正弦定理まとめ(公式・外接円の問題と解き方)

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東大塾長の山田です。
このページでは、「正弦定理の公式・例題」について解説します

正弦定理は、高校数学の平面図形の問題を解くうえで基礎知識となります。
今回は具体的に問題を解きながら、正弦定理の使いどころをお伝えします

この記事を通して、正弦定理の使い方をマスターしましょう!

1. 正弦定理

まずは正弦定理を確認しましょう。

正弦定理

三角形ABCの外接円の半径をRとしたとき、

\( \displaystyle \large{ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R } \)

 

2. 正弦定理の証明

この記事では正弦定理を使った問題の解説をメインにします。

証明は少し長くなってしまうので、証明のやり方を知りたい方は「正弦定理と余弦定理の公式の証明」の記事を参考にしてください。

正弦定理と余弦定理の公式の証明

2018年11月24日

 

3. 正弦定理を使う問題と解説

それでは、正弦定理を使う問題を解いてみましょう。

例題

下図のような\( \triangle ABC \)の外接円の半径\( R \)を求めよ。

【解法】

外接円の半径\( R \) を求めるので、正弦定理を使います

\( \angle B = \theta \) とおくと

\( \displaystyle \frac{3}{\sin \theta} = 2R \)

より求められますが、\( \sin \theta \)が分かりません。

 

そこで、\( \sin \theta \)を得るため、

  1. 余弦定理で\( \cos \theta \)を求める。
  2. \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)(三角比の相互関係の式)を使って、\( \sin \theta \)を求める。

という手順を踏みます。

 

なぜ余弦定理を使うかというと、三辺の長さがすべてわかっているからです。

それでは解答をつくっていきます。

解答

余弦定理より

\( \begin{align}
\displaystyle \cos \theta & = \frac{5^2 + 7^2 – 3^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} \\
\\
& = \frac{65}{2 \cdot 5 \cdot 7} \\
\\
& = \frac{13}{14}
\end{align} \)

よって

\( \begin{align}
\displaystyle \sin \theta & = \sqrt{1-\cos^2\theta} \\
\\
& = \sqrt{1-\left( \frac{13}{14} \right)^2} \\
\\
& = \frac{3\sqrt{3}}{14}
\end{align} \)

一方、正弦定理より、

\( \begin{align}
\displaystyle \frac{3}{\sin \theta} & = 2R \\
\\
∴ \ R & = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\sin \theta} \\
\\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\frac{3\sqrt{3}}{14}} \\
\\
& = \frac{7}{\sqrt{3}} \\
\\
& = \frac{7\sqrt{3}}{3}
\end{align} \)

解法のPoint

  • 外接円の半径を求める 正弦定理!
  • 3辺が分かっている 余弦定理!

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