部分分数分解の公式・やり方と分数数列の和の求め方

東大塾長の山田です。
このページでは、「部分分数分解と分数数列の和の求め方」について解説します

今回は部分分数分解の公式まとめとやり方,そこから「数学B数列」の分数数列の和の求め方を,具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 部分分数分解とは?

まずは部分分数分解とは何か?このことについて確認しましょう。

部分分数分解とは,「分数を2項以上の分数の和や差の形に変形すること」です。

【例】

\( \displaystyle ・ \frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)

\( \displaystyle ・ \frac{1}{x (x+1)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x-1} \)

\( \displaystyle ・ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} – \frac{1}{2n+1} \right) \)

このように分数を和・差の形に変形することを「部分分数分解する」といいます。

部分分数分解のやり方は「3. 部分分数分解のやり方」で解説します。

 

2. 部分分数分解の公式まとめ

部分分数分解の公式(パターン)をまとめます。

部分分数分解の公式

\( \displaystyle 1. \ \color{red}{ \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{A}{x+a} + \frac{B}{x+b} } \)

\( \displaystyle 2. \ \color{red}{ \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} } \)

\( \displaystyle 3. \ \frac{px+q}{(ax+b)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} \)

\( \displaystyle 4. \ \frac{1}{(ax+b)^2 (cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \frac{C}{cx+d} \)

\( \displaystyle 5. \ \frac{px^2 + qx + r}{(ax+b) (cx^2 + dx + e)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{Bx+C}{cx^2 + dx + e} \)

数列や積分でこの部分分数分解を利用しますが,上の公式①と②あたりを理解しておけばOKです。

これらのやり方を次で解説していきます。

 

3. 部分分数分解のやり方

部分分数分解の基本のやり方は,恒等式を利用することです

部分分数分解のやり方
  1. まずは公式の形に変形
  2. 通分する
  3. 分子を整理して恒等式をつくる

この手順で,先ほどの例で具体的にやってみましょう。

【例1】

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{x (x+1)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x-1} } \)

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{ \color{red}{ 1 } }{x (x+1)} & = \color{blue}{ \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} } \ (←公式の形に変形)\\
\\
& = \frac{A (x+1) + B x }{x (x+1)} \ (←通分する)\\
\\
& = \frac{ \color{red}{ (A+B)x + A } }{ x (x+1) }\ (←分子を整理)
\end{align} \)

(\( x \neq 0, \ -1 \) のとき)左辺と右辺は等しいので

\( \color{red}{ 1 = (A+B)x + A } \)

したがって

\( A+B=0, \ \ A=1 \)

∴ \( A = 1, \ \ B = -1 \)

A,Bが求まったので,もとの式に代入して

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{x (x+1)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x-1} } \)

と部分分数分解をすることができました。

 

もうひとつやってみましょう。

 

【例2】

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} – \frac{1}{2n+1} \right) } \)

例1と同じ流れでやっていきます。

\( \begin{align}
\frac{ \color{red}{ 1 } }{(2n-1)(2n+1)} & = \color{blue}{ \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} } \\
\\
& = \frac{A (2n+1) + B (2n-1) }{ (2n-1) (2n+1) } \\
\\
& = \frac{ \color{red}{ (2A + 2B) n + (A – B) } }{ (2n-1) (2n+1) }
\end{align} \)

(\( \displaystyle n \neq \pm \frac{1}{2} \) のとき)左辺と右辺は等しいので

\( \color{red}{ 1 = (2A + 2B) n + (A – B) } \)

したがって

\( 2A + 2B = 0, \ \ A – B = 1 \)

∴ \( \displaystyle A = \frac{1}{2}, \ \ B = – \frac{1}{2} \)

A,Bが求まったので,もとの式に代入して

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} } & = \frac{ \frac{1}{2} }{2n-1} + \frac{ – \frac{1}{2} }{2n+1} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} – \frac{1}{2n+1} \right) }
\end{align} \)

 

部分分数分解のやり方は理解できましたか?

これを利用して分数の数列の和を求める問題をやってみましょう!

 

4. 分数の数列の和の求め方(問題)

【例題1】分数の数列の和の求め方(部分分数分解)

例題1

次の数列の初項から第 \( n \) 項までの和を求めよ。

\( \displaystyle \frac{1}{ 2 \cdot 4 }, \ \ \frac{1}{ 4 \cdot 6 }, \ \ \frac{1}{ 6 \cdot 8 }, \ \cdots \)

まずはこの数列の一般項(第 \( k \) 項)を求めましょう

【解答】

この数列の第 \( k \) 項は

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{1}{ 2k (2k+2) } & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{k (k+1)} \\
\\
& = \frac{1}{4} \cdot \left\{ \frac{ (k+1) – k }{ k(k+1) } \right\} \\
\\
& = \frac{1}{4} \cdot \left\{ \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \right\}
\end{align} \)

(部分分数分解はさっきの例と同じ式なので簡単に省略しました)

よって,初項から第 \( n \) 項までの和 \( S \) とすると

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S } & = \frac{1}{ 2 \cdot 4 } + \frac{1}{ 4 \cdot 6 } + \frac{1}{ 6 \cdot 8 } + \cdots + \frac{1}{ 2n (2n+2) } \\
\\
& = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{3} \right) \\
& \ \ \ \ + \cdots + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \\
\\
 & = \frac{1}{4} \left\{ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) \\
+ \cdots + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \right\} \\
\\
& = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{n+1} \right) \\
\\
& = \frac{1}{4} \cdot \frac{n}{n+1} \\
\\
& \color{red}{ = \frac{n}{4(n+1)} \cdots 【答】 }
\end{align} \)

部分分数分解したことで途中が消える!

