ベクトルの内積の全てを超わかりやすくまとめた(意味・公式・成分計算)

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東大塾長の山田です。
このページでは、「ベクトルの内積」について解説します

今回はベクトルの内積の定義や公式はもちろん,内積を用いることのメリットも解説をしているので,より深く内積が理解できます。
ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 内積とは?

まずは,内積とは何か?内積の定義を確認しましょう。

1.1 ベクトルの内積の定義

ベクトルの内積

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a }, \ \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。このとき

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta } } \)

を \( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) の内積とよぶ。

\( \vec{ a } = \vec{ 0 } \) または \( \vec{ b } = \vec{ 0 } \) のときは,\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \) となります。

注意

内積 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \) の「\( \cdot \)」は省略してはいけない(\( \vec{ a } \ \vec{ b } \) としてはいけない)。

 

1.2 内積と成分

ベクトルの内積は,成分を用いると次のように表されます。

内積と成分

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 } } \)

成分による内積の公式は,定義と余弦定理から導出できます。

【証明】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = \overrightarrow{ OA } \),\( \vec{ b } = \overrightarrow{ OB } \) のなす角を \( \theta \) とすると,\( \angle AOB = \theta \) である。

\( \triangle OAB \) に余弦定理を適用すると

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2OA \times OB \times \cos \theta \cdots ① \)

\( AB = |\vec{ b } – \vec{ a }|, \ OA = |\vec{ a }|, \ OB = \vec{ b } \) であるから,①は

\( |\vec{ b } – \vec{ a }| = |\vec{ a }|^2 + |\vec{ b }|^2 – 2 |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta \)

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) とすると

\( ( b_1 – a_1 )^2 + ( b_2 – a_2 )^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 – 2 |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta \)

両辺を整理すると

\( |\vec{ a }| |\vec{ b }| \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 \)

したがって,内積の定義 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \) より

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 } } \)

 

2. 内積の求め方(問題)

具体的に,内積を求める問題をやってみましょう!

2.1 定義による内積の求め方

例題1

\( |\vec{ a }| = 2, \ |\vec{ b }| = 5 \) で,\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角が60°のとき,内積 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } \) を求めよ。

【解答】

 \( \begin{align}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } & = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 60^\circ \\
\\
\displaystyle & = 2 \times 5 \times \frac{1}{2} \\
\\
& = \color{red}{ 5 \cdots 【答】}
\end{align} \)

 

2.2 成分による内積の求め方

例題2

\( \vec{ a } = (1, \ 2), \ \vec{ b } = (3, \ 1) \) のとき,内積 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } \) を求めよ。

【解答】

 \( \begin{align}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } & = 1 \times 3 + 2 \times 1 \\
\\
& = \color{red}{ 5 \cdots 【答】}
\end{align} \)

 

3. 内積を定義する意味

3.1 ベクトルのなす角の公式

ここまで内積の求め方について解説をしてきましたが,そもそもなぜ内積というものをつくったのか?定義したのか?

 

・・・・・

 

その答えは,内積はいろいろ使い道があって便利だから!です。

便利な使い道の1つとして,例えば,内積を使うと2つのベクトルのなす角を簡単に求められることが挙げられます。

ベクトルのなす角の公式

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とすると

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \ \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

【証明】

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とする。

内積の定義

\( \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2
\end{cases} \)

より,

\( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 \)

∴ \( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } } } \)

また,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) なので

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \cos \theta = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \ \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } } \)

 

3.2 ベクトルのなす角を求める問題

具体的に,先ほどの「例題2」の2つのベクトルのなす角を求めてみましょう。

例題3

2つのベクトル \( \vec{ a } = (1, \ 2), \ \vec{ b } = (3, \ 1) \) のなす角 \( \theta \) を求めよ。

【解答】

(内積を求める手順は「例題2」で求めたので省略します。)

例題2より \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 5 \)

また \( |\vec{ a }| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)

   \( |\vec{ b }| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \)

よって

 \( \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \\
\\
& = \frac{ 5 }{ \sqrt{5} \times \sqrt{10} } \\
\\
& = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }
\end{align} \)

\( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( \color{red}{ \theta = 45^\circ \cdots 【答】 } \)

 

このように,内積を利用することで2つのベクトルのなす角を求めることができます。

 

