「命題」とは?真偽と逆・裏・対偶をわかりやすく説明してみた

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東大塾長の山田です。
このページでは、「命題」とその基本事項、逆・裏・対偶について、順を追ってわかりやすく解説していきます

命題の分野は、大学受験では頻出問題です。
実際、センター試験ではほぼ毎年命題が大問1つ分出題されています。

このページを最後まで読んで、命題の用語や考え方をしっかりと理解して、命題をマスターしましょう!

1. 命題とは?

命題とは、正しいか正しくないかが明確に決まる文や式のことです。

以下の4つの例で、具体的に解説します。

  1. A君は日本人である。
  2. 10000は大きい数字である。
  3. 3は1より大きい。
  4. 1は3より大きい。

 

まず、「① A君は日本人である」は命題です

これは国籍をチェックすれば、“Yes”か“No”かはっきりわかります。
ですので、「①A君は日本人である」は命題となります。

 

次の、「② 10000は大きい数字である」は命題ではありません

なぜなら、何に対して“大きい”のか、わからないからです。
「10000」は、“1”に対しては大きいですが、“100万”に対しては小さいです。
ですので、「② 10000は大きい数字である」という文は、正しいか正しくないか判断できないので、命題ではありません。

 

次の、「③ 3は1より大きい」は命題です

これは常に正しいといえるので、命題となります。

 

では、「④ 1は3より大きい」はどうでしょうか?

これも命題となります
「1は3より大きい」というのは、間違っています。
正しくないと明確に決まるので、「④ 1は3より大きい」は命題となります。

 

命題とは?

  • 命題正しいか正しくないかが、明確に決まる文や式のこと。その文や式が正しくとも、正しくなくとも、明確に決まれば、その文や式は命題となる。

 

2. 命題の真偽とは?

命題が正しいとき、その命題は(しん)であるといいます。
命題が正しくないとき、その命題は(ぎ)であるといいます。

先ほどの例では、

  • 「3は1より大きい」…
  • 「1は3より大きい」…

となります。

命題の真偽

  • 命題が正しいときである
  • 命題が正しくないときである

という。

 

3. 命題の仮定と結論

命題「\( p \)ならば\( q \)」を「\( p \Rightarrow q \)」とも書きます

このとき、\( p \)仮定、\( q \)を結論といいます。

 

例えば、

\[ \large{ x=3 \Rightarrow x^2=9 } \]

という命題では、「\( x=3 \)」が仮定「\( x^2=9 \)」が結論となります。

 

4. 条件と集合の関係

条件\( p \)を満たすものの全体の集合を\( P \)、条件\( q \)を満たすものの全体の集合を\( Q \)とします。

 

命題「\( p \Rightarrow q \)」が真であるとき、条件\( p \)を満たすものは、必ず条件\( q \)を満たすことになります。

つまり、\( P \)は\( Q \)に含まれている(\( P \subset Q \))となります。

 

また、命題「\( p \Rightarrow q \)」が偽であるとき、\( P \subset Q \)が成り立たないということになります。

つまり、\( P \)の中に、条件\( q \)を満たさない要素(\( Q \)の外にある要素)があるということになります。

 

図の色付けた部分(\( P \cap \overline{Q} \))の、仮定\( p \)を満たすが、結論\( q \)を満たさないものを、この命題の反例といいます。

 

具体的に例を挙げて解説します。

例1

\[ \large{ x=3 \Rightarrow x^2=9 } \]

\( x=3 \)のとき、\( x^3=9 \)となるので、この命題は真です。

 

ここで、仮定「\( x=3 \)」を満たす集合を\( P \)とすると、\( P \)は\( x=3 \)となります。

一方、結論「\( x^2=9 \)」を満たす集合を\( Q \)とすると、\( Q \)は\( x=-3,3 \)となります。

 

よって、下のようにベン図で表すと、集合\( P \)が集合\( Q \)に含まれることがわかります。

 

例2

\( n \)は素数である \( \Rightarrow \) \( n \)は奇数である

仮定「\( n \)は素数である」を満たす集合を\( P \)とすると、\( P \)は\( n=2,3,5,7,11, \cdots \)となります。

一方、結論「\( n \)は奇数である」を満たす集合を\( Q \)とすると、\( Q \)は\( n=-1,3,5,7,9, \cdots \)となります。

 

よって、集合\( P \)と集合\( Q \)の関係は下のベン図のようになります。

 

反例は「\( n=2 \)」となります。

 

5. 条件の否定とは?

