数列の極限に関する知識まとめ

東大塾長の山田です。
このページでは、数学Ⅲの数列の極限について解説していきます

極限に関する基礎事項とその証明を,わかりやすくまとめているので,ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 数列の極限

まずは数列の極限について,基礎の基礎から準を追って解説していきます。

1.1 無限数列とは?

項が限りなく続く数列 \( a_1, \ \ a_2, \ \ a_3, \cdots , a_n, \ \cdots \) を 無限数列 といい,記号 \( \left\{ a_n \right\} \) で表します。

数学Ⅲでは,単に数列といえば,無限数列のことをいいます。

 

1.2 数列の収束

例えば,数列 \( \displaystyle \left\{ \frac{1}{n} \right\} \),つまり数列 \( \displaystyle 1, \ \ \frac{1}{2}, \ \ \frac{1}{3}, \ \ \frac{1}{4}, \cdots, \ \frac{1}{n}, \cdots \) で,\( n \) を限りなく大きくすると第 \( n \) 項 \( \displaystyle \frac{1}{n} \) は \( 0 \) に限りなく近づきます。

このように,一般に,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において,\( n \) を限りなく大きくすると,\( a_n \) が一定の値 \( \alpha \) に限りなく近づくとき,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) は \( \alpha \) 収束する といい,\( \alpha \) を数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 極限値 といいます。

このことを

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha } } \)

または \( \displaystyle \color{red}{ n \rightarrow \infty } \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n \rightarrow \alpha } \)

と書きます。

また,記号 \( \infty \) は“無限大”と読み,ある値を表すものではありません。

 

1.3 数列の発散

数列 \( \left\{ a_n \right\} \) が収束しないとき,\( \left\{ a_n \right\} \) は 発散 するといいます。

数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において,\( n \) を限りなく大きくすると,\( a_n \) が限りなく大きくなるとき,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) は 正の無限大に発散 する,または \( \left\{ a_n \right\} \) の 極限は正の無限大 といいます。

このことを

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty } } \)

または \( \displaystyle \color{red}{ n \rightarrow \infty } \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n \rightarrow \infty } \)

と書きます。

 

一方,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) において,\( n \) を限りなく大きくすると,\( a_n \) が負でその絶対値が限りなく大きくなるとき,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) は 負の無限大に発散 する,または \( \left\{ a_n \right\} \) の 極限は負の無限大 といいます。

このことを

\( \displaystyle \large{ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty } } \)

または \( \displaystyle \color{red}{ n \rightarrow \infty } \) のとき \( \displaystyle \color{red}{ a_n \rightarrow – \infty } \)

と書きます。

注意

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \infty, \ \ – \infty \) のときは,これらは極限とはいいません。

 

また,数列 \( \left\{ (-1)^n \right\} \),つまり数列 \( 1, \ \ -1, \ \ 1, \ \ -1, \cdots , \ (-1)^{n-1} \) のように,正の無限大にも負の無限大にも収束しない場合があります。

このような数列は 振動 するといいます。

 

1.4 数列の収束・発散まとめ

ここまでの内容をまとめると,次のようになります。

数列の極限

数列 \( \left\{ a_n \right\} \ (n = 1, \ 2, \ 3, \cdots) \) について

 

2. 数列の極限の性質(極限の計算方法)

数列の極限については,次の性質が成り立ちます。

数列の極限値と四則

数列 \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \) が収束して,\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \),\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \) のとき

\( ① \ \begin{cases}
\displaystyle 和:\color{red}{ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta } \\
\displaystyle 差:\color{red}{ \lim_{n \to \infty} (a_n – b_n) = \alpha – \beta }
\end{cases} \)

\( \displaystyle ② \ 定数倍:\color{red}{ \lim_{n \to \infty} k a_n = k \alpha } \ (kは定数) \)

\( \displaystyle ③ \ [①+②]:\color{red}{ \lim_{n \to \infty} (k a_n + l b_n) = k \alpha + l \beta } \ (k, l は定数) \)

\( \displaystyle ④ \ 積:\color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha \beta } \)

\( \displaystyle ⑤ \ 商:\color{red}{ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} } \ (\beta \neq 0) \)

 

極限を計算すると,形式的に「\( \infty – \infty \)」「\( 0 \times \infty \)」「\( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)」「\( \displaystyle \frac{0}{0} \)」の形になる極限を 不定形の極限 といい,このままでは極限がわかりません。

このようなときは,極限を求められる形に式変形をする工夫が必要になります

具体的にみていきましょう。

【例1 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (n^2 – 2n) \)