4. 内積の公式

内積の公式や性質について,もう少し詳しく解説していきます。

4.1 内積と平行条件

内積と平行条件

\( \vec{ a } \neq 0 \),\( \vec{ b } \neq 0 \) で,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0
\end{align} } \)

【証明】

\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

\( \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \theta = 0^\circ \) または \( \theta = 180^\circ \)

\( \theta = 0^\circ \) のとき
 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 0^\circ = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

\( \theta = 180^\circ \) のとき
 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 180^\circ = – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

したがって

\( \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| } \)

 

また,\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \pm |\vec{ a }| |\vec{ b }| \) の両辺を2乗して

\( (\vec{ a } \cdot \vec{ b } )^2 = |\vec{ a }|^2 |\vec{ b }|^2 \)

\( \Longleftrightarrow \ (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = ({a_1}^2 + {a_2}^2) ({b_1}^2 + {b_2}^2) \)

\( \Longleftrightarrow \begin{align}
{a_1}^2 & {b_1}^2 + 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_2}^2 \\
& = {a_1}^2 {b_1}^2 + {a_1}^2 {b_2}^2 + {a_2}^2 {b_1}^2 + {a_2}^2 {b_2}^2
\end{align} \)

\( \Longleftrightarrow \ {a_1}^2 {b_2}^2 – 2a_1 b_1 a_2 b_2 + {a_2}^2 {b_1}^2 = 0 \)

\( \Longleftrightarrow \ (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2 = 0 \)

\( \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 \)

よって

\( \color{red}{ \vec{ a } \ /\!/ \ \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_2 – a_2 b_1 = 0 } \)

 

4.2 内積と垂直条件

内積と垂直条件

\( \vec{ a } \neq 0 \),\( \vec{ b } \neq 0 \) で,\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のとき

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\end{align} } \)

【証明】

\( \vec{ a } \) と \( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

\( \vec{ a } \perp \vec{ b } \ \Longleftrightarrow \ \theta = 90^\circ \)

\( \theta = 90^\circ \) のとき \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos 90^\circ = 0 \)

したがって

\( \color{red}{ \begin{align}
\vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0
\end{align} } \)

 

4.3 内積の性質6つ

ここでは内積の演算法則と公式について解説します。

内積の性質

\( k \) は実数とする。

【内積の演算法則】

  \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a } \)

  \( \begin{cases}
\displaystyle ( \vec{ a } + \vec{ b } ) \cdot \vec{ c } = \vec{ a } \cdot \vec{ c } + \vec{ b } \cdot \vec{ c } \\
\vec{ a } \cdot ( \vec{ b } + \vec{ c } ) = \vec{ a } \cdot \vec{ b } + \vec{ a } \cdot \vec{ c }
\end{cases} \)

  \( \displaystyle \left( k \vec{ a } \right) \cdot \vec{ b } = \vec{ a } \cdot ( k \vec{ b } ) = k ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } ) \)

【ベクトルの大きさと内積】

  \( \displaystyle \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 \)

  \( \displaystyle \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } \)

  \( \displaystyle – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

「内積の演算法則」は,ベクトルを \( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) と成分表示して計算することで,両辺が等しいことが証明できます。

 

「ベクトルの大きさと内積の性質」は,\( \vec{ b } = \vec{ a } \) とすると,なす角は \( \theta = 0^\circ \) となるので

\( \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 } \)

また,\( \left| \vec{ a } \right| ≧ 0 \) であるから

\( \color{red}{ \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } } \)

3つ目については,次のように証明ができます。

【証明】(\( \color{red}{ – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \))

[1] \( \vec{ a } = 0 \) または \( \vec{ b } = 0 \) のとき

 \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \),\( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | = 0 \) であるから

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | = \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

[2] \( \vec{ a } \neq 0 \) かつ \( \vec{ b } \neq 0 \) のとき

 \( \vec{ a } \),\( \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とする。

 \( 0^\circ ≦ \theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( -1 ≦ \cos \theta ≦ 1 \)

 各辺に \( \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \) を掛けると

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 内積の定義より

\( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \)

 であるから

\( – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

[1],[2]から

\( \color{red}{ – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \)

が成り立つ。

内積の性質は,計算の過程や証明問題で使うので,必ずおさえておきましょう。

 