 

【例題2】分母にルートを含む場合

例題2

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} } \) を求めよ。

これは部分分数分解ではありませんが,分数の数列の和の超頻出問題なので重要です

【解答】

\( \displaystyle \frac{1}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} } \) を有利化すると

\( \begin{align}
& \frac{1}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} } \\
\\
& = \frac{1}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} } \color{blue}{ \times \frac{ \sqrt{k} – \sqrt{k+1} }{ \sqrt{k} – \sqrt{k+1} } } \\
\\
& = \frac{ \sqrt{k} – \sqrt{k+1} }{ k – (k+1) } \\
\\
& = – (\sqrt{k} – \sqrt{k+1} ) \\
\\
& = \sqrt{k+1} – \sqrt{k}
\end{align} \)

したがって,求める和 \( S \) は

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{red}{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1} } } \\
\\
& = \sum_{k=1}^{n} \left(\sqrt{k+1} – \sqrt{k} \right) \\
\\
& = \left(\sqrt{2} – \sqrt{1} \right) + \left(\sqrt{3} – \sqrt{2} \right) + \left(\sqrt{4} – \sqrt{3} \right) \\
& \ \ \ \ + \cdots + \left(\sqrt{n} – \sqrt{n-1} \right) + \left(\sqrt{n+1} – \sqrt{n} \right) \\
\\
& = – \sqrt{1} + \sqrt{n+1} \\
\\
& \color{red}{ = \sqrt{n+1} – 1 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

途中の \( \displaystyle \pm \sqrt{2}, \ \pm \sqrt{3}, \cdots , \ \pm \sqrt{n} \) が消える!

 

【例題3】分母の因数が3つの場合

例題3

次の数列の和 \( S \) を求めよ。

\( \displaystyle \frac{1}{ 1 \cdot 2 \cdot 3 }, \ \frac{1}{ 2 \cdot 3 \cdot 4 }, \ \frac{1}{ 3 \cdot 4 \cdot 4 }, \cdots , \ \frac{1}{ n (n+1) (n+2) }  \)

今回のように分母の因数が3つの場合は,次のように2つと後2つずつを組み合わせて部分分数分解をします

≪部分分数分解≫

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{red}{  \frac{1}{ k (k+1) (k+2) } } \\
\\
& \color{red}{ = \frac{A}{k (k+1)} + \frac{B}{ (k+1) (k+2) } } \\
\\
& = \frac{ A (k+1) (k+2) + B \cdot k (k+1) }{ k (k+1) (k+2) } \\
\\
& = \frac{ (A+B) k^2 + (3A + B)k + 2A }{ k (k+1) (k+2) } \\
\end{align} \)

よって

\( A + B = 0, \ \ 3A + B = 0, \ \ 2A = 1 \)

∴ \( \displaystyle A = \frac{1}{2}, \ \ B = – \frac{1}{2} \)

したがって

\( \begin{align}
\displaystyle & \color{red}{ \frac{1}{ k (k+1) (k+2) } } \\
\\
& = \frac{ \frac{1}{2} }{ k (k+1)} + \frac{ – \frac{1}{2} }{ (k+1) (k+2) } \\
\\
& \color{red}{ = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{ k (k+1) } – \frac{1}{ (k+1) (k+2) } \right\} }
\end{align} \)

【解答】

この数列の第 \( k \) 項は

\( \displaystyle \color{red}{ \frac{1}{ k (k+1) (k+2) } \\
= \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{ k (k+1) } – \frac{1}{ (k+1) (k+2) } \right\} } \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ S } & = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{ 1 \cdot 2 } – \frac{1}{ 2 \cdot 3 } \right) + \left( \frac{1}{ 2 \cdot 3 } – \frac{1}{ 3 \cdot 4 } \right) + \left( \frac{1}{ 3 \cdot 4 } – \frac{1}{ 4 \cdot 5 } \right) \\
+ \cdots + \left\{ \frac{1}{ n (n+1) } – \frac{1}{ (n+1) (n+2) } \right\} \right] \\
\\
& = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{ 1 \cdot 2 } – \frac{1}{ (n+1) (n+2) } \right\} \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{ (n+1) (n+2) – 2 }{ 2 (n+1) (n+2) } \\
\\
& \color{red}{ = \frac{ n (n+3) }{ 4 (n+1) (n+2) } \cdots 【答】 }
\end{align} \)

途中が消えて最初と最後だけ残る!

 

5. さいごに

部分分数分解のやり方と,分数の数列の和の求め方は理解できましたか?

分数の数列の和の問題は大学入試でもよく出題される問題なので,必ずマスターしておきましょう!

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