これはこのまま極限を計算すると「\( \infty – \infty \)」になってしまいます。
今回の場合では「最高次数の文字でくくる」とうまくいきます。

\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \color{red}{ (n^2 – 2n) } & = \lim_{n \to \infty} \color{red}{ n^2 \left( 1 – \frac{2}{n} \right) } \\
& = \infty \times (1-0) \\
& = \infty \times 1 \\
& = \infty 
\end{align} \)

【例2 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n – 5}{n^2 + 4} \)

これはこのまま極限を計算すると「\( \displaystyle \frac{\infty}{\infty} \)」になってしまいます。
今回の場合では「分母分子を \( n^2 \) で割る」とうまくいきます。

\( \begin{align}
\displaystyle \lim_{n \to \infty} \color{red}{ \frac{3n^2 + 2n – 5}{n^2 + 4} } & = \lim_{n \to \infty} \color{red}{ \frac{3 + \frac{2}{n} – \frac{5}{n^2}}{1 + \frac{4}{n^2}} } \\
& = \frac{3+0-0}{1+0} \\
& = 3
\end{align} \)

【例3 \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \)

無理式の極限は,分母または分子を有理化します

今回の場合は,\( \displaystyle \frac{\sqrt{ n^2 + n } – n}{1} \) と考えて,分母・分子に \( \displaystyle \sqrt{ n^2 + n } + n \) を掛けて有理化します。

\( \begin{align}
\displaystyle & \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \color{red}{ \times \frac{\sqrt{ n^2 + n } + n}{\sqrt{ n^2 + n } + n} } \right\} \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \sqrt{ n^2 + n } \ – n \right) \left( \sqrt{ n^2 + n } + n \right)}{\sqrt{ n^2 + n } + n} \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{ n^2 + n } + n} \\
\\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{ 1 + \frac{1}{n} } + 1} \ (←分母・分子をnで割った) \\
\\
& = \frac{1}{\sqrt{ 1+0 }+1} \\
\\
& = \frac{1}{2}
\end{align} \)

 

3. 数列の極限と大小関係

3.1 数列の極限と大小関係まとめ

数列の極限と大小関係については,次の性質が成り立ちます。

数列の極限と大小関係
  1. 数列 \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \) において,\( a_n ≦ b_n \ (n = 1, 2, 3, \cdots) \) のとき
    \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \),\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \beta \) ならば \( \alpha ≦ \beta \)
  2. 数列 \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \) において,\( a_n ≦ b_n \ (n = 1, 2, 3, \cdots) \) のとき
    \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \infty \) ならば \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \infty \)
  3. 数列 \( \left\{ a_n \right\} \),\( \left\{ b_n \right\} \),\( \left\{ c_n \right\} \) において,\( a_n ≦ b_n ≦ c_n \ (n = 1, 2, 3, \cdots) \) のとき
    \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha \) ならば \( \left\{ b_n \right\} \) も収束して \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha \)

上記の性質③の「左右が \( \alpha \) に収束するならば,間に挟まれた \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n \) も \( \alpha \) に収束する」。

これを はさみうちの原理 といい,直接求めにくい極限を求める場合に有効です

次のセクションで具体的な使い方を,問題を解きながら解説します。

 

3.2 はさみうちの原理の問題

例題

\( \theta \) を定数とするとき,\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin n \theta \) を求めよ。

【解答】

\( -1 ≦ \sin n \theta ≦ 1 \) であるから(この各辺を \( n \) で割ると)

\( \displaystyle – \frac{1}{n} ≦ \frac{1}{n} \sin n \theta ≦ \frac{1}{n} \)

\( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} – \frac{1}{n} = 0 } \),\( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 } \) であるから

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin n \theta = 0 \color{red}{ \cdots 【答】 } \)

 

4. 無限等比数列

次は無限等比数列について解説していきます。

4.1 無限等比数列とは?

数列\( \displaystyle a, \ \ ar, \ \ ar^2, \cdots , \ ar^{n-1}, \cdots \) を初項 \( a \),公比 \( r \) の 無限等比数列 といいます。

 

4.2 無限等比数列の極限

無限等比数列の極限は次のようになります。

無限等比数列の極限

無限等比数列 \( \left\{ r^n \right\} \) の極限は

  1. \( r>1 \) のとき \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = \infty \)
  2. \( r=1 \) のとき \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^v = 1 \)
  3. \( |r|<1 \) のとき \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^v = 0 \)
  4. \( r≦-1 \) のとき 振動する(極限なし)

 

上記の性質の証明をしていきます。

【証明】

[] \( r>1 \) のとき

\( r = 1 + h \) とおくと \( h>0 \)

