接線の方程式の求め方【微分】法線の方程式も解説!

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東大塾長の山田です。
このページでは、数学Ⅱの微分の単元で学習する「接線の方程式」について解説します

接線の方程式の公式とその導出から、接線の方程式の問題も用意しています。
また、接線と関連した法線の方程式」についても解説をしているので、ぜひ勉強の参考にしてください!

1. 接線の方程式

まずは接線の方程式について解説していきます。

1.1 接線の方程式の公式

接線の方程式

曲線 \( y = f(x) \) 上の点 \( \left( a, \ f(a) \right) \) における接線の

傾き \( \displaystyle f’(a) \)

方程式 \( \displaystyle y \ – f(a) = f’(a) (x-a) \)

次は、接線の方程式の導出の解説をしていきます。本質を理解しておきましょう。

 

1.2 接線の方程式の公式の導出

接線の方程式は、これまでに学習した2つの公式を組み合わせると導出できます。

1つ目は、微分係数の定義です。

Point①

微分係数 \( f′(a) \) は,曲線 \( y = f(x) \)  上の点 \( (a, \ f(a)) \) における接線の傾きを表す。

微分係数と導関数(定義・求め方・違い)

2019年1月21日

 

2つ目は、数学Ⅱの「図形と方程式」で学習する「直線の方程式」です。

Point②

点 \( (x_1, \ y_1) \) を通り,傾き \( m \) の直線の方程式は

\( \color{red}{ y \ – y_1 = m (x \ – x_1) } \)

これらのことから,曲線 \( y = f(x) \) 上の点 \( \left( a, \ f(a) \right) \) における接線の方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ y – f(a) = f’(a) (x-a) } \)

となります。

 

2. 接線の方程式の求め方(入試問題)

それでは、接線の方程式の問題(入試問題)をやってみて、求め方を確認しましょう。

2.1 基本の問題(接点の座標が与えられた場合)

入試問題(2015 名城大)

曲線 \( y = x^3 – 5x \) 上の点 \( (2, \ -2) \) における接線の方程式を求めよ。

【解答】

\( f(x) = x^3 – 5x \) とすると

\( f’(x) = 3x^2 – 5 \)

よって,点 \( (2, \ -2) \) における接線の傾きは

\( f’(2) = 7 \)

したがって,求める接線の方程式は

\( \color{red}{ y \ – (-2) = 7(x-2) } \)

∴ \( \color{red}{ y = 7x \ – 16 \cdots 【答】 } \)

 

2.2 基本の問題(傾きが与えられた場合)

入試問題(2015 名城大)

曲線 \( y = x^3 – 5x \) の接線で,傾きが-2であるものの方程式を求めよ。

【解答】

\( f(x) = x^3 – 5x \) とすると

\( f’(x) = 3x^2 – 5 \)

点 \( (a, \ a^3 – 5a) \) における接線の方程式は

\( \color{red}{ y \ – (a^3 – 5a) = (3a^2 – 5) (x-a) } \cdots ① \)

この直線の傾きは-2なので

\( 3a^2 – 5 = -2 \)

∴ \( \color{red}{ a = \pm 1 } \)

\( a = 1 \) のとき,①は

\( y \ – (-4) = -2(x-1) \)

∴ \( \color{red}{ y = -2x-2 \cdots 【答】 } \)

\( a = -1 \) のとき,①は

\( y \ – 4 = -2 \left\{ x \ – (-1) \right\} \)

∴ \( \color{red}{ y = -2x+2 \cdots 【答】 } \)

Point

この問題のように,接点の座標が与えれていない場合は,接点の \( x \) 座標を \( a \) とおいた接線の方程式をたてて,\( a \) の値を求めていきましょう

 

2.3 曲線上にない点から引いた接線の方程式

入試問題(2015 名城大)

点 \( (-1, \ 0) \) より曲線 \( y = x^3 \) へ引いた接線の方程式を求めよ。

【解答】

接点を \( (t, \ t^3) \) とおく。

\( y’ = 3x^2 \) より,接線の傾きは \( 3t^2 \)

