} \)

よって,\( n = k+1 \) のときにも①は成り立つ。

[1],[2]から,すべての自然数 \( n \) について①は成り立つ。

 

6. さいごに

以上が数学的帰納法の解説です。

数学的帰納法は

[1]\( n = 1 \) のとき \( P \) が成り立つ。

[2]\( n = k \) のとき命題 \( P \) が成り立つと仮定すると,\( n = k+1 \) のときにも命題 \( P \) が成り立つ。

この流れをおさえてしまえば簡単です!
今回解説した問題はどれも入試で頻出の問題ですので,必ずマスターして数学的帰納法の問題を得点源しましょう!

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