単振り子の運動(近似と微分方程式)

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東大塾長の山田です。
このページでは、「単振り子の運動方程式」「周期とそこからわかること」について説明しています

この分野を理解するにあたって、「(おもにばね振り子における)単振動についての記事」を見ておくとより頭に入ってきやすいです。そちらの記事も参考にしてください。

ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 単振り子について

 単振り子とは

まず、単振り子とは何かについて説明します。

単振り子とは、別名円振り子とも言い、重力の作用のもとで固定点から軽い(質量が無視できるという)糸でつるしたおもりが、一つの鉛直面内で円弧または円周を描いて動く振り子のことです。

図でイメージすると下図のようになります。

そのような振り子の中でも、固定点を通る鉛直線の左右に小さい振幅で振れる往復運動は近似的に単振動となります。「近似的に」とした理由は後々分かります。

この記事ではこのような振り子の単振動について詳しく扱っていきます!

 

2. 単振り子の単振動について

単振り子について言葉で理解したところで、次は運動について詳しく見ていきましょう!
以下では、加速度として \(a\) を、速度として \(v\) を用いるところがあります。

2.1 運動方程式(なぜ単振動になるか)

先ほど、左右に小さい振幅で揺れる振り子については、その運動が単振動になると説明しましたが、なぜ単振動になるのでしょうか?運動方程式からそれを理解しましょう。

今回は以下の状態、つまり質量の無視できる糸に質量 \(m\) のおもりをつけて、糸と鉛直方向のなす角がある微小角のところで固定したのち、その固定を離したときの単振り子について考えていきます。
(以下の図はある時刻 \( t \) でなす角が \( \theta \) であることを表しています、ただし \( \theta \) は微小角

また、この時にかかる力を図示すると下図のようになります。

運動方程式を立てるときの方針ですが、おもりの運動に着目してみると半径 \( l \) の円運動に似た運動であることが分かると思います。

円運動の記事で説明したように、このような運動の運動方程式を立てるときは、接線方向の中心方向に分けて運動方程式を立てる必要があります。
だから今回もそのように運動方程式を立てていきましょう。

運動方程式は以下になります。ただし接線方向は上図矢印の向きを正とします。

\( \begin{cases}
\displaystyle 接線方向:m l \frac{d^2 \theta}{dt^2} = – m g \sin \theta \cdots ① \\
\displaystyle (中心方向:0 = T – mg \cos \theta )
\end{cases} \)

接線方向の加速度について

以下のようにして求めました。

\( \displaystyle ma_接 = m \frac{dv_接}{dt} \)

ここで角速度の定義より

\( \displaystyle v_接 = l \frac{d\theta}{dt} \)

これを上式に代入すると

\( \displaystyle ma_接 = m l \frac{d^2 \theta}{dt^2} \)

ここで、\(\theta\)が微小角なときの近似

\( \displaystyle \sin \theta ≒ \tan \theta ≒ \theta \)

が成立するので、①式は

\( \displaystyle \frac{d^2 \theta}{dt^2} = – \frac{g}{l} \theta \)

となり、これは \( \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \) の単振動の運動方程式となります。(「近似的に」という意味のあらわれ)

参考:単振動の運動方程式

\( \displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} = – \omega^2 x \)

これが振幅が小さい(\(\theta\)が微小角)のとき、単振り子の運動が単振動になる理由です。

近似はどこから?

\( \sin \theta \) はテイラー展開により以下のように表すことができます。

\( \displaystyle \sin \theta = \theta – \frac{\theta^{3}}{6} + \frac{\theta^{5}}{120} – \cdots \)

上で用いた \( \sin \theta ≒ \theta \) という近似は、\( \theta \) が十分に小さい時、上のテイラー展開の第二項以上が第一項に比べて無視できるぐらい小さくなることから成り立ちます。

2.2 振り子の周期と等時性

単振り子が単振動することが分かったところで、次は振動周期について考えてみましょう。考えるといっても角振動数\(\omega\)はもう求めてあるので、周期は以下のようにすぐ求めることができます。

振動周期

\( \displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \) 単振り子の振動周期\(T\)は以下のように表すことができます。

\( \displaystyle T = \frac{2π}{\omega} = 2 \pi \frac{l}{g} \)

周期の式を見てもらえばわかるように、糸の長さ\(l\)が長くなるほど単振り子の周期が大きくなりますが、この近似解の場合、おもりの質量 \( m \) や振れ幅は式に登場してきません。

つまり糸の長さのみが振り子の周期に影響を与えるということです。このことを「振り子の等時性」と言います。

入試でも「質量を大きくしたとき(振幅を大きくした場合)周期はどうなるか。」などと問われることもあるので、惑わされないように注意してください!

 

3.まとめ

最後に今回学んだことをまとめておきます。復習の参考にしてください。

まとめ

単振り子の運動方程式:\( \displaystyle ml \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mg \sin \theta \)

振動周期:\( \displaystyle T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \frac{l}{g} \)

等時性:振り子の周期は糸の長さのみに依存する。

 

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