よって,接線の方程式は

\( \color{red}{ y \ – t^3 = 3t^2 (x-t) } \)

∴ \( y = 3t^2 x \ – 2t^3 \cdots ① \)

この直線が点 \( (-1, \ 0) \) を通るから

\( 0 = -3t^2 – 2t^3 \)

整理すると

\( t^2 (2t+3) = 0 \)

∴ \( \displaystyle \color{red}{ t = 0, \ -\frac{3}{2} } \)

\( t = 0 \) のとき,①は

\( \color{red}{ y = 0 \cdots 【答】 } \)

\( \displaystyle t = -\frac{3}{2} \) のとき,①は

\( \displaystyle \color{red}{ y = \frac{27}{4} x + \frac{27}{4} \cdots 【答】 } \)

 

3. 法線の方程式

続いて,法線の方程式についての解説です。

3.1 法線とは?

まずは「法線とは何か?」を確認しましょう。

 

曲線 \( y = f(x) \) 上の点Aを通り,点Aにおける接線に垂直な直線を,点Aにおける曲線の法線といいます。

 

3.2 法線の方程式の公式

法線の方程式

曲線 \( y = f(x) \) 上の点 \( \left( a, \ f(a) \right) \) における法線の

傾き \( \displaystyle – \frac{1}{f’(a)} \)

方程式 \( \displaystyle y \ – f(a) = \ – \frac{1}{f’(a)} (x-a) \)

 

3.3 法線の方程式の導出

曲線 \( y = f(x) \) 上の点A \( \left( a, \ f(a) \right) \) における接線の傾きが \( f’(a) \) であるから,点Aにおける曲線の法線の傾きを \( m \) とすると

\( m f’(a) = -1 \)

ゆえに

\( \displaystyle \color{red}{ m = \ – \frac{1}{f’(a)} } \)

よって,曲線 \( y = f(x) \) 上の点 \( \left( a, \ f(a) \right) \) における法線の方程式は

\( \displaystyle \color{red}{ y \ – f(a) = \ – \frac{1}{f’(a)} (x-a) } \)

となります。

補足

2直線 \( \displaystyle \begin{cases} y = m_1 x + n_1 \\ \\ y = m_2 x + n_2 \end{cases} \) について

2直線が平行 \( \Longleftrightarrow \) \( m_1 m_2 = -1 \)

 

3.4 法線の方程式の求め方

曲線 \( y = x^3 – 5x \) 上の点 \( (2, \ -2) \) における法線の方程式を求めてみましょう。

\( f(x) = x^3 – 5x \) とすると

\( f’(x) = 3x^2 – 5 \)

点 \( (2, \ -2) \) における接線の傾きは

\( f’(2) = 7 \)

よって,点 \( (2, \ -2) \) における法線の傾きは

\( \displaystyle – \frac{1}{f’(2)} = \ – \frac{1}{7} \)

したがって,求める法線の方程式は

\( \displaystyle y \ – (-2) = \ – \frac{1}{7} (x-2) \)

∴ \( \displaystyle \color{red}{ y = \ – \frac{1}{7} x \ – \frac{12}{7} \cdots 【答】 } \)

 

4. 接線・法線の方程式まとめ

さいごに今回の内容をもう一度整理します。

接線・法線の方程式まとめ

曲線 \( y = f(x) \) 上の点 \( \left( a, \ f(a) \right) \) において

 

【接線】

傾き \( \displaystyle f’(a) \)

方程式 \( \displaystyle y \ – f(a) = f’(a) (x-a) \)

 

【法線】

傾き \( \displaystyle – \frac{1}{f’(a)} \)

方程式 \( \displaystyle y \ – f(a) = \ – \frac{1}{f’(a)} (x-a) \)

以上が接線・法線の方程式の解説です。

接線の関する問題は,センター試験でもよく出題されるほどの頻出問題なので、しっかりと理解をしてマスターしておきましょう!

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