次は「否定」について解説していきます。

5.1 否定の意味と表し方

条件\( p \)に対して、\( p \)でない」条件を「\( p \)否定」といい、\( \overline{p} \)で表します

 

例えば、「\( x \)は奇数である」の否定は、「\( x \)は奇数でない」、すなわち「\( x \)は偶数である」となります。

否定の例
  • 「\( x \)は奇数である」の否定は、「\( x \)は奇数でない」、すなわち「\( x \)は偶数である」
  • 「\( x = 1\)」の否定は、「\( x = 1 \)でない」、すなわち「\( x \neq 1 \)」
  • 「\( x ≧ 2\)」の否定は、「\( x ≧ 2 \)でない」、すなわち「\( x \lt 2 \)」

 

5.2 「かつ」と「または」の否定

「かつ」と「または」の否定についての解説です。

 

「\( p \)かつ\( q \)」の否定、つまり「 \( \overline{ pかつq } \) 」は「\( \overline{p} \)または\( \overline{q} \)」と同値になります。

「\( p \)または\( q \)」の否定、つまり「 \( \overline{ pまたはq } \) 」は「\( \overline{p} \)かつ\( \overline{q} \)」と同値になります。

 

これはド・モルガンの法則と同じ考え方です。

ド・モルガンの法則の解説|証明と3つの場合

2018年11月8日

「否定すると、「かつ」と「または」が入れ替わる」と覚えておきましょう

 

例えば、「\( x \gt 0 \)かつ\( y ≦ 0 \)」の否定は、「\( x ≦ 0 \)かつ\( y \gt 0 \)」となります。

「かつ」と「または」の否定の例
  • 「\( x \gt 0 \)かつ\( y ≦ 0 \)」の否定は、「\( x ≦ 0 \)または\( y \gt 0 \)」
  • 「\( x ≧ 5 \)または\( x \lt -2 \)」の否定は、「\( x \lt 5 \)かつ\( x ≧ -2 \)」、すなわち「\( -2 ≦ x \lt 5 \)」
  • 「\( x=y=o \)」の否定は、「\( x=0 \)かつ\( y=0 \)」の否定なので、「\( x \neq 0 \)または\( y \neq 0 \)」
「かつ」と「または」の否定

\[ \large{ \overline{ pかつq } \iff \overline{p} または \overline{q} } \]

\[ \large{ \overline{ pまたはq } \iff \overline{p} かつ\overline{q} } \]

否定すると、「かつ」と「または」が入れ替わる

 

5.3 「すべて」と「ある」の否定

「すべて」と「ある」の否定についての解説です。

 

すべて\( x \)について\( p \)である」の否定は、「ある\( x \)について\( \overline{ p } \)である」となります。

また、「ある\( x \)について\( p \)である」の否定は、「すべて\( x \)について\( \overline{ p } \)である」となります。

 

つまり、「『すべて』と『ある』の否定」では、\( p \)と\( \overline{ p } \)・「すべて」と「ある」が入れ替わります

 

例えば、
すべての実数\( x \)について \( x^2 ≧ 0 \)」の否定は、
ある実数\( x \)について \( x^2 \lt 0 \)」となります。

「すべて」と「ある」の否定の例
  • 「すべての実数\( x \)について \( x^2 ≧ 0 \)」の否定は、「ある実数\( x \)について\( x^2 \lt 0 \)」
  • 「少なくとも1つの自然数\( x \)について \( x^2+2x-3=0 \)」の否定は、「すべての自然数\( x \)について \( x^2+2x-3 \neq 0 \)」

 

補足を加えておくと、「すべて」と「ある」の否定では、もとの命題とその否定では、必ず真偽が入れ替わります。

つまり、もとの命題が真であるなら、その否定は偽になり、
もとの命題が偽であるなら、その否定は真になります。

「すべて」と「ある」の否定

  • \( \overline{すべてのxについてp} \) \( \longrightarrow \) ある\( x \)について\( \overline{ p } \)
  • \( \overline{あるxについてp} \) \( \longrightarrow \) すべての\( x \)について\( \overline{ p } \)

「\( p \)」と「\( \overline{ p } \)」、「すべて」と「ある」が入れ替わる

 

6. 命題の逆・裏・対偶をわかりやすく解説

次は、命題の「逆」「裏」「対偶」について解説します。

6.1 逆・裏・対偶とは?

