循環小数の表し方・分数に変換する方法

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東大塾長の山田です。
このページでは、「循環小数の表し方・分数に変換する方法」について解説します

「循環小数とは何なのか?どうやって表すのか?」についてしっかり解説しつつ、
具体的に問題を解きながら、「循環小数を分数に変換する方法」を、丁寧に分かりやすく解説しています

「循環小数を分数に変換する方法」を手っ取り早く知りたい方は、「3. 循環小数を分数で表す方法」からご覧ください。

それでは、この記事を最後まで読んで、ぜひ循環小数の問題をマスターしてください!

1. 循環小数とは?

まずは、「循環小数とは何か?」について解説します。

循環小数とは、「いくつかの数字の配列が無限に繰り返される小数」のことです。

 

具体的には、次のような小数です。

循環小数の例
  • \( 0.333333 \cdots \)
  • \( 1.03030303 \cdots \)
  • \( 0.148148148 \cdots \) 

\( 0.333333 \cdots \)は、小数点以下の「3」が無限に続いていますね。

\( 1.03030303 \cdots \)は、「03」というかたまりが、無限に続いています。

\( 0.148148148 \cdots \)は、「148」というかたまりが、無限に続いています。

 

このような小数が、循環小数です。

 

2. 循環小数の表し方

次は、循環小数の表し方について解説していきます。

 

循環小数は、循環する部分の最初と最後の数字の上に「・」をつけて表します

循環している数字が1つの場合は、その数字の上に「・」をつけます

 

先ほどの例の循環小数を表してみると、次のようになります。

循環小数の例
  • \( 0.333333 \cdots = 0.\dot{3} \)
  • \( 1.03030303 \cdots = 1.\dot{0} \dot{3} \)
  • \( 0.148148148 \cdots = 0.\dot{1}4\dot{8} \)

以上が循環小数と、循環小数の表し方の解説です。

もう一度、循環小数の表し方をまとめておきます。

環小数の表し方まとめ

  • 循環部分が1つ…その数字の上に「・」をつける。
    【例】\( 0.333333 \cdots = 0.\dot{3} \)
  • 循環部分が2つ以上…循環部分の最初と最後に「・」をつける。
    【例】\( 0.148148148 \cdots = 0.\dot{1}4\dot{8} \)

 

3. 循環小数を分数に変換する方法

ここからは、循環小数を分数に変換する方法を、問題を解きながら解説していきます。

3.1 例題①

例題①

\( 0.\dot{7} \)を分数で表せ。

まず、循環小数を\( x \)とします

\[ x = 0.77777 \cdots \]

 

次に、小数部分を同じにするために、
ループ(循環)している桁数分だけずらしてあげます。

今回であれば1桁分、つまり\( x \)を10倍します。

\[ 10x = 7.77777 \cdots \]

 

すると、\( 10x \)と\( x \)の小数部分が、「(無限に続くが)“全く同じ”」になりますよね

ということは、両辺をそれぞれ引き算をしてあげると、小数点以下がすべて消えるという、ナイスなことが起こります!

\[
\begin{align}
よって、9x & = 7 \\
\\
\Leftrightarrow \ \ x & = \frac{7}{9} \\
\\
∴0.\dot{7} & = \frac{7}{9}
\end{align}
\]

となり、循環小数を分数に変換することができました。

 

もう一度、解答をまとめておきます。

解答

 

3.2 例題②

例題②

\( 0.\dot{2}\dot{7} \)を分数で表せ。

まずは、例題①と同様に、循環小数を\( x \)とします。

\[ x = 0.272727 \cdots \]

 

今回は、ループ(循環)している部分が2桁分です。

なので、2桁分ずらしてあげるために、100倍(\( 10^2 \)倍)します。

\[ 100x = 27.272727 \cdots \]

 

小数部分が同じになったので、引き算をしてあげると、きれいになります。

\[
\begin{align}
よって、99x & = 27 \\
\\
\Leftrightarrow \ \ x & = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \\
\\
∴0.\dot{2}\dot{7} & = \frac{3}{11}
\end{align}
\]

今回のように、\( \displaystyle x = \frac{27}{99}\)となり、分数が約分できることがあるので、注意が必要です

 

それでは、解答をまとめておきましょう。

解答

 

3.3 例題③

例題③

\( 1.\dot{4}3\dot{2} \)を分数で表せ。

まずは、例のごとく、循環小数を\( x \)とします。

\[ x = 1.432432 \cdots \]

 

今回は、ループ(循環)している部分が3桁分です。

なので、3桁分ずらしてあげるために、1000倍(\( 10^3 \)倍)します。

\[ 1000x = 1432.432432 \cdots \]

 

小数部分が同じになったので、引き算をしてあげると、きれいになります。

\[
\begin{align}
よって、999x & = 1431 \\
\\
\Leftrightarrow \ \ x & = \frac{1431}{999} = \frac{53}{37} \\
\\
∴1.\dot{4}3\dot{2} & = \frac{53}{37}
\end{align}
\]

今回も約分ができましたね。
必ず注意をしておきましょう。

 

もう一度、解答をまとめておきます。

解答

 

4. 循環小数の表し方・分数に変換する方法まとめ

最後に、「循環小数の表し方」と、「循環小数を分数に変換する方法」をまとめておきます。

循環小数の表し方まとめ

  • 循環部分が1つ…その数字の上に「・」をつける。
    【例】\( 0.333333 \cdots = 0.\dot{3} \)
  • 循環部分が2つ以上…循環部分の最初と最後に「・」をつける。
    【例】\( 0.148148148 \cdots = 0.\dot{1}4\dot{8} \)
循環小数を分数に変換する方法まとめ

  1. 循環小数を\( x \)する。
  2. 小数部分が同じになるように、10倍や100倍する。
  3. 引き算をして、方程式を解く。

以上が、循環小数の表し方・分数に変換する方法の解説です。
しっかりと理解できましたか?

循環小数を分数に変換する方法は、やり方を理解すればとても単純です。
必ずマスターしておきましょう!

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