東大塾長の山田です。
このページでは、数学Ⅲの「数列の極限」について解説していきます。
極限に関する基礎事項とその証明を，わかりやすくまとめているので，ぜひ勉強の参考にしてください！
1. 数列の極限
まずは数列の極限について，基礎の基礎から準を追って解説していきます。
1.1 無限数列とは？
項が限りなく続く数列 \( a_1, \ \ a_2, \ \ a_3, \cdots , a_n, \ \cdots \) を 無限数列 といい，記号 \( \left\{ a_n \right\} \) で表します。
数学Ⅲでは，単に数列といえば，無限数列のことをいいます。
1.2 数列の収束
例えば，数列 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{n} \right\} \)，つまり数列 \( \displaystyle 1, \ \ \frac{1}{2}, \ \ \frac{1}{3}, \ \ \frac{1}{4}, \cdots, \ \frac{1}{n}, \cdots \) で，\( n \) を限りなく大きくすると第 \( n \) 項 \( \displaystyle \frac{1}{n} \) は \( 0 \) に限りなく近づきます。
このように，一般に，数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において，\( n \) を限りなく大きくすると，\( a_n \) が一定の値 \( \alpha \) に限りなく近づくとき，数列 \( \left\{ a_n \right\} \) は \( \alpha \) に収束する といい，\( \alpha \) を数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 極限値 といいます。
このことを
\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha } } \)
または \( \displaystyle \color{red}{ n \rightarrow \infty } \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n \rightarrow \alpha } \)
と書きます。
また，記号 \( \infty \) は“無限大”と読み，ある値を表すものではありません。
1.3 数列の発散
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) が収束しないとき，\( \left\{ a_n \right\} \) は 発散 するといいます。
数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において，\( n \) を限りなく大きくすると，\( a_n \) が限りなく大きくなるとき，数列 \( \left\{ a_n \right\} \) は 正の無限大に発散 する，または \( \left\{ a_n \right\} \) の 極限は正の無限大 といいます。
このことを
\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty } } \)
または \( \displaystyle \color{red}{ n \rightarrow \infty } \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n \rightarrow \infty } \)
と書きます。
一方，数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において，\( n \) を限りなく大きくすると，\( a_n \) が負でその絶対値が限りなく大きくなるとき，数列 \( \left\{ a_n \right\} \) は 負の無限大に発散 する，または \( \left\{ a_n \right\} \) の 極限は負の無限大 といいます。
このことを
\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n = – \infty } } \)
または \( \displaystyle \color{red}{ n \rightarrow \infty } \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n \rightarrow – \infty } \)
と書きます。
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \infty, \ \ – \infty \) のときは，これらは極限値とはいいません。
また，数列 \( \left\{ (-1)^n \right\} \)，つまり数列 \( 1, \ \ -1, \ \ 1, \ \ -1, \cdots , \ (-1)^{n-1} \) のように，正の無限大にも負の無限大にも収束しない場合があります。
このような数列は 振動 するといいます。
1.4 数列の収束・発散まとめ
ここまでの内容をまとめると，次のようになります。
数列 \( \left\{ a_n \right\} \ （n = 1, \ 2, \ 3, \cdots） \) について
2. 数列の極限の性質（極限の計算方法）
数列の極限については，次の性質が成り立ちます。
数列 \( \left\{ a_n \right\} \)，\( \left\{ b_n \right\} \) が収束して，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \)，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \) のとき
\( ① \ \begin{cases}
\displaystyle 和：\color{red}{ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta } \\
\displaystyle 差：\color{red}{ \lim_{n \to \infty} (a_n – b_n) = \alpha – \beta }
\end{cases} \)
\( \displaystyle ② \ 定数倍：\color{red}{ \lim_{n \to \infty} k a_n = k \alpha } \ （kは定数） \)
\( \displaystyle ③ \ [①+②]：\color{red}{ \lim_{n \to \infty} (k a_n + l b_n) = k \alpha + l \beta } \ （k, l は定数） \)
\( \displaystyle ④ \ 積：\color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha \beta } \)
\( \displaystyle ⑤ \ 商：\color{red}{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} } \ （\beta \neq 0） \)
極限を計算すると，形式的に「\( \infty – \infty \)」「\( 0 \times \infty \)」「\( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)」「\( \displaystyle \frac{0}{0} \)」の形になる極限を 不定形の極限 といい，このままでは極限がわかりません。
このようなときは，極限を求められる形に式変形をする工夫が必要になります。
具体的にみていきましょう。
【例1】 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (n^2 – 2n) \)