命題「\( p \Rightarrow q \)」に対して、

  • 「\( p \Rightarrow q \)」を逆
  • 「\( \overline{p} \Rightarrow \overline{q} \)」を裏
  • 「\( \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \)」を対偶

といいます。

 

具体的に例を挙げてみます。

逆・裏・対偶の例

命題「\( x=2 \)ならば\( x^2=4 \)」の逆・裏・対偶は

  • 逆:「\( x^2=4 \)ならば\( x=2 \)」
  • 裏:「\( x \neq 2 \)ならば\( x^2 \neq 4 \)」
  • 対偶:「\( x^2 \neq 4 \)ならば\( x \neq 2 \)」

となります。

 

6.2 逆・裏・対偶の真偽

逆・裏・対偶で重要なポイントとして、「命題の真偽とその対偶の真偽は一致する」ということです。

 

つまり

  • 「『\( p \Rightarrow q \)』が真なら、対偶である『\( q \Rightarrow p \)』も真」
  • 「『\( p \Rightarrow q \)』が偽なら、対偶である『\( q \Rightarrow p \)』も偽」

となります。

しかし、命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致しませんので注意して下さい。

 

これらのことは、ベン図でも確認することができます。

条件\( p \)を満たすものの全体の集合を\( P \)、条件\( q \)を満たすものの全体の集合を\( Q \)とすると

\[ \begin{align}
p \Rightarrow q が真 & \Leftrightarrow P \subset Q \\
\\
& \Leftrightarrow \overline{Q} \subset \overline{P} \\
\\
& \Leftrightarrow \overline{q} \subset \overline{p}
\end{align} \]

 

しかし、\( P \subset Q \)であっても、必ずしも\( Q \subset P \)とは限りません。

したがって、命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致しません。

 

また、命題の逆と裏は、対偶の関係になっています。

したがって、ある命題の逆と裏の真偽は一致します

 

以上のことを、先ほどの例で確認をしてみましょう。

逆・裏・対偶の例
  • 命題:「\( x=2 \)ならば\( x^2=4 \)」…真
  • 逆:「\( x^2=4 \)ならば\( x=2 \)」…偽
  • 裏:「\( x \neq 2 \)ならば\( x^2 \neq 4 \)」…偽
  • 対偶:「\( x^2 \neq 4 \)ならば\( x \neq 2 \)」…真

命題:「\( x=2 \)ならば\( x^2=4 \)」は、\( x=2 \)を\( x^2 \)に代入すると\( x^2=4 \)となるので、真となります。

 

逆:「\( x^2=4 \)ならば\( x=2 \)」は、\( x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2\)となるので、偽となります。(反例:\( x=-2 \))

 

裏:「\( x \neq 2 \)ならば\( x^2 \neq 4 \)」は、\( x=-2 \)のとき\( x^2=4 \)となるので、偽となります。(反例:\( x=-2 \))

 

対偶:「\( x^2 \neq 4 \)ならば\( x \neq 2 \)」は、明らかに真です。

 

したがって

  • もとの命題と対偶の真偽が一致
  • 逆と裏の真偽が一致

することが確認できました。

 

7. 命題の重要事項まとめ

さいごに、今回解説したことをすべてまとめておきます。

命題の基本事項まとめ

  • 命題正しいか正しくないかが、明確に決まる文や式のこと。その文や式が正しくとも、正しくなくとも、明確に決まれば、その文や式は命題となる。
  • 命題の真偽…命題が正しいとき、その命題は(しん)であるといい、正しくないとき(ぎ)であるという。
  • 仮定と結論…命題「\( p \)ならば\( q \)」を\( p \Rightarrow q \)とも書き、\( p \)を仮定、\( q \)を結論という。
  • 反例…\( P \cap \overline{Q} \)の、仮定\( p \)を満たすが、結論\( q \)を満たさないもののこと。

 

否定のまとめ

  • 否定…条件\( p \)に対して、「\( p \)でない」条件を\( p \)否定といい、\( \overline{p} \)で表す。
  • 「かつ」と「または」の否定
    • \[ \overline{ pかつq } \iff \overline{p} または \overline{q} \]
    • \[ \overline{ pまたはq } \iff \overline{p} かつ \overline{q} \]

否定すると、「かつ」と「または」が入れ替わる

  • 「すべて」と「ある」の否定
    • \( \overline{すべてのxについてp} \) \( \longrightarrow \) ある\( x \)について\( \overline{ p } \)
    • \( \overline{あるxについてp} \) \( \longrightarrow \) すべての\( x \)について\( \overline{ p } \)

「\( p \)」と「\( \overline{ p } \)」、「すべて」と「ある」が入れ替わる

逆・裏・対偶のまとめ

  • 命題「\( p \Rightarrow q \)」に対して
    • …「\( p \Rightarrow q \)」
    • …「\( \overline{p} \Rightarrow \overline{q} \)」
    • 対偶…「\( \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \)」
  • 命題の真偽とその対偶の真偽は一致する
  • 命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致しない。

以上が命題の基本事項と、逆・裏・対偶の解説です。
冒頭でも述べた通り、命題は大学受験で頻出問題です。

命題の意味と考え方をしっかりと理解して、命題をマスターしてくださいね!

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