接弦定理まとめ(証明・逆の証明)

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東大塾長の山田です。
このページでは、接弦定理」について解説します

接弦定理とその証明を、イラスト付きで丁寧にわかりやすく解説していきます。また、接弦定理の逆についても解説します。
ぜひ参考にしてください!

1. 接弦定理とは?

まずは接弦定理とは何か説明します。

接弦定理

接線\( \mathrm{ AT } \)と弦\( \mathrm{ AB } \)が作る角\( \angle BAT \)は,その角の内部に含まれる弧\( \mathrm{ AB } \)に対する円周角\( \angle ACB \)と等しい。

 

接弦定理は\( \angle BAT \)が鋭角・直角・鈍角のいずれの場合でも成り立ちます

 

2. 接弦定理の証明

それでは、なぜ接弦定理が成り立つのか?証明をしていきます。

接線と弦が作る角\( \angle BAT \)が、鋭角・直角・鈍角それぞれの場合の証明をしていきます。

2.1 ∠BATが鋭角の場合

接線と弦が作る角\( \angle BAT \)が鋭角(\( \angle BAT < 90^\circ \))の場合から証明していきます。

まず、線分\( \mathrm{ AD } \)が円の直径となるように点\( \mathrm{ D } \)をとります。

すると、
円周角の定理から \( \color{red}{ \angle ACB = \angle ADB } \ \cdots ① \)

直径の円周角だから \( \angle ABD = 90^\circ \)
よって \( \color{red}{ \angle ADB = 90^\circ – \angle BAD } \ \cdots ② \)

また\( AT \)は円の接線だから \( \angle DAT = 90^\circ \)
よって \( \color{red}{ \angle BAT = 90^\circ – \angle BAD } \ \cdots ③ \)

②,③より \( \color{red}{ \angle ADB = \angle BAT } \ \cdots ④ \)

①,④より \( \large{ \color{red}{ \angle BAT = \angle ACB } } \)

となり、接弦定理が成り立つことが証明できました。

 

2.2 ∠BATが直角の場合

次は、接線と弦が作る角\( \angle BAT \)が直角(\( \angle BAT = 90^\circ \))の場合です。

これは超単純です。

直径の円周角だから \( \angle ACB = 90^\circ \ \cdots ① \)

\( AT \)は円の接線だから \( \angle BAT = 90^\circ \ \cdots ② \)

①,②より \( \large{ \color{red}{ \angle BAT = \angle ACB } } \)

となり、接弦定理が成り立つことが証明できました。

 

2.3 ∠BATが鈍角の場合

さいごは、接線と弦が作る角\( \angle BAT \)が鈍角(\( \angle BAT > 90^\circ \))の場合です。

接線\( \mathrm{ AT } \)の\( \mathrm{ T } \)とは反対側に\( \color{red}{ \mathrm{ T’ } } \)をとります。

\( \angle BAT’ < 90^\circ \)となるので、【2.1 鋭角の場合】と同様に
 \( \color{red}{ \angle BAT’ = \angle ADB } \ \cdots ① \)

また \( \angle BAT = 180^\circ – \color{red}{ \angle BAT’ } \ \cdots ② \)

円に内接する四角形の性質より
 \( \angle ACB = 180^\circ – \color{red}{ \angle ADB } \ \cdots ③ \)

①,②,③より

 \( \large{ \color{red}{ \angle BAT = \angle ACB } } \)

となり、接弦定理が成り立つことが証明できました。

 

したがって、接線と弦が作る角\( \angle BAT \)が、鋭角・直角・鈍角どの場合でも接弦定理が成り立つことが証明できました

 

3. 接弦定理の逆とその証明

接弦定理はその逆も成り立ちます。
(接弦定理の逆は入試で使うことはほぼ使うことはないので、知っておく程度でよいです。)

3.1 接弦定理の逆

接弦定理の逆

円\( \mathrm{ O } \)の弧\( \mathrm{ AB } \)と半直線\( \mathrm{ AT } \)が直線\( \mathrm{ AB } \)の同じ側にあって,弧\( \mathrm{ AB } \)に対する円周角\( \angle ACB \)が\( \angle BAT \)と等しいとき,直線\( \mathrm{ AT } \)は点\( \mathrm{ A } \)で円\( \mathrm{ O } \)に接する。

3.2 接弦定理の逆の証明

点\( \mathrm{ A } \)を通る円\( \mathrm{ O } \)の接線上に点\( \mathrm{ T’ } \)を,\( \angle BAT’ \)が弧\( \mathrm{ AB } \)を含むように取ります。

このとき,接弦定理より
 \( \color{red}{ \angle ACB = \angle BAT’ } \ \cdots ① \)

また,仮定より
 \( \color{red}{ \angle ACB = \angle BAT } \ \cdots ② \)

①,②より \( \color{red}{ \angle BAT’ = \angle BAT } \)

よって,直線\( \mathrm{ AT } \)と直線\( \mathrm{ AT’ } \)は一致するといえます。

したがって,直線\( \mathrm{ AT } \)は点\( \mathrm{ A } \)で円\( \mathrm{ O } \)に接することが証明できました。

 

4. 接弦定理のまとめ

以上が接弦定理の解説です。しっかり理解できましたか?

接弦定理は角度を求めるときに大活躍するとても便利な定理です。必ず覚えておきましょうね!

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