ド・モルガンの法則の解説|証明と3つの場合

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東大塾長の山田です。
このページでは、「ド・モルガンの法則」とその証明について、わかりやすく解説していきます。

ド・モルガンの法則は、式変形の途中で使ったり、ド・モルガンの法則を使うことで、集合の証明問題を楽に解けることがあります
ですので、必ずマスターしておく必要があります

このページを最後まで読み、ド・モルガンの法則をよく理解して、集合の問題を得点源にしてください!

1. ド・モルガンの法則をわかりやすく解説

それでは、さっそくド・モルガンの法則について解説していきます。

1.1 ド・モルガンの法則とは?

集合では、次の規則性が成り立ちます。

ド・モルガンの法則

\( \large{ \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} } \)

\( \large{ \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} } \)

「\( A \cup B \)」は\( A \)と\( B \)の和集合,「\( A \cap B \)」は\( A \)と\( B \)の共通部分,「\( \overline{A} \)」は\( A \)の補集合を表します。

これをド・モルガンの法則といいます。

 

1.2 ド・モルガンの法則をベン図で証明

論理式だけではピンと来ない人でも、ベン図を使うと簡単に理解することができます。

\( \large{ \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} } \)

の式からみていきましょう。

 

まず左辺の \( \overline{ A \cup B } \) から考えます。

\( A \cup B \) を図で表すと、下の図1の左のようになります。
となると、\( \overline{ A \cup B } \) は図1の右のようになります。

 

一方、右辺の \( \overline{A} \cap \overline{B} \) は、\( \overline{A} \) と \( \overline{B} \) の共通部分なので、下の図2の右のようになります。

 

よって、図1・図2から、

\( \large{ \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} } \)

が成り立つことがわかります。

 

同様に、

\( \large{ \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} } \)

の式もみていきましょう。

 

まず、左辺の \( \overline{ A \cap B } \) から考えます。

\( A \cap B \) を図で表すと、下の図4の左のようになります。
となると、\( \overline{ A \cap B } \) 図4の右のようになります。

 

一方、右辺の \( \overline{A} \cup \overline{B} \) は、
\( \overline{A} \) と \( \overline{B} \) の和集合なので、下の図5の右のようになります。

 

よって、図4・図5から、

\( \large{ \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} } \)

が成り立つことがわかります。

 

ド・モルガンの法則が成り立つのは、納得できたと思います。

 

1.3 ド・モルガンの法則を論理式で証明

次は、ド・モルガンの法則を論理式で証明をしていきます。

 

集合の証明では、

「\( A = B \)」を証明するには、「\( A \subset B \) かつ \( B \subset A \)」が成り立つことを示せばよいです。

 

「\( A \subset B \)」を証明するには、「\( x \in A \) ならば \( x \in B \)」を示せばよいです。

 

つまり、「\( A = B \)」を証明するには、「『\( x \in A \) ならば \( x \in B \)』かつ『\( x \in B \) ならば \( x \in A \)』」を示せばよいです。

集合の証明のやり方

  • \(A \subset B \)の証明方法 \( \cdots x \in A \ ならば \ x \in B \)
  • \( A = B \) の証明方法 \( \cdots A \subset B \ かつ \ B \subset A \)

 

それでは、ド・モルガンの法則

\( \large{ \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} } \)

の証明をしていきます。

ド・モルガンの法則の証明

\( \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)は、

\( \overline{ A \cup B } \subset \overline{A} \cap \overline{B} \) かつ \( \overline{A} \cap \overline{B} \subset \overline{ A \cup B } \)

を示せばよい。

 

(i) \( \overline{ A \cup B } \subset \overline{A} \cap \overline{B} \)

\( x \in \overline{ A \cup B } \) とすると、\( x \notin A \cup B \)

つまり、\( x \) は \( A \) にも \( B \) にも属さないので、

 \( x \notin A \) かつ \( x \notin B \)

ゆえに、\( x \in \overline{A} \) かつ \( x \in \overline{B} \)

よって、\( x \in \overline{A} \cap \overline{B} \)

したがって、\( \overline{ A \cup B } \subset \overline{A} \cap \overline{B} \)

 

(ii) \( \overline{A} \cap \overline{B} \subset \overline{ A \cup B } \)

\( x \in \overline{A} \cap \overline{B} \) とすると、\( x \in \overline{A} \)かつ\( x \in\overline{B} \)

ゆえに、\( x \notin A \) かつ \( x \notin B \)