5. 空間のベクトルの内積

ここまで平面上のベクトルについて解説してきましたが,ここからは空間のベクトルの内積について解説していきます。

5.1 空間のベクトルの内積の定義となす角

空間のベクトルの内積も,平面と同様に定義されます。

空間のベクトルの内積

\( \vec{ 0 } \) でない2つのベクトル \( \vec{ a }, \ \vec{ b } \) のなす角を \( \theta \) とすると

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta } } \)

平面の場合と同様に,余弦定理を用いて成分表示での内積も導くことができます。

空間での内積と成分

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2, \ a_3) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2, \ b_3) \) のなす角を \( \theta \) とする

【内積】

\( \large{ \color{red}{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 } } \)

【なす角】

\( \large{ \color{red}{ \displaystyle \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } } } \)

\( \color{red}{ \displaystyle = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

【垂直条件】

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \vec{ a } \perp \vec{ b } & \ \Longleftrightarrow \ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 \\
& \ \Longleftrightarrow \ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0
\end{align} } \)

 

5.2 空間のベクトルの内積となす角の求め方(問題)

例題4

2つのベクトル \( \vec{ a } = (2, \ -3, \ 1) \),\( \vec{ b } = (-3, \ 1, \ 2) \) の内積とそのなす角 \( \theta \) を求めよ。

【解答】

まずは内積を求めます。

 \( \begin{align}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } & = 2 \times (-3) + (-3) \times 1 + 1 \times 2 \\
\\
& = \color{red}{ -7 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

また \( \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{14} \)

   \( | \vec{ b } | = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14} \)

よって

 \( \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \\
\\
& = \frac{ -7 }{ \sqrt{14} \times \sqrt{14} } \\
\\
\displaystyle & = – \frac{1}{2}
\end{align} \)

\( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \) であるから

\( \color{red}{ \theta = 120^\circ \cdots 【答】 } \)

 

空間でも,なす角の求め方の流れは平面の場合と同様です!

 

5.3 空間のベクトルの内積の性質

内積の性質についても,平面の場合と同様に導くことができます。

空間での内積の性質

\( k \) は実数とする。

【内積の演算法則】

  \( \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \vec{ b } \cdot \vec{ a } \)

  \( \begin{cases}
\displaystyle ( \vec{ a } + \vec{ b } ) \cdot \vec{ c } = \vec{ a } \cdot \vec{ c } + \vec{ b } \cdot \vec{ c } \\
\vec{ a } \cdot ( \vec{ b } + \vec{ c } ) = \vec{ a } \cdot \vec{ b } + \vec{ a } \cdot \vec{ c }
\end{cases} \)

  \( \displaystyle \left( k \vec{ a } \right) \cdot \vec{ b } = \vec{ a } \cdot ( k \vec{ b } ) = k ( \vec{ a } \cdot \vec{ b } ) \)

【ベクトルの大きさと内積】

  \( \displaystyle \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right|^2 \)

  \( \displaystyle \left| \vec{ a } \right| = \sqrt{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } } \)

  \( \displaystyle – \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | ≦ \vec{ a } \cdot \vec{ b } ≦ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \)

 

6. ベクトルの内積まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

ベクトルの内積まとめ

【平面上のベクトルの内積】

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2) \) のなす角を \( \theta \) とする

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2
\end{cases} } \)

\( \displaystyle \color{red}{ \cos \theta = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 } } } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

 

【空間内のベクトルの内積】

\( \vec{ a } = (a_1, \ a_2, \ a_3) \),\( \vec{ b } = (b_1, \ b_2, \ b_3) \) のなす角を \( \theta \) とする

\( \color{red}{ \begin{cases}
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | \cos \theta \\
\vec{ a } \cdot \vec{ b } = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\end{cases} } \)

\( \color{red}{ \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ a } \right| | \vec{ b } | } \\
\\
\displaystyle & = \frac{ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }{ \sqrt{ {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 } \sqrt{ {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 } }
\end{align} } \)

ただし \( 0^\circ ≦\theta ≦ 180^\circ \)

内積の定義と求め方,ベクトルのなす角の求め方は理解できましたか?

内積はベクトルを学習していくうえで重要な基盤となるので,しっかりマスターしておきましょう!

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