これはこのまま極限を計算すると「\( \infty – \infty \)」になってしまいます。
今回の場合では「最高次数の文字でくくる」とうまくいきます。
\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \color{red}{ (n^2 – 2n) } & = \lim_{n \to \infty} \color{red}{ n^2 \left( 1 – \frac{2}{n} \right) } \\
& = \infty \times (1-0) \\
& = \infty \times 1 \\
& = \infty
\end{align} \)
【例2】 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n – 5}{n^2 + 4} \)
これはこのまま極限を計算すると「\( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)」になってしまいます。
今回の場合では「分母分子を \( n^2 \) で割る」とうまくいきます。
\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \color{red}{ \frac{3n^2 + 2n – 5}{n^2 + 4} } & = \lim_{n \to \infty} \color{red}{ \frac{3 + \frac{2}{n} – \frac{5}{n^2}}{1 + \frac{4}{n^2}} } \\
& = \frac{3+0-0}{1+0} \\
& = 3
\end{align} \)
【例3】 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \)
無理式の極限は，分母または分子を有理化します。
今回の場合は，\( \displaystyle \frac{\sqrt{ n^2 + n } – n}{1} \) と考えて，分母・分子に \( \displaystyle \sqrt{ n^2 + n } + n \) を掛けて有理化します。
\( \begin{align}
\displaystyle & \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \color{red}{ \times \frac{\sqrt{ n^2 + n } + n}{\sqrt{ n^2 + n } + n} } \right\} \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \left( \sqrt{ n^2 + n } + n \right)}{\sqrt{ n^2 + n } + n} \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{ n^2 + n } + n} \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{ 1 + \frac{1}{n} } + 1} \ （←分母・分子をnで割った） \\
\\
& = \frac{1}{\sqrt{ 1+0 }+1} \\
\\
& = \frac{1}{2}
\end{align} \)
3. 数列の極限と大小関係
3.1 数列の極限と大小関係まとめ
数列の極限と大小関係については，次の性質が成り立ちます。
- 数列 \( \left\{ a_n \right\} \)，\( \left\{ b_n \right\} \) において，\( a_n ≦ b_n \ （n = 1, 2, 3, \cdots） \) のとき
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \)，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \) ならば \( \alpha ≦ \beta \) - 数列 \( \left\{ a_n \right\} \)，\( \left\{ b_n \right\} \) において，\( a_n ≦ b_n \ （n = 1, 2, 3, \cdots） \) のとき
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \) ならば \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \infty \) - 数列 \( \left\{ a_n \right\} \)，\( \left\{ b_n \right\} \)，\( \left\{ c_n \right\} \) において，\( a_n ≦ b_n ≦ c_n \ （n = 1, 2, 3, \cdots） \) のとき
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha \) ならば \( \left\{ b_n \right\} \) も収束して \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha \)
上記の性質③の「左右が \( \alpha \) に収束するならば，間に挟まれた \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n \) も \( \alpha \) に収束する」。
これを はさみうちの原理 といい，直接求めにくい極限を求める場合に有効です。
次のセクションで具体的な使い方を，問題を解きながら解説します。
3.2 はさみうちの原理の問題
\( \theta \) を定数とするとき，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin n \theta \) を求めよ。
【解答】
\( -1 ≦ \sin n \theta ≦ 1 \) であるから（この各辺を \( n \) で割ると）
\( \displaystyle – \frac{1}{n} ≦ \frac{1}{n} \sin n \theta ≦ \frac{1}{n} \)
\( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} – \frac{1}{n} = 0 } \)，\( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 } \) であるから
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin n \theta = 0 \color{red}{ \cdots 【答】 } \)
4. 無限等比数列
次は無限等比数列について解説していきます。
4.1 無限等比数列とは？
数列\( \displaystyle a, \ \ ar, \ \ ar^2, \cdots , \ ar^{n-1}, \cdots \) を初項 \( a \)，公比 \( r \) の 無限等比数列 といいます。
4.2 無限等比数列の極限
無限等比数列の極限は次のようになります。
無限等比数列 \( \left\{ r^n \right\} \) の極限は
- \( r>1 \) のとき \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = \infty \)
- \( r=1 \) のとき \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 1 \)
- \( |r|<1 \) のとき \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0 \)
- \( r≦-1 \) のとき 振動する（極限なし）
上記の性質の証明をしていきます。
【証明】
[①] \( r>1 \) のとき
\( r = 1 + h \) とおくと \( h>0 \)