よって、\( x \notin A \cup B \) となるので、

 \( x \in \overline{ A \cap B } \)

したがって、\( \overline{A} \cap \overline{B} \subset \overline{ A \cup B } \)

 

(i),(ii)より、\( \overline{ A \cup B } \subset \overline{A} \cap \overline{B} \) かつ \( \overline{A} \cap \overline{B} \subset \overline{ A \cup B } \)であるから、\( \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)

以上のように証明ができました。

 

\( \large{ \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} } \)

もほぼ同じように証明ができます(ここでは省略します)。

 

1.4 ド・モルガンの法則を例題で確認

次は、具体的に例題をやってみて、ド・モルガンの法則が成り立つか確認してみます。

例題

\( U = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} \) を全体集合とする。\( U \) の部分集合 \( A = \{ 1,2,3,5,7 \} \),\( B = \{ 3,4,5,9 \} \) について,次の集合を求めよ。

(1) \( \overline{A} \)      (2) \( \overline{B} \)

(3) \( \overline{A} \cap \overline{B} \)    (4) \( \overline{A} \cup \overline{B} \)

(5) \( \overline{ A \cup B } \)    (6) \( \overline{ A \cap B } \)

集合の要素を求める問題では、ベン図をかいて条件を整理しましょう。

 

ベン図をかくポイントは、

ベン図のかき方のPoint
  1. \( A,B \)両方に属する要素(\( A \cap B \))
  2. \( A \)だけに属する要素(\( A \cap \overline{B} \))
  3. \( B \)だけに属する要素(\( \overline{A} \cap B \))
  4. \( A,B \)どちらにも属さない要素(\( \overline{A} \cap \overline{B} \))

の順でかいていくことです。

 

それでは、かいたベン図から解答をバンバン答えていきます。

解答

(1) \( \overline{A} = \{ 4,6,8,9 \} \)

(2) \( \overline{B} = \{ 1,2,6,7,8 \} \)

(3) \( \overline{A} \cap \overline{B} = \{ 6,8 \} \)

(4) \( \overline{A} \cup \overline{B} = \{ 1,2,4,6,7,8,9 \} \)

(5) \( \overline{ A \cup B } = \{ 6,8 \} \)

(6) \( \overline{ A \cap B } \{ 1,2,4,6,7,8,9 \} \)

 

(3)と(5),(4)と(6)の結果から、

ド・モルガンの法則

\( \large{ \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} } \)

\( \large{ \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} } \)

が成り立つことがわかります。

 

1.5 3つの集合の場合のド・モルガンの法則

ここまで2つの集合の場合で解説をしてきましたが、ド・モルガンの法則は、3つの集合の場合でも成り立ちます。

3つの集合の場合のド・モルガンの法則

\( \large{ \overline{ A \cup B \cup C } = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} } \)

\( \large{ \overline{ A \cap B \cap C } = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} } \)

 

もっというと、集合がいくつあってもド・モルガンの法則は成り立ちます。

ド・モルガンの法則の一般化

\( \overline{ A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n } = \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap \cdots \cap \overline{A_n} \)

\( \overline{ A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n } = \overline{A_1} \cup \overline{A_2} \cup \cdots \cup \overline{A_n} \)

 

2. ド・モルガンの法則まとめ

さいごに、もう一度「ド・モルガンの法則」と、集合の証明のやり方についてまとめておきます。

集合の証明のやり方

  • \(A \subset B の証明方法 \cdots x \in A \ ならば \ x \in B \)
  • \( A = B の証明方法 \cdots A \subset B \ かつ \ B \subset A \)
ド・モルガンの法則

\( \large{ \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} } \)

\( \large{ \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B} } \)

「\( A \cup B \)」は \( A \) と \( B \) の和集合,「\( A \cap B \)」は \( A \) と \( B \) の共通部分,「\( \overline{A} \)」は \( A \) の補集合を表します。

 

また、ド・モルガンの法則は3つ以上の集合の場合でも成り立ちます。

3つの集合の場合のド・モルガンの法則

\( \large{ \overline{ A \cup B \cup C } = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} } \)

\( \large{ \overline{ A \cap B \cap C } = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} } \)

以上がド・モルガンの法則の解説です。

入試では式変形の途中でド・モルガンの法則を使うことがあります。
また、ド・モルガンの法則を使うことで、集合の証明問題を楽に解ける(使わなきゃきつい)ことがあります。

ド・モルガンの法則の論理をしっかり理解して、集合の問題で確実に得点できるようにしてくださいね!

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