【数学Ⅲ】積分計算の型網羅part1(置換積分）

【解答】

(1)　このままじゃ\((2-x)^4\)の展開が面倒くさいので、\(t=2-x\)と置換してみましょう。また、\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=-1\)より

\(\begin{aligned}\displaystyle\int x(2-x)^{4} d x&=\int(2-t) t^{4} \cdot(-1) d t\\&=\int\left(t^{5}-2 t^{4}\right) d t\end{aligned}\)

となり、だいぶ計算しやすくなりましたね。最後にこれを計算してあげると

\(\begin{aligned}\int\left(t^{5}-2 t^{4}\right) d t&=\displaystyle\frac{1}{6}t^6-\displaystyle\frac{2}{5}t^5+C\\&=\displaystyle\frac{1}{6}(2-x)^6-\displaystyle\frac{2}{5}(2-x)^5+C\end{aligned}\)

となります。（Cは積分定数）

(2)　これもルートの計算が面倒くさいので、\(\sqrt{x+1}=t\)と置換します。

このとき、\(x=t^2-1\)で、両辺を微分することで、\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=2t\)という関係式を得ることができます。よって

\(\begin{aligned}\displaystyle\int \sqrt{x+1}(x+2) d x&=\displaystyle\int\left(t^{3}+t\right) 2 t d t\\ &=\int 2 t^{4}+2 t^{2} d t\\&=\frac{2}{5} t^{5}+\frac{2}{3} t^{3}+C\\&=\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C\end{aligned}\)

という結果を得ることができます。

【証明】

\(f(x)\)の原始関数を\(F(x)\)とすると、

\(\displaystyle\frac{d F(x)}{d x}=f(x)\)

が成立します。このとき、公式\(\displaystyle\int f(x) d x=\int f(g(t)) \frac{d x}{d t} d t\)の右辺は、\(F(x)+C\)となります。

このとき、\(F(x)\)を\(t\)で微分すると、合成関数の微分公式より

\(\begin{aligned}\displaystyle\frac{dF(x)}{dt}&=\frac{d x}{d t} \frac{d F(x)}{d x}\\&=\frac{d x}{d t} \cdot f(x)\\&=\frac{d x}{d t} f(g(t))\end{aligned}\)

これは、\(\displaystyle\frac{d x}{d t} f(g(t))\)の\(t\)による積分が、\(F(x)\)になることを表しています。よって、公式の右辺も\(F(x)+C\)となります。

【解答】

(1)　明らかに分母が面倒くさい形をしているので、\(1-x^2=t\)と置換します。

このとき、\(-2x \displaystyle\frac{dx}{dt}=1\)かつ、\(x:0\to 1\)のとき、\(t:1\to 0\)となるから

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 3}} d x&=-\int_{1}^{0} \frac{1}{2} t^{-1 / 3} d t\\&=\left[\frac{3}{4} t^{2 / 3}\right]_{0}^{1}\\&=\displaystyle\frac{3}{4}\end{aligned}\)

(2)　どのように置換するのが良いでしょうか？ここは、だまされたと思って、\(x=\tan \theta\)（\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\theta <\displaystyle\frac{\pi}{2}\)）と置換してみましょう。（置換テクニックはこちら）

このとき、\(\displaystyle\frac{d x}{d \theta}=\displaystyle\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)であり、\(x:0\to1\)のとき、\(\theta :0\to\displaystyle\frac{\pi}{4}\)だから

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^{2}\theta}\frac{d\theta}{\cos ^{2} \theta}\\&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta\frac{d\theta}{\cos ^{2} \theta}\\&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta\\&=\displaystyle\frac{\pi}{4}\end{aligned}\)

とてもスムーズに計算することができました。

【証明】

先ほど同様、\(f(x)\)の原始関数を\(F(x)\)とすると、不定積分の公式より\(F(g(t))\)が\(f(g(t)) \frac{d x}{d t}\)の原始関数であることが分かります。

よって

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) d x&=F(b)-F(a)\\&=F(g(\beta))-F(g(\alpha))\\&=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) \frac{d x}{d t} d t\end{aligned}\)

となり、示すことができました。

【例】\(a>0\)のとき、\(\displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}dx\)を計算してみましょう。

\(x=a\tan\theta\)と置換すると、被積分関数は

\(\displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}=\displaystyle\frac{1}{a^2(1+\tan^2\theta)}=\displaystyle\frac{\cos^2\theta}{a^2}\)

となり、\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{a}{\cos^2\theta}\)で\(x:0\to a\)のとき\(\theta:0\to\displaystyle\frac{\pi}{4}\)となるから

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{a}\displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}dx&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{\cos^2\theta}{a^2}\displaystyle\frac{a}{\cos^2\theta}d\theta\\&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{1}{a}d\theta\\&=\displaystyle\frac{\pi}{4a}\end{aligned}\)

【例】\(a>0\)のとき、\(\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx\)を計算してみましょう。

\(x=a\sin\theta\)と置換すると、被積分関数は

\(\begin{aligned}\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}&=\sqrt{a^2\cos^2\theta}\\&=a|\cos\theta|\end{aligned}\)

となり、\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=a\cos\theta\)で\(x:0\to a\)のとき\(\theta:0\to\displaystyle\frac{\pi}{2}\)となるから

\(\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx&=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a\cos\theta\cdot a\cos\theta d\theta\\&=a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta\\&=a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta\\&=\displaystyle\frac{a^2\pi}{4}\end{aligned}\)

となります。

\(\displaystyle\int_{0}^{1}x^2 dx=\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1}x^2 dx=\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{4}t^2\cdot\frac{1}{2} dt=\frac{1}{3}\)