\( n≧2 \) のとき，二項定理を用いて
\( \begin{align}
\displaystyle (1+h)^n & = {_n \mathrm{C}_0} + {_n \mathrm{C}_1}h + {_n \mathrm{C}_2}h^2 + \cdots + {_n \mathrm{C}_n}h^n \\
\\
& = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \cdots + h^n > 1 + nh
\end{align} \)
\( h>0 \) より，\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} nh = \infty \) であるから
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (1+h)^n = \infty \)
\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} r^n = \infty } \)
[②] \( r=1 \) のとき
すべての \( n \) に対して \( r^n = 1 \) であるから
\( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} r^n = 1 } \)
[③] \( |r|<1 \) のとき
(i) \( 0<r<1 \) のとき，\( \displaystyle \frac{1}{r}>1 \) であるから
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \right)^n = \infty \)
\( \displaystyle ∴ \ \color{blue}{ \lim_{n \to \infty} r-n } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{r^n}} \color{blue}{ = 0 } \)
(ii) \( r=0 \) のとき，すべての \( n \) に対して \( r^n = 0 \) であるから
\( \displaystyle \color{blue}{ \lim_{n \to \infty} r^n = 0 } \)
(iii) \( -1 < r < 0 \) のとき，\( 0 < |r| < 1 \) であるから
\( \displaystyle \color{blue}{ \lim_{n \to \infty} |r^n| } = \lim_{n \to \infty} |r|^n \color{blue}{ = 0 } \)
したがって \( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} r^n = 0 } \)
[④] \( r≦-1 \) のとき
(i) \( r = -1 \) のとき，数列 \( \displaystyle \left\{ r^n \right\} \) は振動する。
(ii) \( r<-1 \) のとき，①より \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} |r^n| = \lim_{n \to \infty} |r|^n = \infty \) となるが，\( r^n \) の符号は交互に変わるから，数列 \( \displaystyle \left\{ r^n \right\} \) は振動する。
以上のことをまとめると，次のことがわかります。
数列 \( \displaystyle \left\{ r^n \right\} \) が収束する条件は
\( 数列 \left\{ r^n \right\} が収束する \ \Leftrightarrow \ -1 < r ≦ 1 \)
4.3 無限等比数列の極限の問題
無限等比数列の極限の問題を求めるやってみましょう。
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^n – 5^{n+1}}{4^n + 5^n} \) を求めよ。
「2. 数列の極限の性質（極限の四則計算）」でも解説したように，極限の計算では式変形をして工夫をする必要があります。
今回のような分数の形は「分母の底が最も大きい項で分母・分子を割る」とうまくいきます。
【解答】
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n – 5^{n+1}}{4^n + 5^n} } & = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \frac{3}{5} \right)^n – 5 }{ \left( \frac{4}{5} \right)^n + 1 } \\
\\
& = \frac{0-5}{0+1} \\
\\
& \color{red}{ = -5 \cdots 【答】 }
\end{align} \)
5. 漸化式の極限【問題】
次に，漸化式の極限を求める問題について，問題を解きながら解説していきます。
\( \displaystyle a_1 = 1\)，\( \displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n+3 \) \( （n = 1, 2, 3, \cdots） \) によって定められる数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の極限を求めよ。
今回の隣接2項間の漸化式は，特性方程式を利用して一般項 \( \displaystyle a_n \) を求めます。
漸化式の解き方は「数列漸化式の解き方10パターンまとめ」の記事で詳しく解説しているので，漸化式の知識が曖昧な人は必ずチェックしてください。
【解答】
特性方程式 \( \displaystyle \alpha = \frac{1}{2} \alpha + 3 \) の解 \( \alpha = 6 \) を利用して，与えられた漸化式を変形すると
\( \displaystyle a_{n+1} – 6 = \frac{1}{2} ( a_n – 6 ) \)
また \( \displaystyle a_1 – 6 = 1-6 = -5 \)
よって，数列 \( \displaystyle \left\{ a_n – 6 \right\} \) は初項 \( -5 \)，公比 \( \displaystyle \frac{1}{2} \) の等比数列であるから
\( \displaystyle a_n – 6 = -5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \)
\( \displaystyle ∴ \ a_n = 6 – 5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \)
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 0 \) であるから
\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n } & = \lim_{n \to \infty} \left\{ 6 – 5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\
\\
& \color{red}{ = 6 \cdots 【答】 }
\end{align}\)
6. おわりに
以上が数列の極限の解説です。
この後に学習する無限級数にもつながる必要知識ですので，しっかりマスターしておきましょう！
テスト前の確認にとても助かりました！ありがとうございます！
いつもありがとうございます。わかりやすい解説でとても助かっています。
”極限は負の無限大”のところで、マイナスが抜けているところがありましたのでお伝えします。
lim→∞ =∞ ← ここ
または →∞ のとき →–∞