\( n≧2 \) のとき,二項定理を用いて

\( \begin{align}
\displaystyle (1+h)^n & = {_n \mathrm{C}_0} + {_n \mathrm{C}_1}h + {_n \mathrm{C}_2}h^2 + \cdots + {_n \mathrm{C}_n}h^n \\
\\
& = 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \cdots + h^n > 1 + nh
\end{align} \)

\( h>0 \) より,\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} nh = \infty \) であるから

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (1+h)^n = \infty \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{red}{ \lim_{n \to \infty} r^n = \infty } \)

 

[②] \( r=1 \) のとき

すべての \( n \) に対して \( r^n = 1 \) であるから

\( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} r^n = 1 } \)

 

[③] \( |r|<1 \) のとき

(i) \( 0<r<1 \) のとき,\( \displaystyle \frac{1}{r}>1 \) であるから

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{r^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \right)^n = \infty \)

\( \displaystyle ∴ \ \color{blue}{ \lim_{n \to \infty} r-n } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{r^n}} \color{blue}{ = 0 } \)

(ii) \( r=0 \) のとき,すべての \( n \) に対して \( r^n = 0 \) であるから

\( \displaystyle \color{blue}{ \lim_{n \to \infty} r^n = 0 } \)

(iii) \( -1 < r < 0 \) のとき,\( 0 < |r| < 1 \) であるから

\( \displaystyle \color{blue}{ \lim_{n \to \infty} |r^n| } = \lim_{n \to \infty} |r|^n \color{blue}{ = 0 } \)

 

したがって  \( \displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} r^n = 0 } \)

 

[④] \( r≦-1 \) のとき

(i) \( r = -1 \) のとき,数列 \( \displaystyle \left\{ r^n \right\} \) は振動する

(ii) \( r<-1 \) のとき,①より \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} |r^n| = \lim_{n \to \infty} |r|^n = \infty \) となるが,\( r^n \) の符号は交互に変わるから,数列 \( \displaystyle \left\{ r^n \right\} \) は振動する

以上のことをまとめると,次のことがわかります。

無限等比数列の収束条件

数列 \( \displaystyle \left\{ r^n \right\} \) が収束する条件は

\( 数列 \left\{ r^n \right\} が収束する \ \Leftrightarrow \ -1 < r ≦ 1 \)

 

4.3 無限等比数列の極限の問題

無限等比数列の極限の問題を求めるやってみましょう。

例題

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^n – 5^{n+1}}{4^n + 5^n} \) を求めよ。

2. 数列の極限の性質(極限の四則計算)」でも解説したように,極限の計算では式変形をして工夫をする必要があります。
今回のような分数の形は「分母の底が最も大きい項で分母・分子を割る」とうまくいきます。

【解答】

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} \frac{3^n – 5^{n+1}}{4^n + 5^n} } & = \lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \frac{3}{5} \right)^n – 5 }{ \left( \frac{4}{5} \right)^n + 1 } \\
\\
& = \frac{0-5}{0+1} \\
\\
& \color{red}{ = -5 \cdots 【答】 }
\end{align} \)

 

5. 漸化式の極限【問題】

次に,漸化式の極限を求める問題について,問題を解きながら解説していきます。

例題

\( \displaystyle a_1 = 1\),\( \displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n+3 \) \( (n = 1, 2, 3, \cdots) \) によって定められる数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の極限を求めよ。

今回の隣接2項間の漸化式は,特性方程式を利用して一般項 \( \displaystyle a_n \) を求めます。
漸化式の解き方は「数列漸化式の解き方10パターンまとめ」の記事で詳しく解説しているので,漸化式の知識が曖昧な人は必ずチェックしてください。

数列漸化式の解き方10パターンまとめ

2019年2月18日

【解答】

特性方程式 \( \displaystyle \alpha = \frac{1}{2} \alpha + 3 \) の解 \( \alpha = 6 \) を利用して,与えられた漸化式を変形すると

\( \displaystyle a_{n+1} – 6 = \frac{1}{2} ( a_n – 6 ) \)

また \( \displaystyle a_1 – 6 = 1-6 = -5 \)

よって,数列 \( \displaystyle \left\{ a_n – 6 \right\} \) は初項 \( -5 \),公比 \( \displaystyle \frac{1}{2} \) の等比数列であるから

\( \displaystyle a_n – 6 = -5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \)

\( \displaystyle ∴ \ a_n = 6 – 5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \)

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 0 \) であるから

\( \begin{align}
\displaystyle \color{red}{ \lim_{n \to \infty} a_n } & = \lim_{n \to \infty} \left\{ 6 – 5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} \\
\\
& \color{red}{ = 6 \cdots 【答】 }
\end{align}\)

 

6. おわりに

以上が数列の極限の解説です。

この後に学習する無限級数にもつながる必要知識ですので,しっかりマスターしておきましょう!

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